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1.3柱、锥、台、球的表面积与体积精例


问题一:正方体的展开图与其表面积有何关系?

几何体表面积

展开图 空间问题

平面图形面积 平面问题
动画演示

? 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗?

?提出问题

?几何体表面积

?展开图

?平面图形面积 ?平面问题

?空间问题

?

棱柱、棱锥、棱台也是多个平面图形围成

的几何体,它们的展开图是什么?如何计算它
们的表面积?

O`
O`

O`

O

O

O

?S全=S侧+S底 ?结论:

例1.已知棱长为a ,各面均为等边三角形 的四面体S-ABC,求它的表面积 .
1 S△ SBC ? BC ? SD 2 1 ? SB ? SC ? sin 60? 2
A B D C

S

因此,四面体S-ABC的表面积为

S ? 4S△SBC

3 2 ? 4? a ? 3a 2 4

r O?
l
O

2? r

圆柱的侧面展开图是矩形
2

S侧 ? 2? rl

S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r ( r ? l )

圆锥的侧面展开图是扇形

2?r

S侧 ? ? rl
S ? ? r 2 ? ? rl ? ? r (r ? l )

l

r

O

参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象 圆台的侧面展开图是什么 .

S侧 ? ? (r l ? rl )
'

r 'O’
l

l?

2?r '

2?r

r

O

? S ? ? ( r ? r ? r l ? rl )
2 '

'2

圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式 之间有什么关系?
S ? ? ( r ? r 2 ? r ' l ? rl )
'2

l

r

O?

r? ? r
l

r 'O’
l

r? ? 0

r

O

r

O

O
S ? 2? r 2 ? 2? rl ? 2? r (r ? l )

S ? ? r 2 ? ? rl ? ? r (r ? l )

典例精析:
例2 如图1.3-6

20cm

15cm 15cm

探究一
柱体(棱柱、圆柱)的体积:

结论1:

V柱体 ? Sh

?h

探究二
锥体(棱锥、圆锥)的体积:

问题:等底同高的锥体的体积有何关系?

结论2:

V锥体

1 ? Sh 3 动画演示

探究三
台体(棱台、圆台)的体积

结论3: V台体

1 ? h( S ? SS ? ? S ?) 3

柱、锥、台体积的关系: V柱体=Sh 这里S是底面积,h是 高 S′= S
1 V台体= h(S ? SS ' ? S ' ) 3 这里S、S′分别是上,下底面积,h是高

S′=0
1 V锥体= Sh 3

这里S是底面积,h是高

例3

如图1.3-7

10mm 10mm

12mm 12mm 12mm

12mm

?练习:
?1.已知圆锥的表面积为am2,且它的侧 面展开图是一个半圆,求这个圆锥的底 面直径。
解:因为圆锥的侧面展开图是半圆,

A 2πr s l O B'

1 2 1 所以, ? ? l ? ? 2? r ? l ,? l ? 2r . 2 2
1 ?由? r ? ? ? (2r )2 ? a得 2 2 3? a 直径: 2r ? 3?
2

?课堂小结
?求表面积的方法:

?

将空间图形问转化为平面图形问题,利用平面

图形求面积的方法求立体图形的表面积。

?

体现了一种化归思想

?作业: P32习题1.3 A组1、2、5

例 1: 一个几何体的三视图及相关尺寸如图所示:
2cm

正视图

这个几何体是 正四棱锥 , _______

侧视图

它的表面积是 2 4 ? 4 3 cm _________, 它的体积是
3 4 _________. 3

2 cm

2cm

2 cm

俯视图

变式1:一几何体的三视图及相关尺寸如图所示:
2cm
1 cm

这个几何体是 侧视图

正视图

由正四棱锥和长 ____ ___, 方体组合而成

2 cm

它的表面积是 2 12 ? 4 3 cm _________,

2cm

4?

它的体积是

俯视图

3 4 3 _________.

