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不等式恒成立问题


高三理科数学第 24 讲
——不等式恒成立问题

学生:张峻杰 学而不思则罔,思而不学则殆!

1

卓越教育教案专用
学生姓名 教学课题 重点、难点 求参数的取值范围 教师姓名 任亮英 年级:高三 课型:专题复习课 张峻杰 授课时间: 不等式恒成立问题 授课科目:数学

一、作业检查与讲评

二、课前检测 1、定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 3) ? f ( x) , f (2) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 在区间 ? 0,6? 内零点个数的为

2、设函数 f ( x) 在定义域内可导, y ? f ( x) 的图象如下右图所示,则导函数 y ? f ?( x) 可能为(

)

3、函数 f ( x) ? x ? 3bx ? 3b 在 (0, 1) 内有极小值,则(
3

) D. b ?

A. 0 ? b ? 1

B. b ? 1

C. b ? 0

1 2

三、典型例题
2

考点 1、恒成立问题 方法一、函数性质法 1、一次函数 f ( x) ? kx ? b(k ? 0) 若 y ? f ( x)在?m, n? 内恒有 f ( x) ? 0 ,则根据函数的图像

?a ? 0 ?a ? 0 ? f ( m) ? 0 ? f ( m) ? 0 可得 ? 可合并成 ? ,同理若 y ? f ( x)在?m, n? 内恒有 f ( x) ? 0 则有 ? 或? ? f (m) ? 0 ? f (n) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? f ( n) ? 0
例 1 、若不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1) 的所有 ? 2 ? m ? 2 都成立,则 x 的取值范围__________.
2

2、 二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解 有以下几种基本类型: 类型 1:设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0).
2

(1) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 ; (2) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 . 类型 2:设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0).
2
[来源:学科网]

b ? b ? ? b ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?, ?? (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? 2a 或? 或 ? 2a 2a ? ? ? f (? ) ? 0 ? ?? ? 0 ? f ( ? ) ? 0.

? f (? ) ? 0, f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? ? f ( ? ) ? 0.

3

(2)当 a ? 0 时, f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ?

? ? f ?? ? ? 0, ? ? f ? ? ? ? 0.

b ? b ? ? b ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?, ?? f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? 2a 或? 或 ? 2a 2a ? ? ? f (? ) ? 0 ? ?? ? 0 ? f ( ? ) ? 0.
例 2 、已知函数 f ( x ) ? ln x ?

1 3 x? ? 1 , g ( x) ? x2 ? 2bx ? 4 ,若对任意 x1 ? (0,2) ,存在 x2 ?[1, 2] ,使 4 4x
[来源:学科 网]

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 b 的取值范围是(
A. (2,



17 ] 8

B. [1, ??)

C. [

17 , ?? ) 8

D. [2, ??)

变式、已知不等式

1 2x
2

?x

1 2 ? ( ) 2 x ?mx ? m? 4 对任意 x ? R 恒成立,则实数 m 的取值范围是______. 2

3、其它函数: ; f ( x) ? 0 恒成立 ? f ( x)min ? 0 (注:若 f ( x) 的最小值不存在,则 f ( x) ? 0 恒成立 ? f ( x) 的下界大于 0) . f ( x) ? 0 恒成立 ? f ( x)max ? 0 (注:若 f ( x) 的最大值不存在,则 f ( x) ? 0 恒成立 ? f ( x) 的上界小于 0) 例 3 、已知函数 f ( x) 满足 f (log a x) ?

a ( x ? x ?1 ) ,其中 a ? 0 ,且 a ? 1 . a ?1
2

(1)求函数 y ? f ? x ? 的解析式,并判断其奇偶性; (2)当 x ? (??, 2) 时, f ( x) ? 4 的值恒为负数,求实数 a 的取值范围

4

变式、已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ,当 x ? 1 时, f ( x) 取得的极值 ? 3 . (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若对于任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ? 2m ? m ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2

方法二、分离参数法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端, 从而问题转化为求主元函数的最值, 进而 求出参数范围.利用分离参数法来确定不等式 f ? x, ? ? ? 0 ( x ? D , ? 为实参数)恒成立中参数 ? 的取值范围 的基本步骤: (1)将参数与变量分离,即化为 g ? ? ? ? f ? x ? (或 g ? ? ? ? f ? x ? )恒成立的形式; (2)求 f ? x ? 在 x ? D 上的最大(或最小)值; (3)解不等式 g ? ? ? ? f ( x)max (或 g ? ? ? ? f ? x ?min ) ,得 ? 的取值范围. 适用题型: (1)参数与变量能分离; (2)函数的最值易求出.
[来源:Zxxk.Com]

2 例 4、 已知 f ( x) ? a ln(x ? 1) ? x 在区间 ?0,1? 内任取两个实数 p, q , 且 p ? q, 不等式

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ?1恒 p?q

成立,则实数 a 的取值范围为 A. ?15,?? ? B. (??,15] C.(12,30] D.(-12,15]

变式 1、当 x ? (1, 2) 时,不等式 x

2

? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是(
D. m ? 5

)

A. m ? ?5

B. m ? ?5

C. m ? 5

5

变式 2、 设函数是定义在 (??, ??) 上的增函数, 如果不等式 f (1 ? ax ? x ) ? f (2 ? a) 对于任意 x ? [0,1] 恒成立,
2

求实数 a 的取值范围.

