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湖南省益阳市箴言中学2016-2017学年高二上学期12月月考试题 数学(理)


益阳市箴言中学 2016—2017 学年高二 12 月月考 理科数学试题
时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题:12×5’共 60’ 1.已知集合 M={x|x2<4 } ,N={x|x2-2x-3<0 } ,则集合 M∩N=( (A){x|x<-2 } (B){x|x>3} )

(C){x|-1<x<2 } (D

){x|2<x<3 } )

2.在 ?ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么 ?ABC 一定是(

A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 x y 3. 若直线 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 过点(1,1), 则 a+b 的最小值为( ) a b A. 5 B.4 C.3 D.2 )

4. 已知向量 a ? (2,?3,5) 与向量 b ? (?4, x, y ) 平行,则 x, y 的值分别是( A.–6 和 10 B.6 和 10 C.–6 和-10 D. 6 和-10 条件.

5.p:|x-4|>2;q:x>1,则“┐p”是“q”的

A 充分不必要 B.充分必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要 6. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, 前 n 项和为 Sn ,且点 P( an , an?1 )在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,则 1 1 1 1 ( ) ? ? ?? ? = S1 S 2 S3 Sn A.
2n n ?1

B.

2 n(n ? 1)

C. n(n ? 1) 2

D.

n 2(n ? 1)

y2 7.设 F1,F2 分别是双曲线 x 2 - ? 1 的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,且 9 ???? ???? ? ???? ???? ? ) PF1 ? PF2 ? 0 ,则 PF1 ? PF2 ? (

A. 10

B. 2 10

C. 5

D. 2 5

8.已知 a=(cosα ,1,sinα ),b=(sinα ,1,cosα ),则向量 a+b 与 a-b 的 夹角是( ) A.90° B.60° C.30° D.0° 9.一抛物线形拱桥,当水面离桥顶 2m 时,水面宽 4m,若水面下降 1m,则水面宽 为( )

A. 6 m

B. 2 6 m

C.4.5m

D.9m )

x2 2 10.已知实数 4,m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线 +y =1 的离心率为( m
A. 30 6 B. 7 C. 30 或 7 6 5 D. 或 7 6

11.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边.如果 a、b、c 成等差数列, 3 ∠B=30°,△ABC 的面积为 ,那么 b=( ) 2 A. 1 ?
2 3

B. 1 ? 3

C. 2 ?
2

3

D. 2 ? 3

12.下列四个命题: ?“若 xy=0,则 x=0 且 y=0”的逆否命题; ②“若 m>2,则不等式 x?-2x+m>0 的解集为 R”; ?若 F1、F2 是定点,|F1F2|=7,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=7,则 M 的轨迹是椭圆; ④若{a,b,c}为空间的一组基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一组基底; 其中真命题的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4

二、填空题:4×5’共 20’
? x ? y ? 2, ? 13.已知实数 x、y 满足 ? x ? y ? 2, 则 z=2x-y 的取值范围是 ? ?0 ? y ? 3,

14.A、B、C 是不过原点 O 直线上的三点,

OC ? a1OA ? a100 OB,{an}为等差数列,则 S100 ?
15.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 ?ABC 顶点 A(?4, 0) 和 C (4, 0) ,顶点 B 在椭圆 sin A ? sin C x2 y 2 ? ? ? 1 上,则 sin B 25 9 16.已知空间四边形 OABC,如图所示,其对角线为 OB、AC,M、N 分别为 OA、BC 的 → → → → → → → 中点,点 G 在线段 MN 上,且MG=3GN,现用基向量OA、OB、OC表示向量OG,并设OG → → → =x·OA+y·OB+z·OC,则 x、y、z 的和为__________.

三、解答题:10+10+12+12+13+13 共 70’
x x x 17.(10 分)已知函数 f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin 2 . 2 2 2
(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 在区间 ? ?? ,0? 上的值域.

18.(10 分) 已知 p: |1 ?

x ?1 |? 2 ,q: x2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) ,若 ? p 是 ?q 的必要不充 3

分条件,求实数 m 的取值范围.

19. ( 12 分 ) 设 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {

an

}中,

a1 ? a3 ? 10

, a3 ? a5 ? 40 . 设

bn ? log 2 an
(1)求数列{ bn }的通项公式; (2)若 c1

? 1 , cn ?1 ? cn ?

bn an

,求证: cn

? 3;

20. (12 分) 徐州、苏州两地相距 500 千米,一辆货车从徐州匀速行驶到苏 州,规定速度不得超过 100 千米/时.已知货车每小时的运输成本(以元为单位) 由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(千米/时)的平方成正比,比例 系数为 0.01;固定部分为 a 元. (1)把全程运输成本 y(元)表示为 速度 v(千米/时)的函数,并指出这个函数 的定义域: (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?


21.(13 分)如图,在圆锥 PO 中,已知 PO= 2,⊙O 的直径 AB=2,C 是AB的中 点,D 为 AC 的中点. (1)证明:平面 POD⊥平面 PAC; (2)求二面角 B?PA?C 的余弦值.

