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黑龙江省大庆实验中学2013届高三下学期开学考试数学(文)试题 Word版含答案


大庆实验中学 2012-2013 学年下学期开学考试

高三年级数学试题(文)
一.选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的. i 1.复数 z ? 在复平面上对应的点位于( ) 1? i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合 A ? ? y y ? ( ) x , x ? 0 ? ,集合 B ? ? x y ? x 2 ? ,则 A ? B ? (

? ?

1 2

? ?

? ? ? ?

1

? ?

A. ?1, ???

B. (1, ??)

C. (0, ??)

? ? D. ?0, ???



3.某中学高一年级 560 人,高二年级 540 人,高三年级 520 人,用分层抽样的方法抽取容 量为 81 的样本,则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别是( ) A.28、27、26 B.28、26、24 C.26、27、28 D.27、26、25 4.某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的实数 a 的值为( ) 开始 A.-1 B. 0 C.1 D. 2

x2 y2 5.双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 3 ,则它的渐近线方程是( a b 2 A. y ? ? 2 x B. y ? ? x 2 1 C. y ? ?2 x D. y ? ? x 2

S ? 0, i ? 1, a ? 1
S ? S?a



i ? i ?1

结束 输出 a 是

a?a ?S
2



i ? 2013

6.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体的侧视图为(



7 . 等 比 数 列 ?an ? 满 足 an ? 0,n ? 1, 2, , 且 a5 ? a2n? 5 ? 22n ( n ? 3), 则 当 n ? 1 时 , ? ( l og a 1 ? l oga 3?? ? l og n2 1? 2 2 2a ? A. n(2n ? 1) )
2

B. (n ? 1) 2 C. n D. (n ? 1) 2 8.已知 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,下列命题中真命题的个数为( ① ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n ; ② ? ? ? , m ? ? , n // ? ,则 m ? n ; ③ m ? n, m // ? , n // ? ,则 ? ? ? ; ④若 m 与 n 是异面直线, m ? ?, m // ? , n // ? ,则 ? // ? 。 A.0 B.1 C.2 D.3 9.已知函数 f ( x ) ? sin(? x ? 同,若 x ? 0, A. ?



?

3

)(? ? 0) 和 g ( x) ? cos(2 x ? ? ) 的图象的对称中心完全相

1 2

? ?? ? 2 ? ,则 f ( x ) 的最小值是( ) ? ? 3 B. ? C. ?1 2

D.1

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支上的一点,其右焦点为 F (c,0) ,若 M 为 a 2 b2 c 线 段 FP 的 中 点 , 且 M 到 坐 标原 点 的 距离 为 , 则 双 曲线 的 离 心率 e 的 取 值 范 围是 8
10. 点 P 是双曲线 ( ) B. ? 1,

4 5 ? 4? C. ( , ) D. ? 2,3? ? 3 3 ? 3? 11.现有四个函数① y ? x ? sin x ② y ? x ? cos x ③ y ? x ? cos x ④ y ? x ? 2 x 的部分图
A. ?1,8? 象如下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号排列正确的一组是 (
y



y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.①④②③ B.①④③② C.④①②③ D.③④②① ABCD 中, AB ? AD , AD ? DC ? 1, AB ? 3 ,动点 P 在 ABCD 内运动(含 12.在直角梯形 边界),设 AP ? ? AD ? ? AB ,则 ? ? ? 的最大值是( A.

??? ?

??? ?
4 3

??? ?

) 2 . 4 . 6

1 4

B.

C.1

D.

1 3

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , sin

?ABC 的面积为 14.已知“命题 p : ( x ? m)2 ? 3( x ? m) ”是“命题 q : x2 ? 3x ? 4 ? 0 ”成立的必要不充分
条件,则实数 m 的取值范围为 15.设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? ?2010, 16.设定义域为 R 的函数 f ( x ) ? ?

? ? A?C 3 ??? ??? , BA ? BC ? 6 .则 ? 2 2

S2010 S2008 ? ? 2 ,则 a2 ? 2010 2008

?5 x ?1 ? 1, x ? 0 ?

2 ? x ? 4 x ? 4, x ? 0 ? 若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? (2m ? 1) f ( x) ? m2 ? 0 有 7 个不同的实数根,则实数

,

m ? __________
三. 解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.
17.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 2cos x ? 2 .
2 2

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)当 x ?

? ? 3? ? ? 4 , 4 ? 时,求函数 f ( x ) 的最大值. ? ?

