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新课标高考在稳定中追求变化——谈数学高考复习教学


新课标高考在稳定中追求变化
——谈数学高考复习教学

宁夏教育厅教研室

葛建华

? 全国新课标高考实施进程 ? 2003年国家教育部制订《普通高中数学课程标准(实验)》( 以下简称《课标》)。 ? 2004年部分省份首先进入新课改试点。 ? 2007年新课程高考开始在山东、广东、海南、宁夏四省试 行。 ?

2008年江苏加入。 ? 2009年天津、浙江、辽宁、福建、安徽。 ? 2010年北京、湖南、黑龙江、吉林、陕西。 ? 2011年江西、河南、山西、新疆。 ? 2012年湖北、河北、内蒙古、云南。 ? 2013年青海、西藏、甘肃、 贵州 (除广西外)内地所有省份 将全面进入新课程高考。 ? 2014年共有16个省用教育部考试中心命制的新课标甲、乙 两卷和广西大纲卷。 ? 2015年广西、江西、辽宁。 ? 2016年新增有:安徽、福建、广东、四川、重庆、陕西、 湖北、湖南扩大为26省。

近三年高考试题统计表(甲卷.理科)
年份

项目
选择题 填空题

2015年
均分 41.88 10.20
25.34 3.84 4.15 4.55

2014年
均分

2013年

难度

难度 均分 难度 0.337
0.225 0.373 0.147

0.698 36.96 0.616 39.48 0.658 0.510 10.12 0.506 6.74
0.384 1.25 0.415 4.62 0.455 4.30 0.125 2.25 0.462 4.62 0.430 1.47 0.362 21.77 0.311 22.82 0.326

解 答 题

4-1 4-4 4-5

近三年高考试题统计表(甲卷.文科)
年份

项目
选择题 填空题

2015年
均分 34.38 8.34 19.04 2.38 难度

2014年
均分 难度 0.493 0.044

2013年

0.573 33.48 0.558 0.417 9.86 0.238 0.44 0.272 17.78 0.254

解 答 题

4-1

4-4
4-5

3.32
3.53

0.332 4.62
0.353 4.30

0.462
0.430

高考备考应以考试规律为指导,以近 年高考命题的稳定性风格为导向;依纲 靠本;以解题训练为中心,以中档综合 题为重点,立足中下档题目,以近年新课 标高考试题为基本素材.

高考备考应通过学习说明、回归课 本、研究考题、推敲评价来把握高考 复习的难度、方向.

高考备考是一项技术含量很高的工作 , 教师在指导学生全面复习的基础上,应精准 的抓住“核心考点”,让复习无限贴近高考 真题. 明确目标,分解目标---做该做的事 找到最佳增分点强化提高-做高效的事 符合考试的要求-----做有用的事 非智力因素的保障----做能做的事 考什么就复习什么,考什么题型就做什么 题型!尤其是在大考最后冲刺阶段.让学生 学得轻松、考得出色.

一、高考数学考点
新课程高考根据<考试说明>对知识点考 核要求的三个层次,将课程标准后的高考数学 文、理知识内容划分为150个考点和172个考 点,使高考命题更加规范,保证了知识内容 考核的覆盖面和考核层次科学、合理,对中 学教学和备考有积极的指导意义.

1、 数学知识点的考核层次与要求

对所列知识点有较系统的理性认识, 涉及的行为动词有: 导出,分析、推导,证 能正确把握知识间的内在联系和本质规 明、研究,讨论、迁移 律,能将数学知识,思想和方法进行迁移, 并能灵活运用所学知识解决问题。 等. 掌握 涉及的行为动词有: 描述,说明,表达、 推测、想象, 比较、 理解 判别等. 涉及的行为动词有: 感受,知道、识别, 模仿,会求、 会解,会画等. 了解 对所列知识点有较深刻的理性认识, 懂得知识间的逻辑关系,能准确地用数学 语言描述、说明和表达,并能综合地应 用所学知识解决问题. 对所列知识点的有初步的、感性的 认识,知道这一知识内容是什么,会按 照一定的程序和步骤操作,并会模仿 地利用所学知识解决简单问题.

依据各知识点包含内容和重要程度,将知识的考核 层次分为三层 9

2、 新课程高考文、理科数学考点统计表
内容 知识 领域 代 数 (含4-5) 三角函数 立体几何 与平面几何 统计与概率 文科 认知层次 总计 理解 掌握 理科 认知层次 理解 掌握 总计

了解

了解

29 1 6 8 4 48

32 9 4 9 20 74

7 3 8 0 10 28

68 13 18 17 34 150

28 1 8 11 5 53

36 9 8 13 19 85

10 3 10 0 11 34

74 13 26 24 35 172

解析几何 (含4-4) 总计

领 知识 域 单元 集合 复数 平面向量 算法初步 代 导数及应用 数 不等式 导数及应用 计数原理 函数 导数及应用 不等式选讲 三 解三角形 角 函 数

4、2015年高考数学甲卷考点及考核要求统计表(理科)
知识要求 题 了解 理解 掌握 号 求两个简单集合的交集 √ 1 复数的几何意义及代数形式乘法运算 √ 2 平面向量的数量积及其运算 √ 13 程序框图 √ 8 导数在一点处的切线方程 √ 11 简单线性规划 √ 14 函数的单调性与极值 √ 5 与二项式展开有关的问题 √ 15 √ 函数的奇偶性与单调性的概念 12 导数与函数的单调性,最大(小)值问题 √ 21 √ 含绝对值不等式的证明和求解 24 运用正、余弦定理等知识和方法解决与几何 √ 17 计算有关问题 知识考点 分 值 5 5 5 5 5 5 5 5 5 12 10 12 总 分

57 + 10

12

领 知识 域 单元

2015年高考数学甲卷考点及考核要求统计表(理科)
知识考点

立 体 、 平 面 几 何

证明线面平行,二面角及其计算, 三棱锥体积的计算。 圆内角的概念与切割线定理、相 交弦定理 圆锥曲线 双曲线的概念和性质,数形结合 解 的数学思想 析 直线与圆的方程 直线与圆方程的应用 几 圆锥曲线 椭圆的标准方程、简单几何性质, 何 数形结合的思想 坐标系与参数方 圆的极坐标方程与参数方程,圆 程 的参数方程的 应用 统 概率 条件概率计算 计 两个变量的相关 根据给出的线性回归系数公式求 概 性 线性回归方程并预测。 率

空间几何体 空间向量与立体 几何 空间向量与立体 几何 几何证明选讲

空间几何体的三视图与体积度量 直棱柱中线线角的大小计算

知识要求 题 了 理解 掌握 号 解 √ 6 √ 9
√ √ √ √ √ √

分 总 值 分
5 5

22 19 12 + 10 22 10 11 5 22 7 5 + 20 12 10 23 10 5 5 18 12 17



二.选择题、填空题 核心考点分析与对策

试题设计
2015
题 号 难 度

2014
1 0.945

2013
1 0.883

1 0.92
已知集合A={-2,-1,0,2}, B={x|(x-1)(x+2)<0}, 则A∩B= A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{0,1,2}

考 题

已知集合 已知集合 M={0,1,2} M={x|(x-1)2 < 4, x∈R}, N={x| x 2-3x+2 ? 0} N={-1,0,1,2,3}, 则 M∩N= 则 M∩N= A.{0,1,2} A.{1} B.{-1,0,1,2} B.{2} C.{-1,0,2,3} C.{0,1} D. {0,1,2,3}

D. {1,2}

1.(难度0.895)已知集合A={1,2,3,4,5}, B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A}, 则B中所含元素的个数为( ) A.3 B.6 C.8 D.10

2.(难度0.9以上)已知集合M={x||x-1|<2, x∈R}, N={-1,0,1,2,3},则 M∩N= A.{0,1,2} B.{-1,0,1,2} C.{-1,0,2,3} D. {0,1,2,3}

3.(难度0.9以上)已知集合A={x|x=n-1,n ∈ N}, B={x|-1<x<3},则A∩B= A.{0,1,2} B.{-1,0,1,2} C.{-1,0,2,3} D. {0,1,2,3}

1,3,5,7,9}, B = {0,3,6,9,12} 4.(难度0.9以上)已知集合 A = {
则A ? CN B =
A.{1,5,7} C.{1,3,9} B.{3,5,7} D. {1,2,3}

试题设计
2015 2014 2013

题 号

2

2
0.597
2.设复数 z1 ,z2 在复 平面内的对应点关于 z1 ? 2 ? i 虚轴对称, 则 z1 z2 ? A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i

3
0.896
若复数

0.939 难 度 考 2. 若a为实数且 题 (2+ai)(a-2i) =-4i, 则a= A.-1 B.0 C.1 D.2

(1 ? i) z ? 2i,

z

满足



z ?

