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高中数学2-1-3向量的减法课件新人教B版必修


2.1.3

向量的减法

1.相反向量 与向量a方向 相反 且 等长 的向量叫做a的相反向量,

记作-a,并规定零向量的相反向量仍是零向量.
关于相反向量有: ①-(-a)=a. ②a+(-a)=(-a)+a=0. ③若a,b互为相反向量,则a=-b,a+b=0.

重点:向量减法运算的应用.
难点:向量减法的几何意义. 1.向量减法的三角形法则:将向量a,b的始点移至同 一点,以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的 向量即为两向量的差向量.如图所示.

2.向量减法的平行四边形法则:将向量 a,b 的始点移至 同一点 O,以 a,b 为邻边作平行四边形 OACB,则对角线向 → =a-b.如图所示. 量BA

→ =a,OB → =b,同样有 a-b 当向量 a 和 b 共线时,作OA → -OB → =BA → ,如图所示. =OA

3.学习时应注意以下几方面的问题: (1)减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量,可类 比实数的代数和运算掌握. →、 →, → =AC → -AB →, → (2)从一个点出发的两个向量AB AC BC CB → -AC → ,即共起点的两个向量的差向量总是等于由减向 =AB 量的终点指向被减向量的终点的向量,可简记忆为“指向被 减向量”.

→ =a,OB → =b 为邻边作平行四边形 OACB, (3)以向量OA → =a+b,AB → =b-a,BA → =a-b, 则两条对角线的向量为OC 这一结论应用非常广泛,应该理解记忆. (4)注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点, 对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起 点,运用三角形则要求顺次首尾相连,对于向量减法要求 两向量有共同的起点. (5)在解决问题中,向量的加法、减法要结合图形灵活 选择.

[例 1]

(2010· 山东莱州市高一下学期期末测试 )化简 ( → B.AD D.0
→ -BD → +CD → -AB → 解法一:AC

→ -BD → +CD → -AB →得 AC → A.AB → C.BC
[解析]

)

→ -BD → +CD → +BA → =AC → +CD → )+(BA → -BD →) =(AC → +DA → =0 =AD

→ -BD → +CD → -AB → 解法二:AC → +DB → +CD → +BA → =AC → +CD → )+(DB → +BA →) =(AC → +DA → =0. =AD

[答案] D
[点评] → =-BA → ,然后利用向量的加、 解法一是利用AB

→ =-DB → ,AB →= 减法运算法则进行化简的.解法二是利用BD → ,然后利用向量加法的运算法则进行化简的. -BA

化简下列各式: → +MB → )+BO → +OM →; (1)(AB → +DA → +BD → -BC → -CA →. (2)AB

[解析]

→ +MB → )+BO → +OM → (1)(AB

→ +BO → )+(OM → +MB → )=AO → +OB → =AB →; =(AB → +DA → +BD → -BC → -CA → (2)AB → +BD → +DA → )-(BC → +CA →) =(AB → =-BA → =AB →. =0-BA

[例2] 若向量a、b满足|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最 小值为________,|a-b|的最大值为________.

[解析]

→ ,b=AC → ,则当 a 与 b 同向时,|a+b| 设 a=AB

=|a|+|b|,|a-b|=||a|-|b||. 当 a 与 b 反向时|a+b|=||a|-|b||,|a-b|=|a|+|b|. 当 a 与 b 不共线时,||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|,||a|-|b||<|a -b|<|a|+|b|,如图所示.因此当 a 与 b 共线且反向时,|a+ b|取最小值为 12-8=4;当 a 与 b 共线且反向时,|a-b|取 最大值为 12+8=20.

[答案] 4

20

[点评] 两个向量的和与差的模满足||a|-|b||≤|a±b|≤|a| +|b|,只有a与b共线时,等号才有可能成立.

注意:|a|-|b|与|a-b|的最小值是不一样的,前者可能

为负,而后者一定非负.

已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=|a-b|,求|a-b|.
[解析] → =a, → =b, 设AB AD 以 AB、 AD 为邻边作?ABCD,

→ =a+b,DB → =a-b. 则AC → |=|DB → |. ∵|a+b|=|a-b|,∴|AC ∴四边形 ABCD 为矩形.故 AD⊥AB. → |=6,|AD → |=8,由勾股定理,得|DB → 在 Rt△DAB 中,|AB |= |AB―→|2+|AD―→|2= 62+82=10. ∴|a-b|=|a+b|=10.