18.(本题满分 12 分) 某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏, 但可见部分如下,据此解答如下问题:
频率
茎 叶 5 6 7 8 9 5 8 6 8 2 3 3 5 6 8 9 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9

组距 0.04

0.028

0.016 0.008 50 60 70 80 90 100 分数

(1)求全班人数,并计算频率分布直方图中 ?80,90? 间的矩形的高; 求至少有一份分数在 ?90,100? 之间的概率.

(2) 若要从分数在 ?80,100? 之间的试卷中任取两份分析学生失分情况, 则在抽取的试卷中,

19.(本题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB // DC , ?PAD 是等边三 P 角形, 其中 BD ? 2 AD ? 4, AB ? 2DC ? 2 5 . (1)求证: BD ? PA ; (2)求三棱锥 A ? PCD 的体积.
A

D

C B

20. (本题满分 12 分) 已知定点 C ( ?1,0) 及椭圆 x ? 3 y ? 5 ,过点 C 的动直线与该椭圆相交于 A, B 两点
2 2

1 ,求直线 AB 的方程; 2 ?? ?? ?? ?? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在, (2) x 轴上是否存在点 M , MA ? 在 使
(1)若线段 AB 中点的横坐标是 ? 请说明理由.

21.(本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ax 2 ? x ln x ? (2a ? 1) x ? a ? 1 ( a ? R ). (1) 当 a = 0 时,求函数 f ( x ) 在点 P(e, f (e)) 处的切线方程; (2) 对任意的 x ? ?1, ??? , f ( x ) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

(本小题满分 10 分.请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题记分.作答时,在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑)
P C

22.选修 4—1:几何证明选讲 如图,圆 O 的直径 AB ? 10 ,弦 DE ? AB 于点 H , HB ? 2 . (1)求 DE 的长; (2)延长 ED 到 P ,过 P 作圆 O 的切线,切点为 C ,若

D

A O

H

B

PC ? 2 5 ,求 PD 的长.

E

23.选修 4—4:极坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 6cos ? , 曲线 C2 的极坐标方程为 ? ?

?
4

( ? ? R ) , C1 、 曲线

C2 相交于点 A, B . (1)将曲线 C1 、 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求弦 AB 的长.

24.选修 4—5:不等式选讲 已知不等式 x ? px ? 1 ? 2 x ? p .
2

(1)如果不等式当 p ? 2 时恒成立,求实数 x 的范围; (2)如果不等式当 2 ? x ? 4 时恒成立,求实数 p 的范围.

答案 1-5 ABAAA 6-10 DCABB 13.

3 3

14.

? ??, ?7? ? ?1, ???

11-12 AB 15. -2008 16. 2

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? f ? x ? 的最小正周期为 ? 4? ? ? 7? ? ? 3? ? 3? ?? 2 ? (2) ? x ? ? , ??1 ? sin ? 2 x ? ? ? ? ,? 4 ? 2 x ? 4 ? 4 , 4? 2 ?4 4 ? ? ? ? 3? ? ? ? 2 ? f ? x? ? 1 ? 当 x ? ? , ? 时,函数 f ? x ? 的最大值为 1 ?4 4 ?
17.解:(1) f ? x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ?

18.解(1)由茎叶图知,分数在 ?50 , 60? 之间的频数为 2 ,频率为 0.008 ? 10 ? 0.08 , 2 ? 25 . 所以分数在 ?80 , 90? 之间的频数为 25 ? 2 ? 7 ? 10 ? 2 ? 4 全班人数为 0.08 4 频率分布直方图中 ?80 , 90? 间的矩形的高为 ? 10 ? 0.016 . 25 ?80 , 90 ? 之间的 4 个分数编号为 1 , 2 , 3 , 4 , ?90 , 100? 之间的 2 个分数编号为 5 , 6 , (2)将 在 ?80 , 100? 之间的试卷中任取两份的基本事件为:

?1 , 2 ? ,?1 , 3? ,?1 , 4 ? ,?1 , 5 ? ,?1 , 6 ? ,? 2 , 3? ,? 2 , 4? ,? 2 , 5? ,? 2 , 6? ,?3 , 4? ,?3 , 5? , ? 3 , 6? ? 4 , 5? , ? 4 , 6? , ?5 , 6? 共 15 个, 其中,至少有一个在 ?90 , 100? 之间的基本事件有 9 个,
故至少有一份分数在 ?90 , 100? 之间的频率是

9 ? 0.6 . 15 19 (1)证明:因为 BD ? 4 ? 2 AD , AB ? 2 5 , BD 2 ? AD 2 ? AB 2 ,所以 BD ? AD 又因为平面 PAD ? 平面 ABCD ,交线为 AD ,又有 BD ? 平面 ABCD ,所以 BD ? 平面
又因为 PA ? 平面 PAD ,所以 BD ? PA (2) VA? PCD ?