A. ? 1 ? i

B. ? 1 ? i

C .1 ? i

D.1 ? i

下面是关于复数 1.(难度0.830)

的四个命题:

P 1 :| z |? 2
P 3 :
其中真命题为

z 的共轭复数为1 ? i

P ? 2i 2 : z P 4 : z 的虚部为 ? 1
2

z ?1 2.(难度0.844)复数Z满足 z ? 1 ? ?i 则Z=
(A) (B) (C) (D)

4.难度0.8左右)在复平面内,O 为原点,向量 OA 对应的复数 z ? 2 ,点 A 关于虚轴的对称点为 B ,向量 AB 对应的复数为 z 1 ,则

?i

z1 ?( z



试题设计
2015
题号 难度 考题

2014

2013

7
0.688

7
0.783

6
0.786

下边程序框图的算法思路源 执行右图程序框图, 执行右面的程序框图, 于我国古代数学名著《九章 如果输入的x,t均为2, 如果输入的N=10,那么 算术》中的“更相减损术”.执 则输出的S=( ) 输出的S= 行该程序框图,若输入a,b分 A. 4 别为14, 18,则输出的a B. 5 =( )A.0 B.2 C.4 C. 6 1 1 1 A. 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 10 D. 7 D.14
B.
1? 1 1 1 ? ??? 2! 3! 10!

C. 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 11 D.1 ? 2! ? 3! ? ? ? 11!
1 1 1

1

1

1

算法是中国古代数学的精髓,很多数学典籍中都包含一 些经典的实例及其算法.如《九章算术》及其刘徽注等 中的算法思想,以及“贾宪三角”(二项式定理系数表) 与“增乘开方法”(即其后欧洲所讲的“霍纳法”), “秦九韶程序”(高次方程数值解法),“垛积术”(高阶 等差级数求和)与“招差术”(高次内插法),“大衍求一 术”和“大衍总数术”(一次同余组解法),“天元 术”(数字高次方程组的立法)和“四元术”(高次方程组 的解法)等算法,这些古代数学中的算法,其算法思想对 我们今天数学问题的解决有极大的启发作用.要重视介 绍计算机算法对现代数学研究和发展的作用.

设计利用秦九韶算法计算n多项式
f ( x) ? an x n ? an?1 x n?1 ? ? ? a1 x ? a0

x? , x0时的值的程序框图.

试题设计

2015
题号 难度 考题

2014
9 0.798

2013
9 0.788
已知a>0,x,y满足约束条件

14 0.731

若x,y满足约束条件 , 设x,y满足约束条件

则 的最 ,则 大值为__________ 为( ) A. 10 B. 8 C. 3

? x ? 1, ? ? x ? y ? 3, ? y ? a ( x ? 3). ? 的最大值 若 z ? 2 x ? y 的最小值为1,则a=
D. 2
A.
1 4

B.

1 2

C.

1

D.

2

1.(难度0.87) 记不等式组 若直线

y ? ax 与D有公共点,则a的最大值为

?x ?1 ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 4 ? 0 ?

所表示的平面区域为D,

?x ?y ?1 ? 0 ? 3.(难度0.7左右)若x,y满足约束条件 ? x ? 2y ? 0 ?x ? 2y ? 2 ? 0 ?
则 的最大值为_____

y

B C

O A

x

试题设计
2015
题号

2014 13

2013 5

15

难度
考题

0.433

0.719

0.736

的展开式中x的奇数 次幂项的系数之和为 32,则 α=__________.

的展开式中, 2 的展开式中 x 的系数为5 的系数为15, 则a = 则a=________.(用数字 A.-4 B.-3 填写答案)
C.-2 D.-1

(1 ? ax )(1 ? x )5

1.(难度0.570) 则该展开式中常数项为
A.-40 B.-20

a ?? 1 ? ? ?x ? ?? 2x ? ? x ?? x ? ?

5

的展开式中各项系数的和为2,
D.40

C.20

(a ? x )(1 ? x )4 的展开式为 2.难度0.5)
a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x3 + a4 x 4 + a5 x5,

1, 2, 3, 4, 5)为常数),若 ( 其中 ai(i ? 0,

则a=

a1 ? a3 ? a5 ? 32

,

难度0.634)

8 难度 0.552 ) ( x ? y)( x ? y) 展开式中 x 2 y 2

的系数为

.(用数字填写答案)

试题设计

2015
题号 难度 考题

2014
6 6 0.659

2013
7 0.387
一个四面体的顶点在 空间直角坐标系O-xyz中 的坐标分别是 (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1), (0,0,0),画该四面体三视图 中的正视图时,以zOx平面 为投影面,则得到的正视图 可以为

0.620

一个正方体被一个 网格纸上正方形小格的边 平面截去一部分后,长为1(表示1cm),图中粗 剩余部分的三视图 线画出的是某零件的三视 如右图,则截去部 图,该零件由一个底面 分体积与剩余部分 半径为3cm高为6cm 体积的比值为 的圆柱体 A. B. C. D. 毛坯切削 得到, 则切削掉 部分的 体积与 原来毛坯 体积的比值为( )

A

B

C

D

理科6

(难度0.629) 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r) 组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所 示.若该几何体的表面积为16 + 20? . 则r= (A)1 (B)2 (C)4 (D)8

3

(7)平面向量
试题命制:试题源于教材,通过巧妙设计,使平 面向量的表示、线性运算的几何意义和坐标表达 形式下的代数意义有机结合,使解题方法灵活多 样,既可以用向量及其线性运算的几何意义解答, 也可以建立坐标系用向量及其运算的代数表达式 解答,让不同能力考生得以展示。

试题设计
2015
题号 难度 考题

2014
3 0.749

2013
13 0.482

13 0.724

设向量a,b不平 行,向量 与 行, 则实数 =

设向量a,b满足 |a+b|= , |a-b|= , 则a b = ( )

已知正方形ABCD的边 长为2,E为CD的中点, 则

1.(难度0.7 以上 ) 若向量

a, b 满足: , (2a ? b) ? b

? | a | ? 1 ( , a ? b) ? a ? 0, 则 | b |

2.(难度0.6以上)设向量a,b,c满足

|a| ? |b| ? 1,a ? b( , a ? c) ? (b ? c)? 0,
则 | c |的最大值等于 .

