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山东省莱芜市莱芜四中2013届高三4月月考数学试题 Word版含答案


莱芜四中 2013 高考数学模拟题
2013.4

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 i 1.复数 z= + ,则 z 等于( ) 1? i 1? i (A)i (B)-i (C)1+i (D)1-i 2.已知全集 U=N*,集合 P={1,2,3,4,5},Q={1,2,3,6,8},则 P∩(?UQ)等于( (

A){1,2,3} (B){4,5} (C){6,8} (D){1,2,3,4,5}

)

3. 如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图,且正视图、侧视图都是矩形,则 该几何体的体积是( )

(A)24

(B)12

(C)8

(D)4 )

4 .若向量 a,b 满足|a|=1,|b|= 2 ,且 a⊥(a+b),则 a 与 b 的夹角为(
π (A) 2 2π (B) 3 3π (C) 4 5π (D) 6

5.对于命题 p 和命题 q,“p∧q 为真命题”的必要而不充分条件是( ) ? p)∧( ? q)为真命题 (A)p∨q 为真命题 (B)( (C)p∨q 为假命题 (D)( ? p)∨( ? q)为假命题 1 6.已知 ( x 2 ? ) n 的展开式的各项系数和为 32,则展开式中 x 的系数为( ) x (A)5 (B)40 (C)20 (D)10 7.将正奇数 1,3,5,7,?排成五列(如表),按此表的排列规律,89 所在的位置是 ( )

(A)第一列 (B)第二列 (C)第三列 (D)第四列 8.如图所示,虚线部分是四个象限的角平分线,实线部分是函数 y=f(x)的部分图象,
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则 f(x)可能是(

)

(A)xsin x (B)xcos x (C) x 2 cos x

(D) x 2 sin x

9.函数 f(x)=2cos(ω x+ ? )(ω >0,0< ? <π )为奇函数,该函数的部分图象如图所示, 点 A、B 分别为该部分图象的最高点与最低点,且这两点间的距离为 4 2 ,则函数 f(x)图象的一条对称轴的方程为( ) (A)x=错误!未找到引用源。 (B)x=错误!未找到引用源。 (C)x=4 (D)x=2

10 .已知等差数列{ an }的前 n 项和为 sn , a4 ? a7 ? a10 =9, s14 ? s3 =77,则使 sn 取得最 小值时 n 的值为( ) (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 11.如图所示程序框图,已知集合 A={x|程序框图中输出的 x 值},集合 B={y|程序框 图中输出的 y 值},全集 U=Z,Z 为整数集.当输入的 x=-1 时,(?UA)∩B 等于( )

(A){-3,-1,5} (C){-3,-1,7} 12.过双曲线

(B){-3,-1,5,7} (D){-3,-1,7,9}

x2 y 2 a2 - 2 =1(a>0,b>0)的左焦点 F1 (-c,0)(c>0),作圆 x 2 ? y 2 ? 的切 a2 b 4 ??? 1 ??? ??? ? ? ? 线,切点为 E,直线 F1 E 交双曲线右支于点 P,若 OE = ( OF 1 + OP ),则双曲线的离 2 心率为( )
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(A)

10

(B)

10 5

(C)

10 2

(D)

2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

?x x ? 0 13,已知 f(x)= ? ,则不等式 x+xf(x)≤2 的解集是 ?? x x ? 0

.

14. 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) 满 足 f ( x ? 2) ? ? f ( x ) , 则 f (6) 的 值 为 .
? x2 ? y 2 ? 4 ? 15. 已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值 ? y?0 ?

是 16.给出以下命题: ① 双曲线

.

y2 ? x 2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 2 x ; 2

1 ②函数 f ( x) ? lg x ? 的零点所在的区间是(1,10) ; x
? ③ 已知线性回归方程为 y ? 3 ? 2 x ,当变量 x 增加 2 个单位,其预报值平均增加 4

