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长宁、青浦、宝山、嘉定2016届高三4月(四区)联考数学(理)试卷(扫描版,含解析)


嘉定、长宁、宝山、青浦(理科)详解—1

嘉定、长宁、宝山、青浦(理科)详解—2

嘉定、长宁、宝山、青浦(理科)详解—3

嘉定、长宁、宝山、青浦(理科)详解—4

2016 年青浦区高考数学(理科)二模卷
一、填空题 1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知 识. 【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集,补集,并集. 【参考答案】 (?2,1]
2 【试题分析】 A ? ?x || x | <2, x ? R? ? ?x | ?2<x<2? , B ? x | x ? 4 x ? 3≥0, x ? R

?

?

? ?x≤ 1或x≥3? ,所以 A ? B ? (?2,1] .故答案为 (?2,1] .
2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或涨掌握初等数学中有关数与运算的基本知 识. 【知识内容】数与运算/复数初步/复数的四则运算. 【参考答案】1

1? z 1? i (1 ? i)2 ? i ,所以 1 ? z ? (1 ? z )i ? z ? 【试题分析】因为 ? ? ?i , 1? z 1 ? i (1 ? i)(1 ? i)
则 | z |?

02 ? (?1) 2 ? 1 .故答案为 1.

3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知 识. 【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/指数函数的性质与图像、反函数. 【参考答案】 (3,1) 【试题分析】因为函数 f ( x) ? a
x ?1

,根据互为反函数的两个函数之间的 ? 2 经过定点(1,3)

关系知,函数 f ( x ) 的反函数经过定点(3,1) ,故答案为(3,1). 4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初数学中有关方程与代数的基本知识. 【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限. 【参考答案】

3 2
2 n 2 n 2

【试题分析】 lim

P ?C ? n ?∞ ( n ? 1)

n(n ? 1) ?

3 n(n ? 1) 3? 3 3n(n ? 1) n ?3, 2 故答案为 . ? ? 2 2 4 2 2 (n ? 1) 2(n ? 1) 2? ? 2 2 n n

5.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知 识. 【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体. 【参考答案】

2? 3

【试题分析】设直线 2 x ? y ? 2 ? 0 与条坐标轴的交点分别为 A,B,则 A (1, 0) ,B(0,2) ,

嘉定、长宁、宝山、青浦(理科)详解—5

于是 △AOB 绕 y 轴旋转一周,该几何体为底面半径为 1,高为 2 的圆锥, 所以 V ?

2? 1 2 1 2? ?R h ? ? ??12 ? 2 ? ,故答案为 . 3 3 3 3

6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知 识. 【知识内容】函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切. 【参考答案】 3

? ? ? sin ? ,所以 cos ? ? ? 【 试题分析 】 由 sin 2? ? sin ? ? 0 得, 2 sin? cos

1 ,因为 2

? ? ( , ?? ,所以 sin ? ?

? 2

2tan ? 3 ? 3 ,故答案为 3 . , tan ? ? ? 3 ,又 tan 2 ? ? 1 ? tan 2 ? 2

7. 【测量目标】 数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质. 【参考答案】 (??, ?2] ? [0, 2] 【试题分析】当 x ? 0 时,因为 f ( x) ? 2x ? 4≤0 ,所以 0 ? x≤2 ,又因为 y ? f ( x) 是定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 所 以 f (0) ? 0, y ? f ( x) 在 ( ??, 0) 上 单 调 递 增 , 并 且

f (?2) ? ? f (2) ? 0 , 所 以 f ( x) ≤0 ? ≤ x - 2 , 综 上 , 不 等 式 f ( x)≤0 的 解 集 为 (??, ?2] ? [0, 2] ,故答案为 (??, ?2] ? [0, 2] .
8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知 识. 【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质. 【参考答案】 y ? 4 x
2

p 1 1 , 0) ,线段 OA 的中点坐标为 ( , ) ,因为 kOA ? 1, 2 2 2 p 1 ? 2 2 ? ?1 ,所以 p ? 2 ,则抛 所以经过抛物线焦点的线段 OA 的垂直平分线的斜率 k0 ? 1 2
【试题分析】设抛物线的焦点坐标为 ( 物线的标准方程为 y ? 4 x ,故答案为 y ? 4 x .
2 2