3.(难度0.688).已知A,B,C是圆O上的三点,若
, |

???? 1 ??? ? ??? ? AO ? ( AB ? AC ) 2

AB | ? 5,

则 OC ? CB ?
??? ? ??? ? BC ? 3CD ,则 ABC所在平面内一点,
???? 1 ??? ? 4 ??? ? AD ? AB ? AC 3 3

4.(难度 0.725) 设D为
(A )
???? ? 4 ??? ? 1 ??? AD ? ? AB ? AC 3 3

(B )

(C)

???? 4 ??? ? 1 ??? ? AD ? AB ? AC 3 3

(D)

???? 4 ??? ? 1 ??? ? AD ? AB ? AC 3 3

5.(难度0.457)在 ?ABC 中,点D在边AB上 ,CD平分 ?ACB,若

CB ? a,CA ? b, |a| ? 1, |b| ? 2
则, CD ?
1 2 a? b (A)3 3

(B)

2 1 a? b 3 3

(C) 5 a ? 5 b

3

4

(D) 5 a ? 5 b

4

3

(8)等差数列和等比数列
2015
题号 难度 考题

2014
16 0.154 3、

2013
16 0.064 0.859 、

4、 0.834、

4.等比数列{an}满足 a1=3,a1+ a3+ a5=21,则 a3+ a5+ a7 =( ) A.21 B.42 C.63 D.84
16.设Sn是数列{an}的前项和, 且 , 则Sn=___________________.

3.已知等比数列{an}的前n 项和为 ,已知 a5 ? 9, S3 ? a2 ? 10a1 , 则 a1 ? 1 1 1 1 ? ? A. 3 B. C. 9 D.3 9
16.等差数列 的前 项和为 S n ,已知 ,则 的最小值为________.

的前 (难度 0.765) 已知 {an }是公差为1的等差数列,Sn 为{an } 项和,若 S8 ? 4S4 ,则 a10 ?

n

(A)

17 2

(B)

19 2

(C) 10

(D) 12

(难度0.646)数列?an ? 中 a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn 为 ?an ? 的前n项和,若

Sn ? 126 ,则 n ?

.

(难度0.793)设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=-2,Sm=0,

Sm+1=3,则m= ( ) A、3 B、4

C、5

D、6

(难度0.622)若数列{an}的前n项和为 S n ? 则数列{an}的通项公式是an=______.

2 1 an ? 3 3



(难度0.624) Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,
Sn
2 an + 2an - 3 ,则 a =______. n = 4

2015
题号 难度 考题

2014 4、 14 0.472、 0.603
4.钝角三角形ABC的面积是 1 , 2 AB=1,BC= 2 ,则AC=( )

2013 12、 15 0.271、 0.418
12.设函数 .若 存在 的极值点 满 足 ,则m的取 值范围是( ) A. B. C. D. 15.设θ为第二象限角, 若tan(θ+ )= ,则 sinθ+cosθ=_________.

A.5 B. 5 14.函数

C.2

D.1

的最大值为_

理科9、13

B ? 60 (难度0.5) ? A B C 中,
? A BC

?

AC ?

3

,则

周长的最大值为

.

(难度0.3).在梯形 ABCD 中,AD//BC,
∠ABC = 105 ,∠BCD = 45 , BC = 2
? ?
D

C

则?BCD 面积的取值范围值为
.

.

A

B

(难度0.56).在?ABC 中 a, b, c 分别为 A, B, C 的对边, (a ? b )(sin A ? sin B ) ? (c ? b )sin C . 且 当a

? 2时, ?ABC 面积的最大值为

.

.

题号
难度 考题

2015 7、 11 0.688、 0.365

2014 10、 0.262、

16 0.293

2013 11、 0.474、

12 0.408

7.过三点A(1,3), 10.设F为抛物线C: B(4,2),C(1,-7) y2=3x 的焦点,过F且 的圆交于y轴于 倾斜角为30°的直线 M、N两点, 交C于A,B两点,O为 则|MN| = 坐标原点,则△OAB A.2 B.8 C.4 D.10 的面积为( ) 11.已知A,B为 x0 ,1), 双曲线E的左, 16.设点M( 2+y2=1 若在圆 O: x 右顶点,点M在 存在点N,使得 E上,?ABM为 ∠OMN=45°,则 x0 等腰三角形,且 顶角为120°, 的取值范围是 ________. 则E的离心率为
A. B.2 .C. D.

11.设抛物线C: y2=2px (p>0)的焦点为F, 点M在C上,|MF|=5. 若以MF为直径的园过 点(0,2),则C的 方程为( ) 12.已知点A(-1,0); B(1,0);C(0,1), 直线y=ax+b(a>0) 将△ABC分割为面积 相等的两部分,则b的 取值范围是

(难度0.068)设圆 C :

x 2 ? y 2 ? 8 y ? 0 ,过点 P(2, 2)的动直线

l 与圆 C 交于 A, B 两点,线段 AB 的中点为 M,则
M 的轨迹方程是
.

2 y ? 8x 的焦点为 F, : (难度 0.4左右) 已知抛物线 C

P 是 C 上一点,若经过原点O及P、F三点的圆的圆心在C上,
则这个圆的方程为 .

(难度 0.50左右)已知A,B为双曲线E: ( a ? 0, b ? 0 ) 的左,右顶点,点M在E上,若 BE 与x轴正向 所成角为 60 ? ,则E的离心率为 A. B.2 .C. D.

x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b

(难度0.5左右)已知 F1、F2 是双曲线 c ( a ? 0, b ? 0 )的左、右焦点,F1 关于双曲线渐近线的 | MF2 | ? | OF2 |,则该双曲线的离心率为 对称点 M ,若 F1M ? MF2 ,
x2 y2 : a 2 ? b2 ? 1

.

题号

难度
考题

2015 2011 9 15 0.685 0.574 已知A,B是球O的 已知矩形ABCD的 顶点都在半径为4的 球面上两点, ∠AOB=90°,C 球O的球面上,且 为该球面上的动点, A B ? 6 , B C ? 2 3 若三棱锥O-ABC体 ,则棱锥O-ABCD的 积的最大值为36, 体积为 则球O的表面积为 A.36π B.64π C.144π D.256π

2012 15 0.413 已知三棱锥S-ABC的 所有顶点都在球O的 球面上,△ABC是边 长为1的正三角形, SC为球O的直径,且 SC=2,则此棱锥的体 积为

(难度0.6以上)正六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱 9 柱的体积为 8 , 底面周长 为3 ,那么这个球的体积为 _________
(难度0.4左右)已知三棱柱OAB-CDE的顶点A、B、C

、D 、E都在

球O的球面上,△OAB是边长为1的正三角形,则此棱柱的体积为

(难度0.4左右)四棱锥 S ? ABCD中,

SA ? 底面ABCD


AB ? 1,BC ? 2,AC ?

3,SA ? 2

,且四棱锥顶点都在同一球面上, 则此四棱锥外接球表面积为(

(12)统计概率
2015
题号 难度 考题

2014
5 0.382

2013
14 0.532 从n个正整数1, 2,…,n中任 意取出两个不 同的数,若取 出的两数之和 等于5的概率 为 ,则 n=________.

3 0.782

根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年 某地区空气质量 排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论不正确的是. 监测资料表明,

一天的空气质量 为优良的概率是 0.75,连续两为 优良的概率是 0.6,已知某天 的空气质量为优 A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显 良,则随后一天 著. 的空气质量为优 B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效. 良的概率是( ) C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势. A. 0.8 B. D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关. 0.75 C. 0.6 D. 0.45

某工厂36名工人年龄数据如下表

用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且 在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44, 列出样本的年龄数据是 ;

某工厂有产品1000件,其中250件采用旧工艺生产(称为A类产品),另外 750件采用新工艺生产(秒为B类)。现用分层抽样方法(按A类,B类分二层) 从该工厂的产品中共抽查100件产品,检测其产品质量。得A类产品和B类产品 抽查结果的频率分布直方图分别为图1和图2。

下列说法正确的是 。 (1)就产品质量指标而言,B类产品中个体间的差异程度小; (2)就产品质量指标而言, B类产品的质量指标优于A类产品指标. (3)经计算样本中A类产品质量指标的平均数是123.B类产品质量指标的 平均数是133.8,由此估计该工厂产品质量指标的平均数131.1.(同一组 中的数据用该组区间的中点值作代表).