个单位; ④ 已 知 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N ? 0,1? , 且

P ? ?1 ? X ? 1? ? m , 则

P? X ? ?1? ? 1 ? m
⑤已知函数 f ( x) ? 2 x ? 2? x ,则 y ? f ? x ? 2 ? 的图象关于直线 x ? 2 对称 ⑥ ? ? 是不同的平面, l 为直线,若 ? ∥ ? , l ∥ ? ,则 l ∥ ? 则正确命题的序号为 .(写出所有正确命题的序号) . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 1 17. 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ? , x ? R 2 (1)求函数 f (x) 的最小值和最小正周期; (2)已知 ?ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,满足 sin B ? 2 sin A ? 0 .且 c=3, f (C ) ? 0 ,求 a、b 的值。
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18. 为了宣传“低碳生活”,来自五个不同生活小区的 5 名志愿者利用周末休息时 间到这五个小区进行演讲.每个志愿者随机地选择去一个生活小区,且每个生活小 区只去一个人. (1)求甲恰好去自己生活小区宣传的概率; (2)求甲、乙都没有去自己生活小区宣传的概率; (3)记五人中恰好去自己生活小区宣传的人数为 X,求随机变量 X 的分布列和数学期 望 E(X). 19. 在 正 三 角 形 ABC 中 ,E 、 F 、 P 分 别 是 AB 、 AC 、 BC 边 上 的 点 , 且 满 足 AE CF CP 1 = = = (如图(1)),将△AEF 沿 EF 折起到△ A1 EF 的位置,使二面角 EB FA PB 2

A1 EFB 成直二面角,连接 A1 B、 A1 P(如图(2)).

(1)求证: A1 E⊥平面 BEP; (2)求直线 A1 E 与平面 A1 BP 所成角的大小. 1 20.已知数列{ an }中, a1 = ,点(n,2 an ?1 - an )(n∈N*)在直线 y=x 上. 2 (1)计算 a2 , a3 , a4 的值; (2)令 bn = an ?1 - an -1,求证:数列{ bn }是等比数列; (3)设 S N , TN 分别为数列{ an },{ bn }的前 n 项和,是否存在实数λ ,使得数列 {

S n ? ?Tn }为等差数列?若存在,试求出λ 的值;若不存在,请说明理由. n

21.某电视生产厂家有 A、B 两种型号的电视机参加家电下乡活动。若厂家投放 A、 B 型 号 电 视 机 的 价 值 分 别 为 p, q 万 元 , 农 民 购 买 电 视 机 获 得 的 补 贴 分 别 为 1 p , m ln(q ? 1)(m ? 0) 万元。已知厂家把总价值为 10 万元的 A、B 两种型号电视 10 机投放市场,且 A、B 两型号的电视机投放金额都不低于 1 万元(精确到 0.1 ,参 考数据: ln 4 ? 1.4 ) 2 (1)当 m ? 时,请你制定一个投放方案,使得在这次活动中农民得到的补贴 5 最多,并求出其最大值; (2)讨论农民得到的补贴随厂家投放 B 型号电视机金额的变化而变化的情况。 22. 如图所示,设抛物线 C1 : y 2 =4mx(m>0)的准线与 x 轴交于 F1 ,焦点为 F2 ;以

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1 F1 , F2 为焦点,离心率 e= 的椭圆 C2 与抛物线 C1 在 x 轴上方的交点为 P,延长 2

P F2 交抛物线于点 Q,M 是抛物线 C1 上一动点,且 M 在 P 与 Q 之间运动. (1)当 m=1 时,求椭圆 C2 的方程; (2)当△P F1 F2 的边长恰好是三个连续的自然数时,求△MPQ 面积的最大值.

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莱芜四中 2013 高考数学模拟题参考答案
2013.4

一,DBBCA,DDADB,DC 二、 13,{x|0≤x≤1}∪{x|x<0}={x|x≤1}. 14. 0 15. 2 5
16. 1,2,3 ,5

三、解答题 17.
解析: (1) f ( x) ?

3 sin x cos x ? cos 2 x ?

1 3 1 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? sin( 2 x ? ) ? 1 2 2 2 6

? f (x) 的最小值为-2,最小正周期为 ? 。
(2)? f (C ) ? sin( 2C ?

?
?
6

) ? 1 ? 0 即 sin( 2C ? ?

?
6

) ?1

11? ? ? ? ? 2C ? ? ? C ? 6 6 6 6 2 3 a b ? sin B ? 2 sin A ? 0 由正弦定理 得 b ? 2a ① ? sin A sin B ? 0 ? C ? ? ,? ? 2C ?

?

? c ? 3 ,由余弦定理得: 9 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos
由①②解得 a ?

?

