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高三数学第一轮复习单元讲座第05讲 函数图象及数字特征


高三新数学第一轮复习

第五讲 函数图象及数字特征
一.知识整合
1.函数图象 (1) 作图方法: 以解析式表示的函数作图象的方法有两种, 即列表描点法和图象变换法, 掌握这两种方法是本讲座的重点。 作函数图象的步骤:①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性 质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势) ;④描点连线,画出

函数的图象。 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线 要把表列在关 键处,要把线连在恰当处 这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作 一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是一个 难点 用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换,以及确定怎 样的变换,这也是个难点。 (2)三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等; ①平移变换:
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Ⅰ、水平平移:函数 y ? f ( x ? a) 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向 左 (a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到; 1)y=f(x) ? y=f(x+h);2)y=f(x) ? y=f(x?h); Ⅱ、竖直平移:函数 y ? f ( x) ? a 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向 上 (a ? 0) 或向下 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到; 1)y=f(x) ? y=f(x)+h;2)y=f(x) ? y=f(x)?h 。
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左移 h

右移 h

上移 h

下移 h

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②对称变换: Ⅰ、函数 y ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称即可得到; y=f(x) ? y=f(?x) Ⅱ、函数 y ? ? f ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称即可得到; y=f(x) ? y= ?f(x) Ⅲ、函数 y ? ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于原点对称即可得到;
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x轴

y轴

y=f(x) ? y= ?f(?x) Ⅳ、函数 x ? f ( y ) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称得到。
直线 y ? x

原点

y=f(x)

? x=f(y)

Ⅴ、 函数 y ? f (2a ? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 对称即可 得到;
直线 x? a

y=f(x)

? y=f(2a?x)。

③翻折变换: Ⅰ、函数 y ?| f ( x) | 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴翻折 到 x 轴上方,去掉原 x 轴下方部分,并保留 y ? f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到;
y

y=f(x)

y

y=|f(x)|

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

Ⅱ、 函数 y ? f (| x |) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边 替代原 y 轴左边部分并保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分即可得到
y
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y=f(x)

y

y=f(|x|)

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

④伸缩变换: Ⅰ、函数 y ? af ( x) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点横坐标不 变纵坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的 a 倍得到; y=f(x) ? y=af(x) Ⅱ、 函数 y ? f (ax) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点纵坐标不
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y? a

变横坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的
x? a
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1 倍得到。 a

f(x) y=f(x) ? y=f( ax )
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(3)识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。 2.幂函数

y ? x ? (? ? 0,1) 在第一象限的图象,可分为如图中的三类:

? ?1

0?? ?1

? ?0

图 在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时,所涉及的幂函数

1 1 1 ? ? y ? x ? 中 ? 限于在集合 ??2 , ? 1, ? , , ,1,2 ,3? 中取值。 2 3 2 ? ?
幂函数有如下性质: ⑴它的图象都过(1,1)点,都不过第四象限,且除原点外与坐标轴都不相交; ⑵定义域为 R 或 ( ? ?,0) ? (0, ? ?) 的幂函数都具有奇偶性,定义域为

R ? 或?0, ? ?? 的幂函数都不具有奇偶性;
? ⑶幂函数 y ? x (? ? 0) 都是无界函数;在第一象限中,当 ? ? 0 时为减函数,当

? ? 0 时为增函数;
⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点(1,1) ,至多有三个公共点;

二.典例精析
题型 1:作图 例 1. (06 重庆 理)如图所示,单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所围成 的弓形面积的2倍,则函数 y=f(x)的图象是( )

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A

B

C

D

例 2. (1996 上海, 文、 8) 理 在下列图象中, 二次函数 y=ax2+bx 与指数函数 y= (
x

b ) a

的图象只可能是(



题型 2:识图 例 3. (06 江西 12)某地一年内的气温 Q(t ) (单位:℃)与时间 t (月份)之间的关系如图所 示,已知该年的平均气温为 10℃,令 C (t ) 表示时间段 ?0,t ? 的 平均气温,C (t ) 与 t 之间的函数关系用下图表示,则正确的应 该是( )

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例 4. (2002 上海文,理 16)一般地,家庭用电量(千瓦时)与气温(℃)有一定的 关系,如图 2—1 所示,图(1)表示某年 12 个月中每月的平均气温.图(2)表示某家庭 在这年 12 个月中每个月的用电量.根据这些信息, 以下关于该家庭用电量与其气温间关系 的叙述中,正确的是( )

图 A.气温最高时,用电量最多 B.气温最低时,用电量最少 C.当气温大于某一值时,用电量随气温增高而增加 D.当气温小于某一值时,用电量随气温渐低而增加 题型 3:函数的图象变换 例 5. (2002 全国理,10)函数 y=1-