单元检测由20个选择题组成,某同学每个选择题答对的概 率都为 0.9 ,每题选对得 5 分,不选或选错不得分,该同学的 得分记为X,则X的数学期望为 A.25 B.50 C.80 D.90

调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元),调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相 关关系,并由调查数据得到y对x的回归直线方程:

? ? 0.254x ? 0.321 y
由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支 出平均增加____________万元.

(13)导数及其应用
2015
题号

2014 8 0.660

2013 10 0.526

难度
考题

12 0.369

设曲线y=ax-ln(x+1) 在点(0,0)处的切线 设函数 是奇函数 已知函数 , 的导函数, 方程为y=2x, 下列结论中错误的是( ) , 当 x>0时, 则a= A. , <0,则使得 A. 0 B. 1 B. 函数 的图象是中 f (x) >0成立的x的取值范围 C. 2 D. 3 心对称图形 是
A. B. C. D. C. 若 是 在区间 D.若 是 的极小值点,则 单调递减 的极值点,则

( 难度0.5 )
' ? ?) 的可导函数 f(x ) 满足 xf (x ) ? f(x ) ? x ,且 1.定义在 (0,

f(1) ? 1,现给出函数 f(x ) 的下列结论:(1)函数 f(x ) 在
1 1 ( , ??)上单调递增;(2)函数 f(x ) 的最小值为 ? e e2

; (3)函数

f(x )有且只有一个零点;(4)对于任意 x 2 f(x ) ? x ,其中正确结论的个数是
( )A.1 B.2 C.3 D.4

? 0 ,都有

已知函数

f(x ) ?(x ? ax ) e
2


x

(a ? 0)

下列结论中正确的是

(1)当x<0时,f(x)>0; (2) 若 是 的极大值点,则 在区间 单调递增; x ∈ R, f ( x) ≥ f ( x0 ) ; (3)若 是 的极小值点,则 ? (4) f ( x) > 0 的解集为 (- ∞ , 0) ? (a,+∞ )

已知函数
当x

f ( x) = ax - 1 - lnx.
.

≥1 时,f ( x) ≥0 ,则实数a的取值范围是

2014
题号 难度 考题

2013 8 0.678

2011 12 0.23

15 0.409

设ɑ=log36, 已知偶函数 在 单调递 b=log510, c=log714, 减, . 若 , 则(A)c>b>a (B)b>c>a 则 的取值范 (C)a>c>b 围是_______. (D)a>b>c

已知函数 象与函数

y?

1 1? x

的图

y ? 2 sin ? x ( ? 2 ? x ? 4 )

图象所有交点的横坐标之 和等于( ) (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

难度0.5 1.设偶函数 f ? x ? 满足 f(x ) ? e x(2x ? 1)(x ? 0),则
1 {x | f ( x - ) > 1} = 2

(难度0.285)设函数
f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的
A.
1 1 (? , ) 3 3

f ( x) ? ln(1? | x |) ?

1 1? x2

,则使得

x 的取值范围是
C.
1 ( ?? , ) U (1,?? ) 3

1 ( ,1) B. 3

D.

1 1 (?? ,? ) U ( ,?? ) 3 3

函数 y ? f(x ) 满足 f(x

? 1) ?

1 f(x ) ? 1

,且当 x ?[0,1] 时, .

f(x ) ? x .方程 f(x ) ? mx ? m ? 0 在[?1, 1]
上两个实数根,则实数的取值范围是

(难度0.561)已知函数
2 ? ?-x +2x x≤0 f ( x) = ? ? ?ln(x+1) x>0



若| f(x)|≥ax,则a的取值范围是( ) A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0]

三.解答题核心考点及分析
1、数列
“大纲”与“传统内容”的安排都是12课时, “大纲”虽然陈述方式上有较大区别,但主体内 容基本一致。(1)是一般数列的概念与性质 (包括列表、图像和通项公式等表示方法,数列 的函数属性)。(2)是等差数列与等比数列, 主要是它们的通项公式与前 n 项和公式。对数列 的考查历来把重点放在对数学思想方法的考查, 放在对思维能力及创新意识和应用意识、实践能 力的考查,数列问题在考查演绎推理能力中发挥 着越来越重要的作用,这些都是不会改变的。

1.由数列的前 n 项和的公式求数列的通项公式 an 时,你注意验证 n ? 1 的情况了吗?
2 , 2, 3, ?) ,则此数列的通项公式 练习 1. ①若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n ?10n(n ? 1



;
n ?1 ② 已 知 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 an ? 3 , 设 数 列 {bn } 对 任 意 自 然 数 n 有

b b1 b2 ? ? ? ? n ? 2n ? 1 ,则 b1 a1 a 2 an

? b2 ? ? ? b2009 ?

.
*

练习 2. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N ) .求数列 ?an ? 的通项 an . 2.数列的项与项数之间构成特殊的函数关系 ,在用函数的有关知识解决数列问题时, 你注意了函数的定义域为正整数集了吗? 练习 3. 已知 ?an ? 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求

?an ? 前 n 项和 S 的最大值.
n

3.在解决等比数列的有关问题时,你注意了各项的符号,及各项和公比都不等于 0 吗? 练习 4. 如果 ? 1, a, b, c,?9 成等比数列,那么

? 3, ac ? 9 C. b ? 3, ac ? ?9
A. b 练习 5. 设等比数列 是 .

B. b ? ?3, ac ? 9 D. b ? ?3, ac ? ?9

?an ? 的公比为 q ,前

? n 项和 S n ? 0 (n ? N ) , 则

q 的取值范围

4.在利用等比数列的前 n 项和公式时,你注意公比不等于 1 了吗? 练习 6.设等比数列

?an ? 的公比为 q ,前 n 项和 S

n

,若 S n?1 , S n , S n? 2 成等差数列.则

q 的值是

.

5.数列求和的常见方法有公式法 ,错位相减法,倒序相加法,裂项求和法,分组求和法,运用 时你是否熟悉各种方法使用的条件? 练习 7.已知数列 ?an ? 的各项均为正数, Sn 为其前
2Sn ? 3an ? 3 .

n 项和, 对于任意的 n ? N

?

满足关系式

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
1 b ? (Ⅱ)设数列 ?bn ? 的通项公式是 n log a ? log a ,前 n 项和为 Tn ,求 Tn . 3 n 3 n ?1

练习 8.已知数列

?an ? 的前 n 项和为 S

n

?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

1 n (n ? 1) . 2

(Ⅱ)若 b1 ? 1, 2bn ? bn?1 ? 0 (n ? 2, n ? N ) , cn 项和为 Tn , 求证 Tn

? anbn ,

数列 {cn } 的前 n

? 4.

2014
题号

2011 17

17

难度

0.299

0.676

考题

已知数列

满足

=1,

(Ⅰ)证明 是等比数列, 并求 的通项公式; (Ⅱ)证明:

等比数列 的各项均为正数, 且 (Ⅰ)求数列 的通项公式; (Ⅱ)设 求数列 的前n项和.