[例 3]

如图所示, O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC、

→ =a,DA → =b,OC → =c,试证明:b+c-a BD 的交点,设AB →. =OA

[解析]

→ +OC → =OC → +CB → =OB →, 解法一: ∵b+c=DA

→ +a=OA → +AB → =OB →, OA → +a,则 b+c-a=OA →. ∴b+c=OA → -AB → =OC → -DC → =OC → +CD →= 解法二:∵c-a=OC → =OA → +AD → =OA → -b, OD →. ∴b+c-a=OA

[点评] 灵活选择方法,优化思维过程.证法1通过恒 等变形来证明等价命题是常用的证明恒等式的方法.

若a≠0,且b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b所在直 线的夹角.
[解析] ∵|a|=|b|=|a-b|,

∴∠BOA=60° ,且四边形 OACB 为菱形. → =a+b 且在菱形 OACB 中,对角线 OC 平分 又∵OC ∠BOA,如图. ∴a 与 a+b 所在直线的夹角为 30° .

[ 例 4]
件.

写出下列各式成立时,向量 a 、 b 应满足的条

(1)|a+b|=|a-b|; (2)|a+b|=|a|+|b|; (3)|a+b|=|a|-|b|;

(4)|a-b|=|a|+|b|.
[误解] (1)a、b垂直; (2)a、b方向相同; (3)a、b方向相反,且|a|>|b|; (4)a、b方向相反.

[ 辨析 ]

忽略 “ a 、 b 中至少一个为零向量 ” 的条件,

使答案不完整.

[正解] (1)a、b垂直或a、b中至少一个为零向量.
(2)a、b方向相同或a、b中至少一个为零向量. (3)a、b方向相反且|a|>|b|,或b=0. (4)a、b方向相反,或a、b中至少一个为零向量.

一、选择题 1. 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 下列结论中错误的是( → =DC → A.AB → +AB → =AC → B.AD → -AD → =BD → C.AB → +CB → =0 D.AD [答案] C )

[解析]

→- A 显然正确, 由平行四边形法则知 B 正确.AB

→ =DB → ,∴C 错误.D 中AD → +CB → =AD → +DA → =0. AD

2. 已知六边形 ABCDEF 是一正六边形,O 是它的中心, → ,b=OB → ,c=OC → ,则EF → 等于 其中 a=OF A.a+b C.c-b B.b-a D.b-c ( )

[答案] D
→ =CB → =OB → -OC → =b-c. [解析] EF

3. (2010· 济南一中高一下学期月考 )在平行四边形 ABCD → +BA → |=|BC → +AB → |,则四边形 ABCD 是 中,若|BC A.菱形 C.正方形 B.矩形 D.不确定 ( )

[答案] B

[解析]

如图所示,

→ =-BA →, ∵AB → +BA → |=|BC → +AB → |, |BC → +BA → |=|BC → -BA → |, ∴|BC → |=|AC → |, ∴|BD ∴平行四边形 ABCD 的对角线相等, 故四边形 ABCD 是矩形.

二、填空题 4.设a表示向西北走10km,b表示向东北走10km,c表 示向正南走2km,则a+b-c表示________.
[答案] 向正北方向走(10 2+2)km

[ 解析 ]

由向量加法的多边形法则分别表示出 a + b +

(-c)的图形可求得.

→ =a,OB → =b,|OA → |=5,|OB → |=12,∠AOB 5.已知OA =90° ,则|a-b|=________,tan∠OBA=________.
[答案] 5 13 12

[解析]

→ -OB → =BA →, 如图,∵a-b=OA

→ |= 52+122=13; ∴|a-b|=|BA OA 5 tan∠OBA= = . OB 12

三、解答题
6.已知a,b,c(如图),求作向量a-b+c.

[解析]

→ =a, → =b, →= 在平面上任取一点 O, 作OA OB 则BA

→ =c,则BD → =BA → +AD → =a-b+c.如下图. a-b.再作AD


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