3



3, b ? 2 3 。

18.
1 解:(1)记事件 A 为“甲恰好去自己生活小区宣传”,P(A)= . 5

(2)五个人分到五小区共有 A 5 =120 种排法. 5 甲、乙都没有去自己生活小区的排法共有 A 5 -2 A 4 + A 3 =78 种, 5 3 4
78 39 = . 120 60 (3)离散型随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,5,

P=

P(X=1)=

C1 ? 9 3 C2 ? 2 1 5 = ,P(X=2)= 5 5 = , 8 6 A5 A5 5

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P(X=3)=

C3 ?1 1 1 1 5 = ,P(X=5)= 5 = , 5 12 A5 A 5 120

1 11 3 1 1 P(X=0)=1- - - = . 8 6 12 120 30 ∴离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 11 3 P 30 8 5 3 2 3 数学期望 E(X)= + + + =1. 8 6 12 120

2 1 6

3 1 12

5 1 120

19. 解:(1)不妨设正三角形 ABC 的边长为 3,

则在图(1)中,取 BE 的中点 D,连接 DF, AE CF CP 1 ∵ = = = , EB FA PB 2 ∴FA=AD=2. 又∠A=60°, 则△ADF 是正三角形. 又 AE=ED=1, ∴EF⊥AD, ∴在图(2)中有 A1 E⊥EF,BE⊥EF, ∴∠ A1 EB 为二面角 A1 EFB 的平面角, ∵二面角 A1 EFB 为直二面角, ∴ A1 E⊥BE. 又∵BE∩EF=E, ∴ A1 E⊥平面 BEF, 即 A1 E⊥平面 BEP. (2)由(1)可知 A1 E⊥平面 BEP,BE⊥EF,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 E(0,0,0), A1 (0,0,1), B(2,0,0). 连接 DP,由(1)知 EFDP,DEFP,
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故点 P 的坐标为(1, 3 ,0), ∴ A1 B =(2,0,-1), BP =(-1, 3 ,0), EA1 =(0,0,1),

?? 不妨设平面 A1 BP 的法向量 n1 =(x,y,z),
? A1 B ? n1 ? 2 x ? z ? 0 ? ? ? BP ? n1 ? ? x ? 3 y ? 0 则? ,

?? 令 y= 3 ,得 n1 =(3, 3 ,6),

?? n ? EA1 6 3 ∴cos< n1 , EA1 >= 1 = = , | n1 || EA1 | 4 3 2
则直线 A1 E 与平面 A1 BP 所成角的正弦值为 故直线 A1 E 与平面 A1 BP 所成角的大小为 20. (1)解:由题意 2 an ?1 - an =n,
1 3 ,所以 2 a2 - a1 =1,解得 a2 = , 2 4 11 35 同理 a3 = , a4 = 16 8 π . 3

3 , 2

又 a1 =

(2)证明:因为 2 an ?1 - an =n,所以 bn+1= an +2- an ?1 -1 =

a n ?1 ? n ? 1 n ? a n ?1 ? 1 - an ?1 -1= , 2 2

bn = an ?1 - an -1= an ?1 -(2 an ?1 -n)-1=n- an ?1 -1=2 bn ?1 ,
又 b1 = a2 - a1 -1=3 , 4 3 1 为首项, 为公比的等比数列. 4 2

所以数列{ bn }是以-

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(3)解:由(2)得
1 bn =-错误!未找到引用源。×(错误!未找到引用源。)n-1=-3× ( ) n?1 (n∈N*), 2 3 1 ? ? (1 ? n ) 2 =3× ( 1 ) n?1 - 3 . Tn= 4 1 2 2 1? 2 1 又 an ?1 =n-1- bn =n-1+3× ( ) n?1 , 2 1 所以 an =n-2+3×( )n(n∈N*), 2 1 1 ? (1 ? n ) 2 n(n ? 1) 2 = n ? 3n +3- 3 . 所以 Sn= -2n+3× 2 1 2 2 2n 1? 2

由题意,记 cn =

S n ? ?Tn . n

要使数列{ cn }为等差数列,只要 cn - cn ?1 (n≥2)为常数.

n 2 ? 3n 3 1 3 ( ? 3 ? n ) ? ?[3 ? ( ) n ?1 ? ] 2 2 2 = n ? 3 +(3- 3 2 cn = 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 = n 2 2
1? 1 2n , n 1? 1

λ )×

n?4 3 2 n ?1 , +(3- λ )× 2 n ?1 2 1 1 1 ? n 1 ? n ?1 1 3 2 2 ). 则 cn - cn ?1 = +(3- λ )×( 2 2 n n ?1

cn ?1 =

故当λ =2 时, cn - cn ?1 = 21

S ? ?Tn 1 为常数,即数列{ n }为等差数列. n 2

解:设 B 型号电视机的价值为 x 万元( 1 ? x ? 9 ) ,农民得到的补贴为 y 万元, 则 A 型号电视机的价值为 (10 ? x) 万元, 由题意得,
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1 1 (10 ? x) ? m ln( x ? 1) ? n ln( x ? 1) ? x ? 1 10 10 2 1 2 2 1 (1)当 m ? 时,在 y ? (10 ? x) ? ln( x ? 1) ? ln( x ? 1) ? x ? 1 5 10 5 5 10 y?

y? ?