命题趋势:14年难度较大,为难题,应降低难度(第一问),可能延续11,10的特 点,若以一般数列的递推关系呈现,可否改变第一问的设问方式,第二步降低转化 为等差,等比的难度(放缩),注意Sn和an的关系。

2、三角函数
课时数由“传统内容”的46课时减少为“大纲” 的32课时(包括解三角形)。三角函数无论是知识容 量还是它的工具性作用,“大纲”都有了进一步的减 弱。 (1)把“同角三角函数的基本关系式: sin2x+cos2x=1,sinx/cosx=tanx,cotx=1/tanx”调整 为“理解sin2x+cos2x=1,sinx/cosx=tanx” (2)把“理解正弦函数,余弦函数、正切函数的图像 和性质”调整为:“理解正弦函数、余弦函数在[0, 2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值、图像与x 轴交点等),理解正切函数在(- π/2 ,π/2)上的单 调性。

三角函数重点学习了函数的周期性,对 函数的概念与性质得到了进一步的深化。把 三角函数作为函数的一种,突出考查它的图 像与性质;在化简求值的问题中,不仅考查 考生对相关变换公式掌握的熟练程度,更重 要的是以三角变形公式的素材,重点考查相 关的数学思想和方法,主要是化归的思想、 方程的思想和换元法; 解三角形的问题要重视正弦定理和余弦定 理在探究三角形边角关系中的作用,认识它 们是解决测量问题的一种重要方法。不必在 恒等变形上进行过于繁琐的训练。

1. 你能迅速画出或得到函数

y ? A sin(?x ? ? ) 图象的简图吗 ?你了解 A, ? , ? 对函数

图象变化的影响吗 ? 你熟练掌握函数
2 2

y ? A sin(?x ? ? ) 的性质吗?你知道辅助角公

式 a sin x ? b cos x ? a ? b sin(x ? ? ) 对研究三角函数性质的重要性吗 / 熟练掌握了 吗?

π? ? ? π ? y ? sin 2 x ? ? , π ? ? 练习 1. 函数 的简图是 ? 3 ? 在区间 ? ? ? 2 ?
y
? ? 3

y

1

1

? ? 2

O
?1
A.

? 6

?

x

?

? 2

?

? 3

O
?1
B.

? 6

?

x

y

y
?
? ? 6

1
? ? 2 ? ? 6

1

O

? 3

x

?

?1
C.

? 2

O
?1
D.

? 3

?

x

练习 2. 是

已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , ;最大值是 .

x?R

,则 f ( x) 的最小正周期

练习 3.已知函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ?) ? cos(? x ? ? ) ( 0 ? ? ? π ,? ? 0 )为偶函数,且
π 函数 y ? f ( x) 图象的两相邻对称轴间的距离为 2 .
? ? (Ⅰ)求 f ? 8 ? 的值; ? ? π

π y ? f ( x ) (Ⅱ)将函数 的图象向右平移 6 个单位后,得到函数 y ? g ( x) 的图象,

求 g ( x) 的单调递减区间.

2.正弦函数,余弦函数是轴对称图形,又是中心对称图形,对三角函数的对称性,你有把握 吗? 练习 4. 已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ? ? ? (? ? 0) 的最小正周期为
? ? ? ??

? ,则该函数的图象

?? ? 0 ? 对称 A.关于点 ? ? , ? ?

? x ? B.关于直线 ? 对称

?? ? 0 ? 对称 C.关于点 ? ? , ? ?

x? D.关于直线

? ? 对称
?

练习 5. 已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ( a 、 b 为常数, a ? 0 , x ? R )在 x ? 4 处取得

y? f( 最小值,则函数

3? ? x) 是( 4

) B.偶函数且它的图象关于点 ( 2 ,0) 对称 D.奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称
3?

A.偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称
3? C.奇函数且它的图象关于点 ( 2 ,0) 对称

3. 求角的函数值及角的范围是高考的重点 . 你对三角函数恒等变换的规律熟练掌握 吗? 练习 6. 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的

2 2 5 终边分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为 10 , 5 .
(Ⅰ)求 tan( ? ? ? )的值; (Ⅱ)求 ? ? 2? 的值.
y

4 0 ? ? ? ,sin ? ? 练习 7. 已知 2 5 sin 2 ? ? sin 2? (Ⅰ)求 cos 2 ? ? cos 2? 的值;

?

A B α O β 1

5? tan(? ? ) (Ⅱ)求 4 的值.

4.正弦定理,余弦定理的内容是什么,你能灵活运用它们解决解三角形的问题吗? 练习 8. 已知 A 船在灯塔 C 北偏东 85? 且 A 到 C 的距离为 2km , B 船在灯塔 C 西偏北
25? 且 B 到 C 的距离为 3km ,则 A, B 两船的距离为

A. 2 3km

B.

13km

C.

15km

D. 3 2km

练习 9. 北京 2008 年第 29 届奥运会开幕式上举行升旗仪式,在坡度 15° 的看台上, 同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60° 和 30° , 第一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示) ,则旗杆的高度为 A. 10 米 B. 30 米 C. 10 3 米 D. 10 6 米

? C ? c ? 2 A , B , C a , b , c △ ABC 练习 10. 在 中,内角 对边的边长分别是 ,已知 , . 3

(Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积.

练习 11.如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行 测量, 已知 AB=50m, BC=120m, 于 A 处测得水深 AD=80m, 于 B 处测得水深 BE=200m, 于 C 处 测 得 水 深 CF=110m , 求 ∠ DEF 的 余 弦 值 。

练习 12.为了测量两山顶 M, N 间的距离, 飞机沿水平方向在 A, B 两点进行测量, A, B,M,N 在同一个铅垂平面内(如示意图) ,飞机能够测量的数据有俯角和 A,B 间 的距离,请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标 出) ;②用文字和公式写出计算 M,N 间的距离的步骤。

5. 平面向量与三角函数的结合是高考的热点 , 你能借助向量工具解决三角函数问题 吗? 练习 13. ?ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c , ? ? ? ? ? ? 设向量 p ? (a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) ,若 p // q ,则角 C 的大小为 A. 6

?

B. 3
?

?

? C. 2
?

2? D. 3
? ?

练习 14.已知向量 m ? (sin A, cos A) , n ? ( 3 ,?1) , m? n ? 1 ,且

A 为锐角.

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域.

2015
题号 难度 考题

2013 17 0.516

2012 17 0.44

17 0.419

?ABC中,D是 △ABC在内角A、B、 已知a,b,c分别为 BC上的点,AD C的对边分别为a,b, △ABC的三个内角A,B, 平分∠BAC, c,已知 C的对边, ?ABD是?ADC a=bcosC+csinB。 面积的2倍。

(Ⅰ )求 ; (Ⅱ) 若AD=1, DC= ,求 BD和AC的长.

(Ⅰ)求B; (Ⅰ)求A; (Ⅱ)若b=2,求 (Ⅱ)若a=2,△ABC的 △ABC面积的最大值. 面积为 ,求b,c.

命题趋势:可能保持15的命题风格(基于有公共边的两个三角 形中的问题)。若改变应关注平面几何图形中的度量问题(平 面图形,实际测量中的平面图形)。

? ? ? ?

0.516[2013年新课标理科II卷]17 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知a=bcos C+csin B. (1)求B;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.

? 0.419【2015年新课标Ⅱ卷第17题】

A

1

B

D

C

? 0.463[2013年新课标全国Ⅰ卷]17. ? 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=√3,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90°. ? (Ⅰ)若PB=1/2,求PA; ? (Ⅱ)若∠APB=150°,求tan∠PBA.

? 0.299【2014年新课标Ⅱ卷第17题】

考点: 递推数列求通项; 等比数列求和;

不等式放缩法.

Sn ? f (n)

第二问是存在性问题.

Sn ? f (n)

0.624[2015年新课标全国Ⅰ卷]17.