变式 3、已知函数 f ? x ? ? mx ?

m , g ? x ? ? 2 ln x . x

(1)当 m ? 1 时,判断方程 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上有无实根; (2)若 x ? ?1, e? 时,不等式 f ? x ? ? g ? x ? ? 2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

例 5、已知函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于 x∈R,f(x)<0 恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<5-m 恒成立,求实数 m 的 取值范 围.

[来源:Z_xx_k.Com]

6

方法三、 主参换位——反客为主法 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使 能容易分离出参数与变量,但函数的 最值却难以求出时,可考虑变换思维角度“反客为主” , 即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下, 变个视角重新审查恒成立问题,往往可避免不必要 的分类讨论或使问题降次、简化,起到“山穷水尽疑无路, 柳暗花明又一村”的 出奇制胜的效果. 例 6、对于满足 | p |? 2 的所有实数 p ,求使不等式 x2 ? px ? 1 ? 2 p ? x 恒成立的 x 的取 值范围.

变式 1、对任意 a ?[?1,1] ,函数 f ( x) ? x 2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值恒大于零,则 x 的取值范围是( A、 1 ? x ? 3 B、 x ? 1 或 x ? 3 C、 1 ? x ? 2 D、 x ? 1 或 x ? 2



变式 2、若不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,则 x 的范围(
2

)

A?

? ?1? 7 1? 3 ? ? ?1? 7 1? 3 ? ? ?1? 7 ? ? 1? 3 ? ? ,B ? ? ,C ? ? ,?? ? , , ,D ? ? ?, ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ? ? 2 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?

方法四、 消元转化法 例 7、已知 f ( x ) 是定义在 [?1,1] 上的奇函数,且 f (1) ? 1 ,若 m, n ? [?1,1], m ? n ? 0时
f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1 对于所有的 x ? [?1,1], a ? [?1,1] 恒成立,求实数 t 的取值范围.

f (m) ? f (n) ? 0 ,若 m?n

[来源:学科网 ZXXK]

7

变式、若不等式 bx ? c ? 9ln x ? x 2 对任意的 x ? ? 0, +?? , b ? ? 0, 3? 恒成立,则实数 c 的取值范围是



考点 2、利用导数证明、解不等式问题 例 8、若 f ( x) 的定义域为 R , f ?( x) ? 2 恒成立, f (?1) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 解集为( A. (?1,1) )

, ? ?) B. (?1

C. (??, ?1)

D. (??, ??)
x x

变式 1、函数 f ( x ) 的定义域是 R,f(0)=2,对任意 x∈R,f(x)+f′(x)>1,则不等式 e ·f(x)>e +1 的解集为 ( ) B.{x|x<0} C.{x|x<-1 或 x>1} D.{x|x<-1 或 0<x<1}

A.{x|x>0}

变式 2、定义域为 R 的函数满足 f(1)=1,且 f(x)的导函数 f ?( x) ? ( )[来源:学&科&网 Z&X&X&K] B.{x|-1<x<1} C.{x|x<-1 或 x>1}

1 ,则满足 2 f ( x) ? x ? 1 的 x 的集合为 2

A.{x|x<1}

D.{x|x>1}

2 变式 3、设函数 f ( x ) 是定义在(一 ? ,0)上的可导函数,其导函数为 f ?? x ? ,且有 2 f ?x ? ? xf ??x ? ? x ,则不等

式 ?x ? 2014 ? f ?x ? 2014? ? 4 f ?? 2? ? 0 的解集为
2

.

变式 4、设 f ( x ) 、g ? x ? 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数.当x ? 0 时, f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g? ? x ? ? 0 且

g ? ?3? ? 0.则不等式 f ? x ? g ? x ? ? 0 的解集是(
A. ? ??, ?3? ? ? 0,3? B.? ?3,0? ? ? 3, ?? ? C.

) D. ? ?3,0? ? ? 0,3?

? ??, ?3? ? ?3, ???

变 式 5 、 已 知 f ( x ) 定 义 域 为 (0 , + ? ) , f '( x ) 为 f ( x ) 的 导 函 数 , 且 满 足 f ( x) ? ? xf '( x) , 则 不 等 式

f ( x ? 1) ? ( x ?1) f ( x2 ?1) 的解集是

.