2 1 ? , 5( x ? 1) 10

由 y? ? 0得, x ? 3. 当 x ? (1,3) 时, y? ? 0 , 当 x ? (3,9)时,y?<0 所以当 x ? 3 时, y 取最大值,

ymax ?

2 ln 4 ? 0.3 ? 1 ? 1.3. 5

即厂家分别投放 A、B 两型号电视机 7 万元和 3 万元时,农民得到补贴最我,最多补贴约 1.3 万元。 4分 (2)由 y? ?

m 1 ? , 得y? ? 0 x ? 1 10 得 x ? 10m ? 1
①当 10m ? 1 ? 1, 即0 ? m ? 0.2 时,

y? ? 0, y在[1,9] 是减函数
随 B 型电视机投放金额 x 万元的增加,农民得到的补贴逐渐减少。 ②当 1 ? 10m ? 1 ? 9, 即0.2 ? m ? 1 时,

x ? ?1,10m ? 1? , y? ? 0, x ? ?10m ? 9? , y? ? 0.
当 x ? [1,10m ? 1] 随 B 型电视机投放金额 x 的增加,农民得到的补贴逐渐增加。 当 x ? (10m ? 1,9] 随 B 型电视机投放金额 x 的增加农民得到的补贴逐渐减少。 ③当 10m ? 1 ? 9, 即m ? 1 时,

y 在[1,9]是增函数,随 B 型电视机投放金额 x 的增加,农民得到的补贴逐渐增加。 22. 解:(1)当 m=1 时, y 2 =4x,则 F1 (-1,0), F2 (1,0),

设椭圆方程为

x2 y2 + =1(a>b>0), a2 b2

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则 c=1,又 e=

c 1 = , a 2

所以 a=2, b 2 =3, 所以椭圆 C2 的方程为

x2 y2 + =1. 4 3

(2)设 P( x p , y p )( x p >0, y p >0),Q( xQ , yQ )( xQ >0, yQ <0), 因为 c=m,e=
c 1 = ,则 a=2m, b 2 =3 m 2 a 2

x2 y2 故椭圆方程为 + =1, 4m 2 3m 2
? x2 y2 ?1 ? 2 ? 由 ? 4m ,得 3 x 2 +16mx-12 m 2 =0, 3m 2 ? y 2 ? 4mx ?
即(x+6m)(3x-2m)=0,得 x p = 代入抛物线方程得 y p =
2m 2 6m , ), 3 3
5m , 3 5m 7m = ,| F1 F2 |=2m, 3 3 2m , 3

2 6 m, 3

即 P(

|P F2 |= x p +m=

|P F1 |=2a-|P F2 |=4m-

因为△P F1 F2 的边长恰好是三个连续的自然数, 所以 m=3, 此时抛物线方程为 y 2 =12x,P(2,2 6 ), 直线 PQ 方程为 y=-2 6 (x-3).

? y ? ?2 6 ( x ? 3) ? 联立错误!未找到引用源。 ? 2 , ? y ? 12 x ?
得 2 x 2 -13x+18=0, 即(x-2)(2x-9)=0,
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所以 xQ =

9 , 2

代入抛物线方程得 yQ =-3 6 , 即 Q(
9 ,-3 6 ), 2

9 25 ∴|PQ|=错误!未找到引用源。 (2 ? ) 2 ? (2 6 ? 3 6 ) 2 = . 2 2
设 M(

t2 ,t)到直线 PQ 的距离为 d,t∈(-3 6 ,2 6 ), 12

|
则 d=错误!未找到引用源。 ∵t∈(-3 6 ,2 6 ) ∴当 t=-

6 2 t ?t ?6 6 | 6 6 75 6 = |(t+ )2- |, 2 30 2 24 ? 1

6 6 75 5 6 时,dmax= × = , 2 2 30 4
25 5 6 125 6 1 × × = . 2 4 16 2

即△MPQ 面积的最大值为

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