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数学归纳法概念教学


浅谈数学归纳法的概念教学 数学归纳法是中学数学的重要数学方法之一。学习了数学归纳法 之后,有学生曾说: “反正老师说完成两个步骤就正确。我也不知 道为什么正确,也勿需去考虑它为什么正确” 。所以这些学生在解 决问题时往往忽视了数学归纳法的应用而束手无策,或者在完成第 二步骤时,由于缺乏自信心而半途而废。这与是否注重概念的过程 教学密切相关。数学归纳法概念的教学,首先要通过实例使学生体 会到归纳法的基本思想,如从对学生熟知的等差数列通项公式的归 纳过程着手,拉开序幕。并指出:象这种“由特殊到一般”的推理 方法叫归纳法。这样的归纳推理是认识上的一个“飞跃” 。再讲一 个“王二上学的故事” :第一天教师教“一” ,并划了一横杠,王二 记住了;第二天老师教“二” ,并划了两横杠,王二又记住了;于 是王二就预料,第三天老师要教“三” ,并要划三横杠,第三天果 然如此。到了第四天,王二对父亲说: “从今天起我不再上学了, 我都会了。 父亲说: ” “为什么这么快呢?” 王二说: “就是划横杠嘛” 。 父亲说: “我的孩子真聪明。 ”碰巧父亲的一位朋友来了,父亲说: “我这位朋友叫万百千, 你能把他的名字写出来吗?” 王二惊呆了, 并说: “这个名字要花费多少时间才能写完哪!”王二这个归纳推理 是错误的可笑的。上述两个实例告诉我们,同样用的“归纳法” , 一个结论正确,一个结论错误。这就是说,仅仅考察部分特例而得 出一般结论的推理方法,所得结论不一定正确,通常称为不完全归 纳法。那么归纳推理在什么条件下才是可靠正确的呢? 让我们来做一个游戏,这个游戏曾在中央电视台演播过,不妨称 为“摆砖游戏” 。我们把很多很多砖块按照“前砖碰倒后砖”的规 格来摆放,从教室摆到操场,再摆到公路上,再摆到香港,再摆到 外国??,甚至可以没完没了的摆下去。那么,我们只要推倒第一 块砖,就能把所有的砖块全部推倒。这个游戏有两个条件:第一, 要推倒第一块砖;第二,砖块必须按照“前砖碰倒后砖”的规格来 摆放。显然,这两个条件缺一不可。如果缺少第一个条件,就会有 砖没有被推倒(至少第一块砖没有推倒)。 如果缺少第二个条件, “碰 倒过程”就会中断,就会有很多很多砖块没有推倒。 从上面的“思维游戏”启发我们得出一个处理与自然数有关问题 的方法: (1)处理第一个问题(相当于推倒第一块砖) ; (2)验证前一号问题与后一号问题有传递关系(相关于前砖碰倒 后砖) ,这时主角亮相了。数学归纳法是可靠正确的推理方法。介 绍了数学归纳法之后,师生共同参与,按以下设问进行教学: 1.第一步骤是递推的基础,第二步骤是递推的依据。若二者缺一 将会出现什么问题呢?能举出实例来吗? 2.完成第一步骤后,在第二步骤中,假设 n=k 时的结论正确,这 样的 k 值是否存在呢?证明 n=k+1 时结论也正确,是否起着“传递 性”的作用? 3.第二步骤中,如果不使用 n=k 时结论正确这个条件, 直接证明 n=k+1 时结论正确,是否还是数学归纳法呢?或者说比数 学归纳法更好呢? 4.第一步骤中,证明 n 取第一个值结论正确,这第一个值从哪里 取起呢? 5.第二步骤中,在使用 n=k 时结论正确的前提下,可以用哪些方 法来突破 n=k+i 时结论正确这一关呢?(如:演绎法、分析法、反证 法等)。 6.数学归纳法是针对 n∈n 而言的.那么 n 取非自然数时,是否 也可以呢? 针对学生在概念的学习中容易出现的问题:错误理解、认识肤浅、 似是而非、 掌握不牢等现象, 教师要精心创设情景,优化教学手段, 以达到对概念

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