例 9、已知 f ( x) 为 R 上的可导函数,且 ?x ? R ,均有 f ( x) ? f ?( x) ,则以下判断正确的是(


8

A. f (2013) ? e C. f (2013) ? e

2013

f (0) f (0)

B. f (2013) ? e D. f (2013)与e

2013

f (0) f (0) 大小无法确定


2013

2013

变式 1、已知 f ( x ) 为 R 上的可导函数,且满足 f ( x) ? f '( x) ,对任意正实数 a ,下面不等式恒成立的是( A. f ( a ) ?

f (0) ea

B. f ( a ) ?

f (0) ea

C. f (a) ? ea f (0)

D. f (a) ? ea f (0)

变式 2、若 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则( A. e 2 ? e 1 ? ln x2 ? ln x1
x x x


x

B. e 2 ? e 1 ? ln x2 ? ln x1

C. x2e 1 ? x1e
x

x2

D. x2e 1 ? x1e
x

x2

' ' 变式 3、设函数 f ( x) 的导函数为 f ( x) ,对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f ( x) 成立,则(



A. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) C. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3)

B.

3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3)

D. 3 f (ln 2) 与 2 f (ln 3) 的大小不确定

例 10、对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ,若满足 A. f (1) ? f (3) ? 2 f (2) C. f (1) ? f (3) ? 2 f (2)

2? x ? 0 ,则必有( f '( x)



B. f (1) ? f (3) ? 2 f (2) D. f (1) ? f (3) ? 2 f (2)

/ 变式、对于 R 上可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x ? 1) f ( x) ? 0 ,则必有

A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

考点 3、导数的综合应用 例 11、已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? a ln x ? (a ? R, a ? 0). 3 3

(1)当 a ? 3 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间; (3)若对任意的 x ? [1, ??) ,都有 f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围.

9

例 7、已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax 的图像在点 A(l,f(1))处的切线 l 与直线 x 十 3y+2=0 垂直,若数列 {

1 }的 f (n)

前 n 项和为 Sn ,求 S2014 的值.

例 8、对任意实数 x, y ,定义运算 ? : x ? y ? ? 是( (A) a ) (B) b ( C) c

? ?x ? ?y

? x ? y? ln 2 ln 3 ln 5 ,b ? ,c ? ,设 a ? ,则 b ? c ? a 的值 4 9 25 ? x ? y?

(D)不确定

四、课堂小结

10

五、课后作业 1、若函数 h( x ) ? 2 x ? A. (?2,??)

k k ? 在 (1,??) 上是增函数,则实数 k 的取值范围是 x 3
B. (2,??) C. (??,?2) D. (??,2)

2、函数 f ( x) ? ax3 ? bx 在 x ? A. 2

1 处有极值,则 ab 的值为( a
C. 3

) D. ? 3

B. ? 2

3、已知 f ? x ? 是可导的函数,且 f ?( x) ? f ( x) 对于 x ? R 恒成立,则( A. f (1) ? ef (0), f (2014 ) ? e 2014 f (0) C. f (1) ? ef (0), f (2014 )?e
2014

)

B. f (1) ? ef (0), f (2014 ) ? e 2014 f (0) D. f (1) ? ef (0), f (2014 )?e
2014

f (0)

f (0)

4、 (1)已知对任意 x ?? ?1,1? ,函数 f ? x ? ? x ? ? a ? 4? x ? 4 ? 2a 的值恒大于零,求 a 的取值范围.
2

(2)已知对任意 a ?? ?1,1? ,函数 f ? x ? ? x ? ? a ? 4? x ? 4 ? 2a 的值恒大于零,求 x 的取值范围.
2

5、设函数 f ( x) ? x2 ? ax ? ln x(a ? R) . (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的单调区间;

1] 上是减函数,求实数 a 的取值范围 (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 (0 ,

6、当 x ?[?2,1] 时,不等式 ax ? x ? 4 x ? 3 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是(
3 2



A. [?5, ?3]

B. [ ?6, ? ]

9 8

C. [?6, ?2]

D. [?4, ?3]

7、若 f(x)=-

1 (x-2)2+bln x 在(1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是( 2
B.(-1,+∞) D.(-∞,-1)

)

A.[-1,+∞) C.(-∞,-1]

11

8、已知向量 a =(e ?
x

x2 ,-x) , b=(1,t ) ,若函数 f ? x ?=a· b 在区间(-1,1)上存在增区间,则 t 的取值范围为 2

________.

9、例 2、变式、当 a>0 时,函数 f(x)=(x2-2ax)ex 的图象大致是(

)

12


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