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正弦型函数图像变换


函 数 y=Asin(?x+?)的图象
青州六中 田立冰

学习目标:
1、熟练掌握五点作图法。 ? 2、掌握正弦型函数的三种图像变换并能应 用。
?

知识回顾:做y=sinx在?0, 2? ?上的图象采用哪五点? y
1-

y ? sin x x ?[0,2? ]
7? 6 4? 3 3? 2 5? 3 11? 6

-

-1

o
-1 -

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

2?

x

在函数 y ? sin x, x ?[0, 2? ] 的图象上,起关键作用的点有: 最高点:(

?
2
2

,1)

最低点: ( 3? ,?1) 与x轴的交点: (0,0) (? ,0) (2? ,0) 在精度要求不高的情况下,我们可以利用这5个点画出函数 的简图,一般把这种画图方法叫“五点法”。

正弦型函数:形如 y ? Asin(? x ? ? ) 叫 正弦型函数
周期、频率、初相 2? T= 点p旋转一周所需时间 ? ,叫点p的转动周期, 1 ? f ? 叫点p转动的频率。 ? 在一秒内,p转动的周数 T 2? ? 叫初相。

新课讲解:(1)振幅变换
1 例1 作函数 y ? 2 sin x 及 y ? sin x 的图象。 2

解:1.列表

x
sin x 2 sin x

0 0 0 0

? 2

?

3? 2

2? 0 0 0

1

0 0 0

?1

2

?2

1 sin x 2

1 2

?1 2

2. 描点、作图:
y 2 1 O ?1 ?2

y=2sinx y=sinx
2? ? x

y=

1 sinx 2

周期相同

y 2
1 O ?1 ?2

y=2sinx y=sinx
2? ? y 2 x

y=

1 sinx 2

1
2?

O
?1 ?2

?

x

问题:函数y=Asinx(A>0)的图象 与y=sinx的图象有什么关系?
y

2
1

y=2sinx
2?

O ?1 ?2
1 2

?

x

y= sinx

(A >0且A≠1)的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长 (当A>1时) 或缩短(当0<A<1时) 到原来的A倍(横坐标不变) 而得到的。 y=Asinx ,x∈R的值域为[-A,A],最 大值 为A,最小值为-A. A反应了曲线波动大小, 因此A叫振幅

? 函数y=Asinx

练习:作下列函数在长度为一个周期的闭区间上的 简图(学生自己动手完成) (1) y

? 2sin x

1 (2)y ? sin x 4

1 (2)周期变换:例2 作函数 y ? sin 2 x 及 y ? sin x 的图象。 2

1. 列表:
x
2x sin 2 x

0
0 0

?
4
? 2

?
2
?

3? 4
3? 2

?
2? 0

1

0

?1

2 y 2. 描点:

y=sinx
2? ? 3? x

连线:

1 O ?1 ?2

y=sin2x

1. 列表:
x
1 x 2
sin 1 x 2

1 对于函数y ? sin x 2
0 0 0 ?
?
2

2?
?

3?
3? 2

? 4

2? 0

1

0

-1

2. 描点 作图:
y

1 O
?1 ?

1 y=sin x 2
2? 3? 4? x

y=sinx

y 1 O ?1 ?

1 y=sin2

x
3? 4? x

2?

y=sinx

振幅相同

y=sin2x

问题:函数y=sin?x(?>0)的图象 与y=sinx的图象有什么关系?
y 1

y=sin x
2?
O ? 3? 4? x

1 2

?1

y=sin2x

y=sinx

y=sin 1 x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上 2 所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)。 y=sin 2x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 1 有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)。

2

(? >0且?≠1)的图象可以看作是 把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短(当?>1 1 时)或伸长(当0<?<1时) 到原来的 倍(纵坐标 ? 不变) 而得到的。
练习:作出下列函数的图像 : (学生自己动手完成)

?函数y=sin?x

(1) y ? sin 4 x

1 (2) y ? sin x 3

(3)

1 1 y ? sin x 的图象与y ? sin x的图象的关系: 2 2
图象上各点纵坐标

1 sin x 图象上各点横坐标 ? 1 sin 1 x y y ? sin x 缩短为原来的一半 y ? 2 2 2 伸长为原来的2倍
1
y ? 1 sin x 2

2? O ?

3?

4? x

?1

y ? sin x

1 1 y ? sin x 2 2

? ? (3)相位变换 例3 作函数 y ? sin( x ? ) 及 y ? sin( x ? ) 的图象。 4 3

x
x?