1 的图象是( x ?1



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例 6. (05 广东理 9)在同一平面直角坐标系中,函数 y ? f (x) 和 y ? g (x) 的图象 关于直线 y ? x 对称。现将 y ? g (x) 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位,再沿 y 轴向上平 移 1 个单位,所得的图象是由两条线段组成 的折线(如图 2 所示) ,则函数 f (x) 的表达 式为( )

?2 x ? 2,?1 ? x ? 0 ? A. f ( x) ? ? x ? 2 ? 2,0 ? x ? 2 ? ?2 x ? 2,?1 ? x ? 0 ? B. f ( x) ? ? x ? 2 ? 2,0 ? x ? 2 ? ?2 x ? 2,1 ? x ? 2 ? C. f ( x) ? ? x ? 2 ? 1,2 ? x ? 4 ? ?2 x ? 6,1 ? x ? 2 ? D. f ( x) ? ? x ? 2 ? 3,2 ? x ? 4 ?
题型 4:函数图象应用 例 7.函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像如下图:则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的图像可能 是( )
y y=f(x) o x
o y y=g(x) x

y

y
x

y
x
B
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y x
C

o

o

o

o
D

x

A

例 8. (2000 春季北京、安徽,14)已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图,求 b 的范围。

y

o

1

2

x

题型 5:函数图像变换的应用 例 9.已知 0 ? a ? 1 ,方程 a| x| ?| loga x | 的实根个数为( A.2 B.3
2



C.4 D.2 或 3 或 4 a ? b ? 0 ,且 f (a) ? f (b) ,则 ab 的取值范围是( 例 10.设 f ( x) ?| 2 ? x | ,若



A. (0 , 2)

B. (0 , 2]

C. (0 , 4]

D. (0 , 2)

题型 6:幂函数概念及性质
m

例 11.函数 y ? x n (m, n ? Z , m ? 0, | m |, | n | 互质)图像如图所示,则( A. m n ? 0, m, n 均为奇数 B. m n ? 0, m, n 一奇一偶 C. m n ? 0, m, n 均为奇数 D. m n ? 0, m, n 一奇一偶 例 12.画出函数 y ? 性质。 )

y

O

x

3 ? 2x 的图象,试分析其 x?3

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题型 7:抽象函数问题 例 13 . 函 数 f (x) 的 定 义 域 为 D : {x | x ? 0} 且 满 足 对 于 任 意 x1 , x2 ? D , 有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ). (Ⅰ)求 f (1) 的值; (Ⅱ)判断 f (x) 的奇偶性并证明; (Ⅲ)如果 f (4) ? 1, f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? 3, 且f ( x)在(0,??) 上是增函数,求 x 的取值范围。



14 . ( 2005

广 东

19 ) 设 函 数

f ( x)在(??,??)

上 满 足

f (2 ? x) ? f (2 ? x), f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,且在闭区间[0,7]上,只有 f (1) ? f (3) ? 0.
(Ⅰ)试判断函数 y ? f (x) 的奇偶性; (Ⅱ)试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论。

题型 8:函数图象综合问题 例 15.如图,点 A、B、C 都在函数 y= x 的图象上,它们的横坐标分别是 a、a+1、 a+2。 A、 C 在 x 轴上的射影分别是 A′、 又 B、 B′、 C′,记△AB′C 的面积为 f(a), △A′ BC′的面积为 g(a)。 (1)求函数 f(a)和 g(a)的表达式; (2)比较 f(a)与 g(a)的大小,并证明你的结论。

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例 16. 设曲线 C 的方程是 y ? x3 ? x , C 沿 x 轴、y 轴正方向分别平移 t 、 (t ? 0) 将 s 个单位长度后得到曲线 C1 , (1)写出曲线 C1 的方程; (2)证明曲线 C 与 C1 关于点 A( , ) 对称; (3)如果曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点,证明: s ?

t s 2 2

t2 ?t 4

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三.思维总结
函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合,有效地揭示了各类函数和定 义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性,体现了数形结合的特征与方法,为 此,既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形,又要熟练地掌 握函数图象的平移变换、对称变换。 常见的函数数字特征有: (1)函数奇偶性: 奇函数 f (? x) ? ? f ( x) ; 偶函数 f (? x) ? f ( x) 。 (2)函数单调性: 单调递增

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 或 ( x1 ? x2 )( f ( x1 ) ? f ( x2 )) ? 0 ; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 或 ( x1 ? x2 )( f ( x1 ) ? f ( x2 )) ? 0 。 x1 ? x2
T T ) ? f (x ? ) ; 2 2

单调递增

(3)函数周期性 周期为 T : f ( x ? T ) ? f ( x) 或 f ( x ? (4)对称性 关于 y 轴对称: f (? x) ? f ( x) ;
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关于原点对称: f (? x) ? ? f ( x) ; 关于直线 x ? a 对称: f (a ? x) ? f (a ? x) 或 f ( x) ? f (2a ? x) ; 关于点 ( a, b) 对称: f ( x) ? 2b ? f (2a ? x) 或 f (a ? x) ? b ? b ? f (a ? x) 。 四,重点题型强化

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