PAD

1 2 3 . S?ACD ? h ? 3 3

20 (1)直线斜率不存在时显然不成立 设直线 AB : y ? k ( x ? 1) , 将 AB : y ? k ( x ? 1) 代入椭圆的方程 x2 ? 3 y 2 ? 5 , 消去 y 整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0 , 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

?? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 5) ? 0 则? ? 6k 2 x1 ? x2 ? ? 2 ? 3k ? 1 ? 因为线段 AB 的中点的横坐标为 ? 1 ,解得 k ? ? 3 2 3 所以直线 AB 的方程为 x ? 3 y ? 1 ? 0 ???? ???? (2)假设在 x 轴上存在点 M (m, 0) ,使得 MA ? MB 为常数,
(1)当直线 AB 与 x 轴不垂直时,由(1)知 x1 ? x2 所以 MA ? MB ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? y1 y2 = (k

??? ???? ?

? ? 36 k ?1 , x1 ? x2 ? k2
2

3 k 2 ?5 3 k 2 ?1

2

?1) x1x2 ? (k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? k 2 ? m2

1 6m ? 14 , ? m 2 ? 2m ? ? 3 3(3k 2 ? 1) ???? ???? 因为 MA ? MB 是与 k 无关的常数,从而有 6m ? 14 ? 0, m ? ? 7 , 3 ???? ???? 4 此时 MA ? MB ? , , 9 (2)当直线 AB 与 x 轴垂直时,此时结论成立, ???? ???? 综上可知,在 x 轴上存在定点 M ( ? 7 , 0) ,使 MA ? MB ? 4 , 为实数。 3 9
21 (1)当 a ? 0 时, f ( x ) ? ? x ln x ? x ? 1 , f '( x ) ? ? ln x ,则 k ? f '(e) ? ?1, f (e) ? ?1 所以函数 f ( x ) 在点 P(e, f (e)) 处的切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? e) ,即 x ? y ? 1 ? e ? 0 。 (2) f '( x) ? 2ax ? 1 ? ln x ? (2a ? 1) ? 2a( x ? 1) ? ln x ,易知, ln x ? x ? 1 , 则 f '( x) ? 2a( x ? 1) ? ( x ? 1) ? (2a ? 1)( x ? 1) . 当 2a ? 1 ? 0 时,即 a ?

1 时,由 x ? ?1, ??? 得 f '( x) ? 0 恒成立, 2

f ( x ) 在 ?1, ??? 上单调递增, f ( x ) ? f (1) ? 0 符合题意,所以 a ?

当 a ? 0 时,由 x ? ?1, ??? 得, f '( x) ? 0 恒成立, f ( x ) 在 ?1, ??? 上单调递减,

1 ; 2

f ( x ) ? f (1) ? 0 ,显然不合题意, a ? 0 舍去; 1 1 1 1 当 0 ? a ? 时,由 ln x ? x ? 1 得 ln ? ? 1 ,即 ln x ? 1 ? 2 x x x 1 x ?1 )(2ax ? 1) , 则 f '( x ) ? 2a ( x ? 1) ? (1 ? ) ? ( x x 1 1 ? 1 ? ? 1 ,所以 x ? ?1, ? 时, f '( x) ? 0 恒成立, 因为 0 ? a ? ,所以 2a 2 ? 2a ? 1 ? 1 ? f ( x ) 在 ?1, ? 上单调递减, f ( x ) ? f (1) ? 0 ,显然不合题意, 0 ? a ? 舍去。 2 ? 2a ? ?1 ? 综上可得, a 的取值范围是 ? 2 , ?? ? ? ? 22.(Ⅰ) DE ? 8 ??5 分 (Ⅱ) PD ? 2 ??10 分 2 2 23.(Ⅰ) x ? y ? 6 x ? 0 x ? y ? 0 ?5 分 (Ⅱ) AB ? 3 2 ?10 分
24.(Ⅰ) x| x <-1或x >3?

?

??5 分

(Ⅱ) p|p>-1?

?

?10 分


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