? 08、10(错位)、11(裂项)、14(不等式)四次考查数列. ? 从2014年I、II卷这两个17题看,难度比前几年增 大.从考生得分情况看是不理想的. ? 数列是特殊的函数,经常从Sn=f(n)出发,考查等差 数列、等比数列;或从F(Sn,an)=0出发,联系递推 数列考查通项公式,特殊数列的求和问题. ? 解三角形主要是对正余弦定理、面积公式的简单 应用,三角恒等变换.

? 例1 [2013· 江西卷理科16] ? 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c, ? 已知cos C+(cos A-sin A)cos B=0. ? (1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范围.

转化为二次函 数求范围

【分析】(Ⅰ)先由余弦定理求b,再由正弦定理求sinC. (Ⅱ)由余弦定理和重要不等式.难点在第二问

【分析】(Ⅰ)先由余弦定理求b,再由正弦定理求sinC. (Ⅱ)由正弦定理和三角函数是有界性.

3、立体几何
对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上,“大 纲”中立体几何主体内容与“传统内容”有较大差异,对文科 与理科的要求有很大区别。(1)把“了解多面体、凸多面体、 正多面体、棱柱、棱锥、球的概念,掌握棱注、正棱柱、球的 性质”调整为“认识柱、锥、台、球及其简单组合的结构特征, 并能运用这些特征描述现实生活中物体的结构”。(2)把 “会画直棱柱、正棱锥的直观图”调整为“会用平行投影画出 简单空间图形的三视图与直观图”。(3)点线面的位置关系, 文科只按必修Ⅱ要求了四个公理和空间线面平行、垂直的有关 性质与判定的八个定理,以及能运用已获得的结论证明一些空 间位置关系的简单命题;理科在此基础上,增加了选修2-1中 的“空间向量与立体几何”。在立体几何引入空间向量后,使 理科比文科在很多问题上得到了拓展深化,而且这些问题都可 以用向量的方法解决(包括空间元素的夹角问题)。

1.你是否理解三视图的投影规律:“长对正,高平齐,宽相等”的含义,会应用吗?斜 二测画法的规则是否还熟悉?直观图与实际图形比较有何区别? 练习 1。一个空间几何体 G-ABCD 的三视图如图所示, 其中 Ai,Bi,Ci,Di,Gi(i=1,2,3)分别是 A,B,C,D,G 在直立、侧立、水平三个投影面内的投影.在正视图中, 四边形 A1B2C3D4 为正方形,且 A1B2=2a;在侧视图中, A2D2⊥A2G2;在俯视图中,G3D3=G3C3= 2 满足的条件 三棱锥 D—ACG 的体积是 .
2a .

根据三视图画出几何体的直观图,并标明 A,B,C,D,G 五点的位置和该几何体 ;

2.立体几何中,平行,垂直关系可以进行以下转化 :直线//直线,直线//平面,平面//平面之 间的转化;直线⊥直线,直线⊥平面,平面⊥平面之间转化,这些转化各自的依据是什么? 练习 2。已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是 ( ) A. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n C. 若m‖? , m‖ ? , 则?‖ ? B. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n

3.(理科)空间的三种角(异面直线所成角,直线和平面所成角,二面角及其平面角)的概 念清楚吗?它们的取值范围是什么?用向量方法求这些角的基本方法你熟练吗? 练习 3. 已知长方体 ABCD ? A1B1C1D1, AB ? 2, AA1 ? 1, 直线 BD 与平面 AA1B1B 所成 的角为 30 ? , AE 垂直 BD 于 E , F 为 A1B1 的中点. (I)求异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值; (II)求平面 BDF 与平面 AA1B 所成二面角的余弦值. 练习 4.四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧 棱的长都是地面边长的 2 倍,P 为 侧棱 SD 上的点。 (Ⅰ)求证:AC⊥SD; (Ⅱ)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P-AC-D 的大小

2015 题号 难度 19 0.501 18

2014 0.534 如图,四棱锥P-ABCD中,底面 ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD, E为PD的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面AEC; (Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°, AP=1,AD=60°, 求三棱锥E-ACD的体积.

2013 18 0.487 如图,直三棱柱 分别是 的中点, 中, D、E

考题 如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中 AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F 分别在A1B1,D1C1上, A1E=D1F=4,过点E,F的平面 与此长方体的面相交,交线围成一 个正方形 (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不 必说出画法和理由); (Ⅱ)求直线AF与平面 所成角 的正弦值.

?

(Ⅰ)证明: (Ⅱ)求二面角

平面

; 的正弦值.

?

立体几何
12年:底面是可证得等腰直角三角形的直三棱柱, (Ⅰ) 先求证线线垂直;(Ⅱ) 建系后求二面角. 0.487.13年Ⅱ卷:底面是可证得等腰直角三角形的直 三棱柱,(Ⅰ) 先求证线面平行;(Ⅱ) 建系后求二面 角. 0.524.13年Ⅰ卷:倒放的三棱柱,底面是等腰三角形 (Ⅰ) 先求证线线垂直;(Ⅱ) 建系后求线面角. 0.534.14年Ⅱ卷:一条侧棱垂直于底面(是矩形)的四 棱锥,(Ⅰ) 先求证线面平行;(Ⅱ) 建系后在已知二 面角的前提下求其中三棱锥的体积. 0.428.14年Ⅰ卷:倒放的三棱柱,其中一个侧面是菱 形,(Ⅰ) 先证垂直后得等腰三角形两腰相等;(Ⅱ) 建系后求二面角.

0.501.15年Ⅱ卷:一个长方体,(Ⅰ)画截面正方 形;(Ⅱ) 建系后求线面角. 0.332.15年Ⅰ卷:底面是一个有120°的菱形ABCD, E,F是平面ABCD同一侧的两点, (Ⅰ) 求证面面 垂直;(Ⅱ) 建系后求线线角.
D1 A1 E B1 F C1

D A B

C

2015年II卷

2015年I卷

4、解析几何与平面向量
解析几何是高中数学的又一重要内容,“大纲”的内容与 “传统内容”变化不是很大。(1)删去了“圆与椭圆的参数 方程”。(2)理科对双曲线,文科对双曲线与抛物线的定义, 标准方程和简单几何性质的要求从“理解”降低为“了解”。 由于平面向量可以用坐标表示,因此,以坐标为桥梁,使向量 的有关运算与解析几何的坐标运算产生联系,便可以以向量及 其有关运算为工具,来研究解决解析几何中的有关问题,主要 直线的平行、垂直、点的共线,夹角。解析几何问题着重考查 解析几何的基本思想,利用代数的方法研究几何问题是解析几 何的基本特点,因此,在解题的过程中计算占了很大的比例, 对运算能力有较高要求,但计算要根据题目中曲线的特点和相 互之间的关系进行,所以曲线的定义和性质是解题的基础,而 在计算过程中,要根据题目的要求,利用曲线性质将计算简化, 因此,特别注重对算法算理的考查,突出考查函数与方程的思 想,数形结合的思想,特殊与一般的思想,整体思想、换元法 等思想方法。.

2015 题号 20 难度 0.211 20

2014 0.185

2013 20 0.140

考题 已知椭圆C: (m>0),直线 l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l与C有 两个交点A,B,线段AB的 中点为M. (Ⅰ) 证明:直线OM的斜率 与的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若l过点 ,延长 线段OM与C交于点P,四边 形OAPB能否平行四边形? 若能,求此时l的斜率;若 不能,说明理由.

设 ,

分别是椭圆C:

平面直角坐标系

中,过椭圆

的左右焦点,M是C上一点且 与 x轴 垂直,直线 与C的另一个交点为N. (Ⅰ)若直线MN的斜率为 ,求C 的离心率; (Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2, 且 ,求a,b.