9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程. 【参考答案】 (0,1)

? 5 t, ?x ? 1? ? 5 2 【 试 题 分 析 】 因 为 (sin 所以将 ? ①代入 ? ? cos ? )? 2 sin ? cos ? ? ,1 ? y ? ?1 ? 2 5 t ? 5 ? ? x ? sin ? ? cos ? , 2 5 2 5 5 t ) ? 2(1 ? t) ? 1 , 代入得 (?1 ? 解得 t ? 5 或 ? ,将 t ? 5 、 ? 5 5 2 ? y ? sin ? ? cos ?
嘉定、长宁、宝山、青浦(理科)详解—6

3 ? ? x ? 0, ? x ? , π 5 代入 ① 求得 或 ? 2 ,因为 y ? sin ? ? cos ? ? 2(sin ? ? )≥ ? 2 ,所 ? ? 4 2 ? y ? 1 ? y ? ?2 ? ? x ? 0, 以只有 ? 符合题意,故答案为 (0,1) . ?y ?1
10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知 识. 【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理. 【参考答案】5
?1 n?1?m 【试题分析】 (2 x ? ) 的展开式中第 m 项为的系数 bm ? Cm ,因为 b3 ? 2b4 ,所以 n 2
n

1 x

n?2 n?3 3 n ? 5 ,故答案为 5. ,即 C2 C2 ? 2C3 n2 n2 n ? Cn ,得

11. 【测量目标】 数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、 画图和推理. 【知识内容】图形与几何/简单集合体的研究/椎体; 数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征. 【参考答案】

6?2 3 5 3 2 ?2 ? 3 , 4

【试题分析】如图,在棱长均为 2 的正四棱锥 P ? ABCD 中,因为 AD ? PD ? 2 , 所以

BD ? 2 2 , DO ? 2 ,所以 PO ? PD2 ? DO2 ? 2 , S△PAD ?

1 1 S△PDB ? ? 2 ? 2 2 ? 2 , S△ABD ? ? 2 ? 2 ? 2 ,从正四棱锥的 5 个顶点中任取 3 个点, 可 2 2 以构成的三角形的个数为 C3 其中顶点在侧面的三角形的有 4 个, 在对角面的有 2 个, 5 ? 10 ,
在底面的有 4 个,故 E? ?

3 ? 4 ? 2? 2 ? 2? 4 6 ? 2 3 . ? 10 5

第 11 题图 cna1 12.【测量目标】运算能力/能通过运算,对问题进行推理和探求. 【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列. 【参考答案】 2n ? 6n
2

【试题分析】因为 a1 ? a2 ? …+ an ? n2 +3n ①,所以 a1 ? 4 ,当 n≥2 时,

a1 ? a2 ? …+ an?1 ? (n ? 1)2 +3(n ? 1) ②,①-②得, an ? 2n ? 2 ,所以
an (2n ? 2) 2 ? ? 4(n ? 1) ,所 an ? (2n ? 2) , a1 ? 16 也适合此式,所以 an ? (2n ? 2) , n ?1 n ?1
2 2

嘉定、长宁、宝山、青浦(理科)详解—7

以数列 {

an a a a a } 是首项为 1 ? 8 ,公差为 4 的等差数列,所以 1 ? 2 ? …+ n ? n ?1 2 2 3 n ?1 n(8 ? 4n ? 4) ? 2n2 ? 6n ,故答案为 2n 2 ? 6n . 2

13.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题或资料进行观察、分析、综合、比较、抽象、 概括、判断和论证的能力. 【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/随机变量的分布及数字特征. 【参考答案】 {48,51,54,57, 60} 【试题分析】因为 20 道选择题每题 3 分,甲最终的得分为 54 分,所以甲答错了 2 道题,又 因为甲和乙有两道题的选项不同,则他们最少有 16 道题的答案相同,设剩下的 4 道题正确 答案为 AAAA,甲的答案为 BBAA,因为甲和乙有两道题的选项不同,所以乙可能的答案为 BBCC,BCBA,CCAA,CAAA,AAAA 等,所以乙的所有可能的得分值组成的集合为