22.(13 分)

椭圆 C:

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1) 2 a b 2

的距离为 10 。 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点) ,且以

AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标。

理科数学参考答案
1-4CBBD 5-8AABA 9-12BCBB 13.[-5,7 ] 17.解:
x x x 1 1 ? cos x ? 2 f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin 2 ? 2 ? sin x ? 2 ? . ? sin( x ? ) ? 2 2 2 2 2 4 2

14.50

15.

5 4

16.

7 8

∴ f ( x) 的值域为 ? ?1 ?

? ?

2 ? , 0? . 2 ?

18.解:由 p: 1 ?

x ?1 ? 2 ? ?2 ? x ? 10. 3

由q可得 ? x ? 1?

2

? m2

? m? 0 ?

所以 1 ? m ? x ? 1 ? m. 所以?p : x ? 10或x ? ?2, ?p : x ? 1 ? m或x ? 1 ? m, 因为?p是?q的必要不充分条件, 所以?p ? ?q. ?1 ? m ? 10 故只需满足 ? ?1 ? m ? ?2 所以m ? 9.
A1 C A B C1 M B1

19.解:(1)设数列{an}的公比为 q(q>0),
? a1 ? a1q 2 ? 10 由题意有 ? , 2 4 ? a1q ? a1q ? 40
∴ a1

? q ? 2 ,∴ an ? 2n ,

∴bn=n. (2)∵c1=1<3,cn+1-cn= n, 2 1 2 n-1 当 n≥2 时,cn=(cn-cn-1)+(cn-1-cn-2)+?+(c2-c1)+c1=1+ + 2+?+ n-1 , 2 2 2 1 1 1 2 n-1 ∴ cn= + 2+ 3+?+ n . 2 2 2 2 2 1 1 n -1 n+1 相减整理得:cn=1+1+ +?+ n-2- n-1 =3- n-1 <3, 2 2 2 2 故 cn<3.

n

20. .

21.

解: (1)证明:如图所示,以 O 为坐标原点,OB,OC,OP 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系, 则 O(0,0,0), A(-1,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), 1 1 ? ? P(0,0, 2),D?- , ,0?. 2 2 ? ? → → 设 n1=(x1,y1,z1)是平面 POD 的一个法向量,则由 n1·OD=0,n1·OP=0, 1 ?-1 x + y =0, 2 得? 2 ? 2z =0.
1 1 1

∴z1=0,x1=y1.取 y1=1,得 n1=(1,1,0).

→ → 设 n2=(x2,y2,z2)是平面 PAC 的一个法向量,则由 n2·PA=0,n2·PC=0,

? ?-x2- 2z2=0, 得? ?y2- 2z2=0. ?

∴x2=- 2z2,y2= 2z2,

取 z2=1,得 n2=(- 2, 2,1).∵n1·n2=(1,1,0)·(- 2, 2,1)=0, ∴n1⊥n2.从而平面 POD⊥平面 PAC.(8 分) (2)∵y 轴⊥平面 PAB. ∴平面 PAB 的一个法向量为 n3=(0,1,0).由(1)知,平面 PAC 的一个法向量 为 n2=(- 2, 2,1). 设向量 n2 和 n3 的夹角为θ , n2·n3 2 10 则 cosθ = = = . |n2|·|n3| 5 5 由图可知,二面角 B?PA?C 的平面角与θ 相等,∴二面角 B?PA?C 的余弦值为 10 . 5

22.解:
c 1 ? a 2

(1)由题意得: e ?

① ②??2 分 ?3 分 ??4 分

左焦点(-c,0)到点 P(2,1)的距离为 d ? (2 ? c) 2 ? 12 ? 10 由①②可解得 c ? 1, a ? 2, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3.
? 所求椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)设 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ), 将 y ? kx ? m 代入椭圆方程得

(4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 .
8km 4m 2 ? 12 ? x1 ? x2 ? ? 2 , x1 x2 ? ,??6 分 4k ? 3 4k 2 ? 3
且 y1 ? kx1 ? m, y2 ? kx2 ? m. ? AB 为直径的圆国椭圆右顶点 A2 (2, 0) ,

???? ? ???? ? ? A2 A?A2 B ? 0. ??7 分 ? ( x1 ? 2, y1 )?( x2 ? 2, y2 ) ? ( x1 ? 2)?( x2 ? 2) ? y1 y2
? ( x1 ? 2)?( x2 ? 2) ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (km ? 2)( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 4
4m 2 ? 12 8km ? (k 2 ? 1)? 2 ? (km ? 2)? 2 ? m 2 ? 4=0. ??9 分 4k ? 3 4k ? 3
整理得 7 m 2 ? 16km ? 4k 2 =0.
2 ? m ? ? k 或 m ? ?2k 都满足 ? ? 0. ??10 分 7

当 m ? ?2k 时,直线 l 的方程为 y ? kx ? 2k ? k ( x ? 2), 恒过定点 A2 (2, 0) ,不合题意,舍去;??11 分
2 2 2 2 若 m ? ? k 时,直线 l 的方程为 y ? kx ? k ? k ( x ? ), 恒过定点( ,0).12 7 7 7 7




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