的右焦点 作直 线 交 于 两点, 为 的中点,且 的斜率为 . (Ⅰ)求 的方程; (Ⅱ ) 为 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 ,求四边 形 ACBD面积的最大值.

命题趋势:延续已有风格,降低运算量。

解析几何
? 0.140 [13年全国新课标Ⅱ卷理科20]:(Ⅰ)点差法求椭圆方 程; (Ⅱ)求对角线互相垂直的四边形面积的最大值. ? 0.150[13年全国新课标Ⅰ卷理科20]: (Ⅰ) 根据圆之间的内 外切,结合定义法求椭圆的方程;(Ⅱ)根据条件及其弦长 公式求弦长. ? 0.185 [14年全国新课标Ⅱ卷理科20]:(Ⅰ)由条件求椭圆的 离心率; (Ⅱ)由条件建立方程组求椭圆方程中的a,b的值. ? 0.433[14年全国新课标Ⅰ卷理科20]: (Ⅰ) 待定系数法求椭 圆的方程;(Ⅱ)根据条件及其弦长公式、当三角形面积的 最大值时求动直线的 方程.

? 0.145 [15年全国新课标Ⅱ卷理科20]: 2 2 2 ? 在椭圆 9 x ? y ? m (m ? 0) 中.直线l不过原点O且不平行 于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M. ? (Ⅰ) 证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值; ? (Ⅱ)由条件判断四边形OAPB能否为平行四边形? ? 0.308[15年全国新课标Ⅰ卷理科20]:在直角坐标系xOy中, 曲线C:y=x2/4和直线y=kx+a(a>0)相交于M,N两点. ? (Ⅰ)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程; ? (Ⅱ) y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有 ∠OPM=∠OPN?说明理由.

? 常考到: ? 相关点法求曲线方程,离心率的值或取值范围; ? 第二问往往考查最值问题、定值问题、存在性问 题.

? 例1.【2013· 新课标全国Ⅰ卷理科20、文科21】 ? 已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9, 动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹 为曲线C. ? (1)求C的方程; ? (2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C 交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.

? 例2.[2014· 新课标全国Ⅰ卷理科20]
? ? ? ? ? ?

x2 y 2 已知点A(0,-2),椭圆E: a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0)

的离心率为√3/2,F是椭圆E的右焦点, 直线AF的斜率为2√3/3,O为坐标原点. (1)求E的方程; (2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点. 当△OPQ的面积最大时,求l的方程.

? 例3.[2015· 新课标全国Ⅰ卷理科20]
? 在直角坐标系xOy中,抛物线C:y=x2/4和直线 y=kx+a(a>0)交于M,N两点. ? (Ⅰ)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程; ? (Ⅱ) y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有 ∠OPM=∠OPN?说明理由.

若k1=k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补. 故∠OPM=∠OPN.

5.概率统计与计数原理
概率统计是高中数学新课程特别加强的内容;课时 数由“传统内容”的30个增加为“大纲”中,理科60个、 文科38个。概率统计在工农业生产和社会生活中有着广泛 的应用,在生产和科技飞速发展的今天,概率统计的应用 已渗透到整个社会的方方面面,因此,概率统计的基础知 识已成为一个未来公民的必备常识。人们常常需要通过对 数据的收集、处理,提取有价值的信息,作出合理决策。 这些内容是一些重要的处理问题的方法和重要的数学工具。

(1)“大纲”中文科删除了“计数原理、二项式 定理”,理科虽保留了“计数原理、二项式定理”,但 “大纲”对难度作出了明确限制,“对必须用分类加法 原理才能解决的问题,最多不能超过二类,单纯的排列 题目或单纯的组合题目,附带条件不能超过2个,排列、 组合综合题,附带条件不能超过2个”。(2)对概率, 其核心问题是基于统计思想的概率意义,即随机事件发 生的不确定性和频率的稳定性。“大纲”中文科基于 “列举法”,要求仅限于必修Ⅲ的“事件与概率(互斥 事件)、古典概型、随机数与几何概型”,删除了“独 立事件的概率、独立重复实验等”;理科在“事件与概 率(互斥事件)、古典概型、随机数与几何概型独立事 件的概率、独立重复实验” 等基础上,还增加了“超几

何分布、条件概率”等内容;高考试卷中文理应该有别。

(3)无论文科还是理科,“大纲”中关于统计的的 要求都有所加强;在 “随机抽样、用样本估计总体、变量 的相关性,统计案例”等内容上,“大纲”对内容要求作 了明确限定。删除了统计案例中的“聚类分析、假设检 验。”高考试卷中对数据处理能力的考查主要依据统计或 统计案例中的方法对数据进行整理、分析,并解决给定的 实际问题;文科的解答题偏重于统计,而理科还应该包括 概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望。而且 这些问题应力求“贴近生活、背景公平、控制难度”,注 重考查基础知识和基本方法。

2014
题号 难度 0.311
y(单位:千元)的数据如下表:
年份 年份代号t 人均纯收 入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 200 7 1 200 8 2 200 9 3 201 0 4 2011 5 201 2 6 201 3 7

2013
19 0.297 18

2012

19

0.316

考题 某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入

(Ⅰ)求y关于t的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2007 年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入 的变化情况,并预测该地区2015年农村居民 家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估 计公式分别为:

经销商经销某种农产品,在一个销售季 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干 度内,每售出1t该产品获利润500元, 枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售。如 未售出的产品,没1t亏损300元。根据 果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (Ⅰ)若花店一天购进16枝玫 历史资料,得到销售季度内市场需求量 的频率分布直方图,如有图所示。经销 瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天 商为下一个销售季度购进了130t该农产 需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式。 品。以x(单位:t,100≤x≤150)表示 (Ⅱ)花店记录了100天玫瑰 下一个销售季度内经销该农产品的利润。 花的日需求量(单位:枝),整理得下表: (Ⅰ)将T表示为x的函 以100天记录的各需求量的频 数 率作为各需求量发生的概率。 (Ⅱ)根据直方图的需 (ⅰ)若花店一天购进16枝玫 求量分组中,以各组的区间中点值代表 瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X 改组的各个值求量落入该区间的频率作 的分布列、数学期望及方差; (ⅱ)若花店计划一天购进16 为需求量取该区间中点值的概率(例如: 若x )则取x=105,且x=105的概率等 枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17 于需求量落入[100,110]的T的数学期 枝?请说明理由。 望。

2015
题号

19
0.587
某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户, 得到用户对产品的满意度评分如下: A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两 地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可); (Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级:
满意度评分 满意度等级 低于70分 不满意 70分到89分 满意 不低于90分 非常满意

难度
考题

记时间C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地 区用户的评价结果相互独立。根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发 生的概率,求C的概率

统计与概率
? 07年:运用随机模拟方法估计概率.(Ⅰ) 求服从二项分布的 均值EX;(Ⅱ)几何概型的概率. ? 08年:投资效益问题.(Ⅰ)由所给分布列求所获利润的方 差;(Ⅱ)求所获利润方差之和的最小值. ? 09年:通过长短期培训后,体现工人们的生产能力差异. (Ⅰ)求简单古典概型的概率;(Ⅱ)由所给的频率分布表完成频 率分布直方图,并由直方图来求平均值. ? 10年:社会老龄化问题. (Ⅰ)求比例(估计概率);(Ⅱ)独立性 检验;(Ⅲ)分层抽样知识的应用. ? 11年:产品质量指标值问题. (Ⅰ)由A、B配方的频数分布表 计算优质品率;(Ⅱ)由频率估计概率的基础上,由分段函数给 出了各组的频率,求利润X的分布列及数学期望. ? 12年:花店利润问题. (Ⅰ)利润关于当天需求量的函数解析 式;(Ⅱ)由频率分布表以频率当作概率,(i)求利润X的分布 列、期望、方差;(ii)并说明进货量多少合适?(开放性问题.)