{48,51,54,57, 60} ,故答案为 {48,51,54,57, 60} .
14.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】图形与几何/平面直线的方程/直线的一般式方程; 方程与代数/不等式/基本不等式. 【参考答案】 6 ? 4 2 【试题分析】如图,设 M ( x0 , x0 ?

a a 2? ), ) (1≤x0≤2) 由题意得 A(1,1 ? a) , B (2, 2 x0 ??? ? a x ? 1 y ? (1 ? a) AB ? (1,1 ? ) ,所以直线 AB 的方程为 ,化为一般式方程为 ? a 2 1 1? 2 a 3 a 3 3 a a y ? (1 ? ) x ? a ,所以 N ( x0 , (1 ? ) x0 ? a ) , 所以 | MN |?| a ? x0 ? | 2 2 2 2 2 2 x0

3 a a 3 a a ≤| a ? 2 x0 ? | =( ? 2) a ,当且仅当 x0 ? ,即 x0 ? 2 ?[1,2] 时取等号,因 2 2 x0 2 2 x0 3 1 恒成立,所以 ( ? 2)a≤1 , a≤6 ? 4 2 ,所以 a 的最大值为 6 ? 4 2 ,故答案 为 |MN |≤ 2 为6?4 2 .

第 14 题图 cna2 二、选择题 15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知 识. 【知识内容】函数与分析/三角比/同角三角比. 【正确选项】B

嘉定、长宁、宝山、青浦(理科)详解—8

2 2 【试题分析】由于 sin ? ? cos ? ? 1 ,且 sin ? ? 0 ,得到 cos ? ? ?1 ,故充分性不成立;

当 cos ? ? 1 时, sin ? ? 0 ,故必要性成立.故答案为 B. 16.【测量目标】空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. 【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系. 【正确选项】D 【试题分析】直线 l1 与 l2 可能是与平面 ? 平行的平面中的相交直线,故 A 选项不正确;直 线 l 上的点可能是位于平面 ? 两侧的点,故 B 选项不正确;直线 l 与平面 ? 所形成的角大小 可以取到 0 和

π ,故 C 选项不正确;垂直同一平面的两直线平行,故 D 选项正确.故答案为 2

D. 17.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关平面与几何的基本知 识. 【知识内容】平面与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算. 【正确选项】C 【试题分析】由于 a ? b 且 | a |?| b |? 1 ,那么 | a ? b |? 2 ,所以

?

?

?

?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (c ? a)(c ? b) ?| c |2 ? | c || a ? b | cos ? ? a ? b ? 0 ,即 | c | ? 2cos ? ,由于 ?1≤ cos ? ≤1 ,
所以 |c| 的最大值为 2 .故答案为 C. 18.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思 想方法和适当的解题策略,解决有关数学问题. 【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/对数函数的性质和图像; 函数与分析/三角函数/正弦函数与余弦函数的图像. 【正确选项】B 【试题分析】因为存在实数 x1 , x2 , x3 , x4 满足 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 ) ? a ,所以函 数 f ( x ) 与直线 y ? a 的图像有 4 个交点,如图,因此 0 ? x1 ? x2 ? 3, 3≤x3 ? x4≤ 15 ,因为

?

f ( x) ?| log3 x |,0 ? x ? 3 ,所以 | log | | log ? log log x 2? ,又因为 1 3 x1 ? 3 x 2 |, 3 x 1? 3 x 2 x,1 π f ( x) ? sin( x),3≤x≤15 的 图 像 关 于 直 线 x ? 9 对 称 , 所 以 x3 ? x4 ? 18 , 所 以 6 x1 x2 x3 x4 ? 1? x3 ? (18 ? x3 ) ,因为 3 ? x3 ? 9 ,所以 45 ? x1 x2 x3 x4 ? 81,故答案为 B.

第 18 题图 cna3 三、解答题 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 5 分,第 2 小题 7 分. 【测量目标】 (1)空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. (2)空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. 【知识内容】 (1)图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系.