?

?
3 ?
3 )

3

5? 6
? 2

4? 3
?

11? 6
3? 2

7? 3

0

2?

sin( x ?

0

1

0

-1

0

?

?
4

1

y

y ? sin( x ?

?
3

)

O ?1

?
y ? sin( x ?

2? ?
?
4 )

x

3

问题:函数y=sin(x+φ)图象与y=sinx的图像的关系?
?
4

1 O

y ? sin( x ?

?
3

)

?

?
3

2? ?
?
4 )

x

?1

y ? sin( x ?

?函数y=sin(x+φ) 的图象可以看作是把 y=sinx 的

图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)
平移|φ|个单位而得到的。

1 ? 练习:画出y ? sin( x ? )的图像 2 6

例4 作函数y ? sin( 2 x ?

?

) 及y ? sin( 2 x ? ) 的图象。 3 4
2? 3 11? 12 3? 2
-1

?

x
2x ?

?

?
3 ?

6

0
0

5? 12 ? 2
1

7? 6

?
0

2?
0

sin( 2 x ? ) 3
y 1 O

y ? sin( 2 x ? ) 4 ?1

?

?

? 2

y ? sin(2 x ? ) 3

?

? x

6

y=sin2x

问题:函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系 是什么?
y 1 O ?1

y ? sin( 2 x ? ) 4

?

?

? 2

y ? sin(2 x ? ) 3

?

? x

6

y=sin2x

将y=sinωx图象沿x轴平移 | y=sin(ωx+φ)的图象

? | 个单位,得到 ?

1 ? 练习:画出y ? 2sin( x ? )的图像 3 6

1 ? 思考 : 怎样由y ? sin x的图象得到 y ? 2 sin( x ? ) 3 6 的图象 ? ? (1)向右平移 ? 6 y ? sin( x ? )的图象 函数y ? sin x 6
(2)横坐标伸长到原来的3倍

纵坐标不变
(3)纵坐标伸长到原来的2倍

1 ? y ? sin( x ? )的图象 3 6 1 ? y ? 2 sin( x ? )的图象 3 6

横坐标不变

y
3

2
1

? y=sin(x- )① 6
?
y=sinx

1 ? y ? 2 sin( x ? ) ③ 3 6
1 ? y ? sin( x ? ) ② 3 6
2?
7? 2

o
?
-1

6

? 2

13? 2

x

-2
-3

1 ? 2? 利用"五点法"画函数y ? 2sin( x ? )在一个周期(T ? ? 6? )内的图象. 1 3 6 3

1 ? ? 令X ? x ? , 则x ? 3( X ? ). 3 6 6 ? 3? 当X取0, , ? , ,2?时, 可求得相对应的x和y 2 2 . 然 后 将 简 图 再 "描 点 . , 的值, 得到"五点", 再描点作图.
X x y
0
?
2

? 2

?
7? 2

3? 2

2?
13? 2

2?

5?

0

2

0

?2

0

课堂练习
1.若将某函数的图象向右平移 2 以后所得到的图象的函数式是y=sin(x+4 ), 则原来的函数表达式为( ) 3? ? A. y=sin(x+ 4 ) B. y=sin(x+ 2 ) ? ? ? C. y=sin(x- 4 ) D. y=sin(x+ 4 )- 4
2.函数的图像 y ? 3sin(2 x ? ? ) ,可由y=sinx的图像经过哪种变化而得到 3 ? 1 A. 向右平移 3 个单位,横坐标缩小到原来的 2倍,纵坐标扩大到原来的3倍 1 ? B. 向左平移 3个单位,横坐标缩小到原来的 2倍,纵坐标扩大到原来的3倍 1 ? C. 向右平移 6 个单位,横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标缩小到原来的 3倍 1 1 ? D. 向左平移 6 个单位,横坐标缩小到原来的 2 倍,纵坐标缩小到原来的 3倍
王新敞
奎屯 新疆

?

?

3.已知函数y=Asin(ωx+ ?),在同一周期内,当x= 9 时函数取得最大值2, 当x= 49? 时函数取得最小值-2,则该函数的解析式为( ) ? ? A. y=2sin(3x-6 ) B. y=2sin(3x+ 6 ) x ? x ? C. y=2sin( 3 ? 6 ) D. y=2sin( 3 ? 6 )

?

小结
?

y=Asin(ωx+φ)的三种图像变换

课后拓展: 课本

P49 练习A1(2)(4)
2(3)(4)


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