统计与概率
0.297. 13年理科Ⅱ 卷:农产品利润问题. (Ⅰ)利润T关于一个销售 季的需求量X的函数解析式;(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少 于57 000元的概率; (Ⅲ)以频率当作概率,求利润T的期望. 0.405.13年理科Ⅰ卷:产品质量检验问题. (Ⅰ)求这批产品通过检 验的概率; (Ⅱ) 求所需的费用记为X的分布列及数学期望. 0.311. 14年理科Ⅱ 卷:回归分析问题. (Ⅰ)根据所给数据表的条 件求线性回归方程; (Ⅱ) 预测农村居民家庭人均纯收入. 0.432.14年理科Ⅰ卷:产品质量指标问题. (Ⅰ)根据直方图求样本 的平均数和方差; (Ⅱ) 在认为这种产品的质量指标值服从正 态分布的前提下, (i)求P(187.8<Z<212.2) ; (ii)某用户从该企 业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值 位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用(i)的结果,求EX.

统计与概率
0.587 15年理科Ⅱ 卷:用户对产品的满意度. (Ⅰ)通过茎叶图比较 两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体 值,得出结论即可); (Ⅱ)记时件C:“A地区用户的满意度 等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价 结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事 件发生的概率,求C的概率. 0.349.15年理科Ⅰ卷:宣传费对产品销售、利润的影响,是经济 管理中的热点问题之一. (Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与 y=c+d√x 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程 类型?(给出判断即可,不必说明理由); (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判 断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(Ⅲ)已知这种产 品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下 列问题:某预报值和预报值的最大值 .

2014 题号 21 难度 0.151 21

2013 0.192 . 是 的极值点,求 的单调性; 时,证明 . ,

2012 21 0.120 已知函数f(x)满足 f(x)=f ′(1)ex-1-f(0)x+ x2. (1)求f(x)的解析式及单 调区间; (2)若f(x)≥ x2+ax+b,求 (a+1)b的最大值.

= 考题 已知函数 已知函数 (Ⅰ)讨论 的单调性; (Ⅰ)设 (Ⅱ)设 , 并讨论 当 时, ,求 的 (Ⅱ)当 最大值; (Ⅲ)已知 , 估计ln2的近似值(精确到 0.001)

2015 题号 难度 考题 21 0.164

设函数 (1)证明: 在 (2)若对于任意

。 单调递减,在 ,都有

单调递增; ,求m的取值范围。

函数与导数
? 0.192 [13年全国新课标Ⅱ卷]:已知函数f(x)=ex-ln(x+m). ? (1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; ? (2)当m≤ 2时,证明f(x)>0.
通过两次求导可知!

通过基本函数 图像可知!

函数与导数
? 0.192 [13年全国新课标Ⅱ卷]:已知函数f(x)=ex-ln(x+m). ? (1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; ? (2)当m≤ 2时,证明f(x)>0. 通过两次求导可知!

通过图像可知! 通过f(x)min=f(x0), 可得f(x) ≥f(x0), 最
后证得结论。

0.151[2014年全国新课标Ⅱ卷理科21]:
第一个难点是分解因式。

第二个难点是建立出不等 式以及解不等式。

可得g(x)<g(0)=0恒成立,矛盾!

2014年全国新课标Ⅱ卷理科21【解析】:

(3) 由(2)可知函数g(x)的图像

左右逼近

2014年全国新课标Ⅱ卷理科21【解析】:

0.164[2015年全国新课标Ⅱ卷理科21]:

通过两次求导可知!

2015年全国新课标Ⅱ卷理科21:

第一个难点是 将原题意转化为:
-1 1 -1

f(x)max-f(x)min<e-1,
1

即f(x)max<e-1.

第二个难点是构造新函数g(t).

第三个难点是先研究函数g(t)的性质,再还原g(m)的性质, 最后得到结论.

? 从2010年开始,基本上都是考查:

? 还有一种类型没有考到:

? ? ? ?

常会考到: 函数在某闭区间上的最值; 由最值引入比较大小或不等式的参数讨论; 证明函数不等式等等.

2014 题号 23 难度 0.462 23

2013 0.373

2012 23 0.425

考题 在直角坐标系xoy中,以坐 标原点为极点,x轴为极轴 建立极坐标系,半圆C的极 坐标方程为 . (Ⅰ)求C的参数方程; (Ⅱ)设点D在C上,C在D 处的切线与直线 垂直,根据(Ⅰ)中你得 到的参数方程,确定D的坐 标.

已知动点P,Q都在曲线

已知曲线C1的参数方程式

(t为参数)上, ( 为参数),以坐标原点为极点, 对应参数分别为t=α 与t=2α(0<α<2π) x轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线 ,M为PQ的中点. C2的极坐标方程式 =2. 正方形 (Ⅰ)求M的轨迹的参数方程 ABCD的顶点都在C2上,且A, (Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为a B,C,D依逆时针次序排列,点A 的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原 的极坐标为 . 点。 (Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标; (Ⅱ)设P为C1上任意一点, 求 的取值范围.

2015 题号 23 难度 0.415

考题

在直角坐标系xOy中,曲线C1: (t为参数,t ≠ 0),其中0 ≤ α < π, 在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2: ,C3: 。 (1)求C2与C3交点的直角坐标; (2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求 的最大值。

2014

2013

2012

题号 24
难度 0.430 考题 设函数 = 2; ,求

24
0.147 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证 明: (Ⅰ) (Ⅱ)

24
0.483 已知函数 (1)当a= -3时,求不等式f(x) 3 的解集; (2)若 的解集包含 [1,2],求a的取值范围。

(Ⅰ)证明 : (Ⅱ)若 的取值范围.

2015 题号 24 难度 0.455 考题

选修4 - 5:不等式选讲 设a,b,c,d均为正数,且a + b = c + d,证明: (1)若ab > cd;则 ; (2) 是 的充要条件。

第22、23、24选作题
? 22【考查目标】本题主要考查等腰三角形及其顶 角平分线、相似三角形、圆内接四边形性质、圆 幂定理及弦切角等基本知识,深入考查考生的逻 辑推理能力和计算能力。 ? 23【考查目标】本题考查极坐标方程与直角坐标 方程的互化,考查考生对直线的参数方程、圆的 极坐标方程、直线的极坐标方程的理解和应用, 不仅考查逻辑思维能力,而且考查运算求解能力。 ? 24【考查目标】本题考查不等式的基本性质,考 查解含绝对值不等式的方法或用比较法、分析法、 综合法证明不等式

? 【复习策略】(1)新课标卷在选修分值占10分, 内容增加了平面几何,且平面几何有难度。 (2) 平面几何主要以圆的性质和三解形相似、全等判 断证明为主,是 学生最怕的,是难点。 (3)参 数方程以直线、圆、椭圆参数方程为重点,要加 强直线参数方程参数几何意义认识及应用以简化 运算。极坐标方程也往往是与普通方程互化,运 算有加大趋势。(4)三角恒等变换是应用的基础, 数形结合是主要的思想方法,由于多数学得较好 的考生做这道题,使得平均分增加试题难度加大。 (5)不等式选讲主要以绝对值不等式性质与解绝 对值不等式为主,但是这几年考了不等式证明, 难度有加大的趋势,考生不好把握。(6)总的来 说,选考题较以往几年新课标高考的选考题难度 在增加, 要有针对性加强某一方面进行突破。值 得商榷的是选考题做题时机,我们要去用心摸索。

谢谢大家!
宁夏教育厅教研室 葛建华


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