嘉定、长宁、宝山、青浦(理科)详解—9

(2)图形与几何/空间向量及其应用/距离和角. 【参考答案】 (1)因为底面△ ABC 是等腰直角三角形,且 AC ? BC , 所以, AC ? BC ,………………………………………2 分 因为 CC1 ? 平面 A1B1C1 ,所以 CC1 ? BC , 所以, BC ? 平面 ACC1 A1 . ………………………………………4 分

……………………………………………………5 分

(2)以 C 为原点,直线 CA , CB , CC1 为 x , y , z 轴,建立空间直角坐标系, 则 C (0 , 0 , 0) , A(2 , 0 , 0) , B(0 , 2 , 0) , C1 (0 , 0 , 2) , B1 (0 , 2 , 2) , D(2 , 0 , 1) , 由(1) , CB ? 0 ( , 2 , 0 )

??? ?

? CB1 ? (0 , 2 , 2) , CD ? (2 , 0 , 1) ,设平面 B1CD 的一个法向量为 n ? ( x , y , z ) ,则有 ? ???? ? ?2 y ? 2 z ? 0 , ?n ? CB1 ? 0 , 即? 令 x ? 1 ,则 z ? ?2 , y ? 2 , ? ? ? ??? ?2 x ? z ? 0 , ? ?n ? CD ? 0 , ? 所以 n ? (1 ,2 , ? 2) , …………………………………………10 分 ??? ? ? ??? ? ? CB ? n 4 2 ? ? ? 设 CB 与 n 的夹角为 ? ,则 cos ? ? ??? ? , …………………11 分 | CB | ? | n | 2 ? 3 3 由图形知二面角 B1 ? CD ? C1 的大小是锐角, 2 所以,二面角 B1 ? CD ? C1 的大小为 arccos . ……………………………12 分 3
20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 【测量目标】 (1)运算能力/能根据法则准确地进行运算、变形. (2)运算能力/能通过运算,对问题进行推理和探求. 【知识内容】 (1)函数与分析/三角函数/函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像与性质. (2)函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理;图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量 的数量积. 【参考答案】 (1) f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x ? 1 ? 2sin ? ? x ? 又 T ? π ,所以, ? ? 2 , 所以, f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

是平面 ACC1 A1 的一个法向量, ………………………7 分

? ?

π? ? ? 1 , ……………3 分 6?

………………………………………………5 分

π? ? ? ? 1 . …………………………………………………6 分 6? ? π? π? 1 ? ? (2) f ( B) ? 2sin ? 2 B ? ? ? 1 ? 0 ,故 sin ? 2 B ? ? ? , 6? 6? 2 ? ? π π π 5π 所以, 2 B ? ? 2kπ ? 或 2 B ? ? 2kπ ? (k ?Z ) , 6 6 6 6 π 因为 B 是三角形内角,所以 B ? .……9 分 3 ??? ? ??? ? 3 而 BA ? BC ? ac ? cos B ? ,所以, ac ? 3 , …………………………11 分 2 2 2 2 2 2 又 a ? c ? 4 ,所以, a ? c ? 10 ,所以, b ? a ? c ? 2accos B ? 7 , 所以, a ? 7 . …………………………………14 分
21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分.
嘉定、长宁、宝山、青浦(理科)详解—10

【测量目标】 (1)逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理,能合乎逻辑地、准确地阐 述自己的思想和观点. (2)分析问题与解决问题的能力/能自主地学习一些新的数学知识(概念、定理、性质和方 法等) ,并能初步应用. 【知识内容】 (1)函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质. (2)函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.

1 ? 1 1? ,则 f ( x) 在 ?? , ? 上是增函数,故 x ?1 ? 2 2? 1 ? 1? ?1? ……………………………2 分 f ? ? ? ≤f ( x)≤f ? ? ,即 ?1≤f ( x)≤ , 3 ? 2? ?2? 故 | f ( x) | ≤ 1 ,所以 f ( x) 是有界函数. ……………………………………………4 分 所以,上界 M 满足 M ≥1 ,所有上界 M 的集合是 [1 , ? ?) . ……………………6 分 (2)因为函数 g ( x) 在 x ? [0 , 2] 上是以 3 为上界的有界函数,故 | g ( x) | ≤3 在 x ? [0 , 2] 上
【参考答案】 (1) f ( x ) ? 1 ?