2 cm

例2
已知长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别 为3,2,1,求沿其表面从点A到点C1的最短距离。 D1 C1 B1 A1 1 C E D
2 2 3

A

B 1

例2
已知长方体ABCD-A1B1D1的长、宽、高分别为3, 2,1,求沿其表面从点A到点C1的最短距离。 D1 C1 B1 F A
1

D
2

1 C

1

A

3

B
a

2

例2
已知长方体ABCDD1 A1B1C1D1的长、宽、高分 别为3,2,1,求沿其表面 A1 从点A到点C1的最短距离。 D
2

G

B1
1
3

C1 C

A

B

变式2

已知正方体的棱长为a,有一只蚂蚁从点A出发 经正方体的侧面走一周到达点A1,求蚂蚁走的最短 距离。
D1

A1
D A

B1

C1

C1

D1

A1

C B C

D

A

例3 在底面边长为a,侧棱长为2a的 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,求: D1 (1) 此棱柱的体积V; (2) 三棱锥B-AB1C的体积
C1 A1 B1

VB-AB C= VB -ABC
1 1

D

= VA-BB C
1

C
A B

= VC-ABB

1

变式3
已知正三棱锥S-ABC的侧棱 两两垂直,侧棱长为 2cm ,求:
(1) 此棱锥的体积V; (2) 点S到底面ABC的距离。

S

VS-ABC= VB-SAC = VA-SBC = VC-SAB
A O

C

B

例 4:
在Rt△ABC中, B AC=3,BC=4, AB=5,求分别以三 角形的三边为旋转轴 旋转一周所成的旋转 体的表面积与体积。

5 4 B 4

A 3 C B 4 C
12 5

5

5
A

A

3

C

3

?球的体积及表面积

?1.球的体积 ?2.球的表面积

4 3 V球 = πR 3

S ? 4πR

2

32 ? 16? 体积为______. 3 ? 1.若球的半径为2,则球的表面积为_____,

类型一、基本计算问题

? 2.若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的___ 4 倍.

? 3.若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是______. 1: 2 2
1: 4 ?4.若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是______.
3

类型二、“接”与“切”:
例2.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的 直径(球内切于圆柱). 求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二. (3)球的体积等于圆柱体积的三分之二.
?O

?阿基米德的墓志铭

?探究 若正方体的棱长为a,则 ?⑴正方体的内切球直径= a ?⑵正方体的外接球直径= ?⑶与正方体所有棱相切的球直径=

例3:有两个球,一球切于棱长为a的正方体的各 面, 一球过棱长为a的正方体的各顶点,求这两个 球的体积之比.
a 2
a r1 ? 2

a

a

?D ?A ?B ?O

?C
3 a 2

?D
1 ?A1

?C
1 ?B1

a

r3 ?

?D
?A ?B ?O

?C

2a

?D
1 ?A1

?C
1 ?B1

?画出正确的截面:(1)中截面;(2)对角面 ?找准数量关系

类型三、截面问题
? 用一个平面α去截一个球O,截面是圆面 球的截面的性质:
球心和截面圆心的连线垂直于截面 球心到截面的距离为d,球的半径为R,则

r ? R ?d
2 2

2

R
??

?O

r

d

例4 、
一个球的表面积为256πcm2,过此球的一条半径的中 点,作垂直于这条半径的截面,求截面圆的面积. ?要点:准确画图,利用基本三角形

变式:在球内有相距9cm的两个平行截面,截面面积 分别为49πcm2和400πcm2,求球的表面积.
?两种情况

典型:正四面体ABCD的棱长为a,求 其内切球半径r与外接球半径R. 思考:若正四面体变成正三棱锥,方法 是否有变化? ?1、内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接 球球心到多面体各顶点的距离均相等 ?2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 ?3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但 不重合 ?4、基本方法:构造三角形利用相似比和勾股定理 ?5、体积分割是求内切球半径的通用做法


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