1 ? 2 ? a ? 4 ≤3 ( x ?[0 , 2] ) 恒成立,即 ?3≤g ( x)≤3 ,所以, ?3≤ , …………8 分
x x

? 4 1 ? ? 2 1 ? , ? x ? ≤a≤? x ? x ? ( x ?[0 , 2] ) x ? 4 2 ? ?4 2 ? 1 ?1 ? ?1 ? 2 2 令 t ? x ,则 t ? ? , 1? ,故 ?4t ? t≤a≤2t ? t 在 t ? ? , 1? 上恒成立, 2 ?4 ? ?4 ? ?1 ? 所以, (?4t 2 ? t )max ≤a≤(2t 2 ? t )min ( t ? ? , 1? ) , ………………………11 分 ?4 ? 1 ?1 ? ?1? 2 令 h(t ) ? ?4t ? t ,则 h(t ) 在 t ? ? , 1? 时是减函数,所以 h(t ) max ? g ? ? ? ? ;…12 分 2 ?4 ? ?4? 1 ?1 ? ?1? 令 p(t ) ? 2t 2 ? t ,则 p(t ) 在 t ? ? , 1? 时是增函数,所以 p(t ) min ? h? ? ? ? .…13 分 8 ?4? ?4 ? 1? ? 1 所以,实数 a 的取值范围是 ?? , ? ? . ……………………………………14 分 8? ? 2
所以 ? ? 22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分. 【测量目标】 (1)运算能力/能通过运算,对问题进行推理和探求. (2)逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程,能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的 正确性. (3)分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的 解题策略,解决有关数学问题. 【知识内容】 (1)图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. (2)图形与几何/平面直线的方程/直线的斜率与倾斜角. (3)图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质;方程与代数/不等式/基本不等式.

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 【参考答案】 (1)由 ? 3 得 (3k ? 4) x ? 24kx ? 36 ? 0 , , 4 ? y ? kx ? 4 ?
所以 ? ? 144(k ? 4) ? 0 ,
2

嘉定、长宁、宝山、青浦(理科)详解—11

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

24 k 36 , x1 x2 ? , ………………2 分 2 3k ? 4 3k 2 ? 4

因为 PA ? AB ,所以 x2 ? 2 x1 ,代入上式求得 k ?

??? ?

??? ?

6 5 . 5

………………………4 分

(2)由图形可知,要证明 ?AFP ? ?BFO ,等价于证明直线 AF 与直线 BF 的倾斜角互 补,即等价于 k AF ? kBF ? 0 . …………………………………………6 分

k AF ? kBF ?
3?

?1 1? y1 ? 1 y2 ? 1 kx1 ? 3 kx2 ? 3 3( x ? x ) ? ? ? ? 2k ? 3? ? ? ? 2k ? 1 2 ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2 ? x1 x2 ?

24k 2 …………………………………………9 分 ? 2k ? 3k ? 4 ? 2k ? 2k ? 0 . 36 3k 2 ? 4 所以, ?AFP ? ?BFO . …………………………………………………10 分 2 (3)由 ? ? 0 ,得 k ? 4 ? 0 ,所以 1 1 S?ABF ? S?PBF ? S△PAF ? | PF | ? | x1 ? x2 |? ? 3 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 2 2

?

18 k 2 ? 4 , 3k 2 ? 4
2

………………………………………………………………13 分
2 2

令 t ? k ? 4 ,则 t ? 0 , 3k ? 4 ? 3t ? 16 故 S△ABF

18 k 2 ? 4 18t 18 ? ? 2 ? 2 3k ? 4 3t ? 16 3t ? 16 t



16 16 18 3 3 2 21 2 (当且仅当 3t ? ,即 t ? ,k ? 取等号). ……15 分 ? t 3 3 4 2 3 ?16

所以,△ ABF 面积的最大值是

3 3 . 4

……………………………………………16 分

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分. 【测量目标】 (1)逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程,能合理地、符合逻辑地解 释演绎推理的正确性. (2)分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的 解题策略,解决有关数学问题. (3)分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的 解题策略,解决有关数学问题. 【知识内容】 (1)方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列. (2)方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列、等比数列. (3)方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列. 【参考答案】 (1)由已知, 2bn ? an ? an ?1 由②可得, an ?1 ? bnbn ?1 ③, ①,
2 an ?1 ? bnbn ?1

②,

………1 分

……………………………2 分

嘉定、长宁、宝山、青浦(理科)详解—12

将③代入①得,对任意 n ? N* , n≥2 ,有 2bn ? bn ?1bn ? bnbn ?1 , 即 2 bn ? bn ?1 ? bn ?1 ,所以 (2)设数列 所以 b1 ?
n

? b ?是等差数列.
n
1 2

…………………………4 分

? b ?的公差为 d ,由 a ? 10 , a

? 15,得 b1 ?

25 , b2 ? 18,……6 分 2
……………………7 分

5 2 2 , b2 ? 3 2 ,所以 d ? b2 ? b1 ? , 2 2

所以, bn ? b1 ? (n ? 1)d ?

5 2 2 2 ? (n ? 1) ? ? (n ? 4) , ………………8 分 2 2 2

(n ? 4) 2 (n ? 3) 2 (n ? 4) 2 2 ? 所以, bn ? , an ? bn ?1bn ? , ……………………9 分 2 2 2 (n ? 3)( n ? 4) an ? . …………………………………………………………10 分 2 1 2 1 ? ? 1 ? ? 2? ? (3)解法一:由(2) , ? , ……………11 分 an (n ? 3)(n ? 4) ?n?3 n? 4?

?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? 2 ? ? ? ,……13 分 ? n ? 3 n ? 4 ?? ? 4 n?4? ?? 4 5 ? ? 5 6 ? b 1 ? n?4 ?1 故不等式 2aSn ? 2 ? n 化为 4a? ? , ??2? an n?3 ?4 n? 4?
所以, Sn ? 2 ?? 即a ?

(n ? 2)(n ? 4) * 当 n ? N 时恒成立, n(n ? 3)

…………………………………………14 分

令 f (n) ?

(n ? 2)(n ? 4) n ? 2 n ? 4 ? 2 ?? 1 ? 2 1 2 , ? ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? ?1? ? n(n ? 3) n n ? 3 ? n ?? n ? 3 ? n n ? 3 n(n ? 3)
………………………………17 分 ………………………………18 分

则 f ( n) 随着 n 的增大而减小,且 f (n) ? 1 恒成立. 故 a≤1 ,所以,实数 a 的取值范围是 (?? , 1] .

1 2 1 ? ? 1 ? ? 2? ? ? , ……………………11 分 an (n ? 3)(n ? 4) ?n?3 n? 4? ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ?1 所以, Sn ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? 2 ? ? ? ,……13 分 ? n ? 3 n ? 4 ?? ? 4 n?4? ?? 4 5 ? ? 5 6 ? b 1 ? n?4 ?1 故不等式 2aSn ? 2 ? n 化为 4a? ? , ??2? an n?3 ?4 n? 4?
解法二:由(2) , 所以,原不等式对任意 n ? N * 恒成立等价于 (a ? 1)n ? 3(a ? 2)n ? 8 ? 0 对任意 n ? N * 恒成立, ……………………………………14 分
2

嘉定、长宁、宝山、青浦(理科)详解—13

设 f (n) ? (a ? 1)n2 ? 3(a ? 2)n ? 8 ,由题意, a ? 1≤0 , 当 a ? 1 时, f (n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立; …………………………15 分

当 a ? 1 时,函数 f ( x) ? (a ? 1) x2 ? 3(a ? 2) x ? 8 图像的对称轴为 x ? ?

3 a?2 ? ? 0, 2 a ?1

f ( x) 在 (0 , ? ?) 上单调递减,即 f (n) 在 N* 上单调递减,故只需 f (1) ? 0 即可,

15 ,所以当 a≤1 时, 4aSn ? bn 对 n ? N* 恒成立. 4 综上,实数 a 的取值范围是 (?? , 1] . …………………………18 分
由 f (1) ? 4a ? 15 ? 0 ,得 a ?

嘉定、长宁、宝山、青浦(理科)详解—14


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