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数列求和的基本方法例题


数列求和的基本方法归纳
教师:王光明 数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占 有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外, 大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数 列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 1、等差数列求和公式: S n ? 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
n 1 3、 S n ? ? k ? n(n ? 1) 2 k ?1 n 1 5、 S n ? ? k 3 ? [ n(n ? 1)]2 2 k ?1 n 1 4、 S n ? ? k 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6 k ?1

[例 1] 已知 log3 x ?
解:由 log3 x ?

?1 ,求 x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3

?1 1 ? log3 x ? ? log3 2 ? x ? log2 3 2

由等比数列求和公式得

Sn ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n
1 1 (1 ? n ) x (1 ? x ) 2 =1- 1 = =2 1 2n 1? x 1? 2
n

(利用常用

公式)

[例 2] 设 Sn=1+2+3+?+n,n∈N*,求 f (n) ?
解:由等差数列求和公式得 S n ?

Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1
1 1 n(n ? 1) , S n ? (n ? 1)( n ? 2) 2 2

(利用常用

公式)

1

∴ f ( n) ?

n Sn = 2 (n ? 32) S n ?1 n ? 34 n ? 64



1 n ? 34 ? 64 n


( n?

1 8 n

?

) 2 ? 50

1 50

∴ 当

n?

1 8 ,即 n=8 时, f (n) max ? 50 8

二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列 {an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例 3] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ?????????①
解:由题可知,{ (2n ? 1) x n?1 }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x n ?1 }的通项 之积 设 xSn ? 1x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n ?????????. ②

(设制错

位)
①-②得 (1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n
1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ? 1? x

(错位相减)



Sn ?

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2

[例 4] 求数列 ,

2 4 6 2n , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2 2 2n 1 解:由题可知,{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2 2 4 6 2n 设 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?????????????① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ????????????② (设制错 2 2 2 2 2

位)
1 2 2 2 2 2 2n ①-②得 (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 减) 1 2n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 2 2
2

(错位相



Sn ? 4 ?

n?2 2 n ?1

19. (2014?濮阳二模) 设{an}是等差数列, {bn}是各项都为正数的等比数列, 且 a1=b1=1, a3+b5=21, a5+b3=13 (Ⅰ)求{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列 的前 n 项和 Sn.

考点: 等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (Ⅰ)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,根据等比数列和等差数列的通项公式,联立方程求得 d
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和 q,进而可得{an}、{bn}的通项公式. (Ⅱ)数列 解答: 解: (Ⅰ)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则依题意有 q>0 且 解得 d=2,q=2. 所以 an=1+(n﹣1)d=2n﹣1,bn=q (Ⅱ) ② ②﹣①得 , .
n﹣1

的通项公式由等差和等比数列构成,进而可用错位相减法求得前 n 项和 Sn.

=2

n﹣1

. ,① ,

=

=

=



点评: 本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和. 21. (2014?天津模拟)在等差数列{an}中,a1=3,其前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1, 公比为 q,且 b2+S2=12, .

(Ⅰ)求 an 与 bn; (Ⅱ)设 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 考点: 等比数列的通项公式;等差数列的通项公式;数列的求和. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)根据 b2+S2=12,{bn}的公比 ,建立方程组,即可求出 an 与 bn;
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(2)由 an=3n,bn=3n﹣1,知 cn=an?bn=n?3 ,由此利用错位相减法能求出数列{cn}的前 n 项和 Tn. 解答: 解: (1)∵在等差数列{an}中,a1=3,其前 n 项和为 Sn,
3

n

等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为 q,且 b2+S2=12,



∴b2=b1q=q,

, (3 分)

解方程组得,q=3 或 q=﹣4(舍去) ,a2=6(5 分) ∴an=3+3(n﹣1)=3n,bn=3n﹣1. (7 分) (2)∵an=3n,bn=3n﹣1, n ∴cn=an?bn=n?3 , ∴数列{cn}的前 n 项和 2 3 n Tn=1×3+2×3 +3×3 +…+n×3 , 2 3 4 n+1 ∴3Tn=1×3 +2×3 +3×3 +…+n×3 , 2 3 n n+1 ∴﹣2Tn=3+3 +3 +…+3 ﹣n×3 = = ∴Tn= ×3
n+1

﹣n×3

n+1

﹣n×3 ﹣

n+1

, .

点评: 本题考查数列的通项公式和前 n 项和公式的求法,解题时要认真审题,注意等差数列、等比数列的 性质和错位相减法的合理运用.

三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) , 再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) .
0 1 2 n [例 5] 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n 0 1 2 n 证明: 设 S n ? Cn ??????????.. ① ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn

把①式右边倒转过来得
n n?1 1 0 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

(反

序)
m n ?m 又由 Cn 可得 ? Cn 0 1 n?1 n ????..??.. ② S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

①+②得 ∴

0 1 n?1 n 2S n ? (2n ? 2)(Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ) ? 2(n ? 1) ? 2n

(反序相加)

S n ? (n ? 1) ? 2 n
4

[例 6] 求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值
解:设 S ? sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? ????. ① 将①式右边反序得
S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? ? ? ? ? sin 2 3? ? sin 2 2? ? sin 2 1? ????..②

(反

序)
又因为 sin x ? cos(90? ? x),sin 2 x ? cos2 x ? 1 ①+②得

(反

序相加)
2S ? (sin 2 1? ? cos2 1? ) ? (sin 2 2? ? cos2 2? ) ? ? ? ? ? (sin 2 89? ? cos2 89? ) =89
∴ S=44.5 四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 1 1 1 [例 7] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1, ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,? a a a 1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a 将其每一项拆开再重新组合得 1 1 1 S n ? (1 ? ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a

(分

组)
当 a=1 时, S n ? n ?
(3n ? 1)n (3n ? 1)n = 2 2

(分组

求和)
1 n (3n ? 1)n a ? a1?n (3n ? 1)n a a ? 1 ? 当 时, S n ? = ? 1 a ?1 2 2 1? a [例 8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和. 1?
解:设 ak ? k (k ? 1)(2k ? 1) ? 2k 3 ? 3k 2 ? k ∴
S n ? ? k (k ? 1)(2k ? 1) = ? (2k 3 ? 3k 2 ? k )
k ?1 k ?1 n n

将其每一项拆开再重新组合得 Sn =
2? k 3 ? 3? k 2 ? ? k
k ?1 k ?1 k ?1 n n n

(分组)
5

= 2(13 ? 23 ? ? ? ? ? n3 ) ? 3(12 ? 22 ? ? ? ? ? n2 ) ? (1 ? 2 ? ? ? ? ? n) =
n 2 (n ? 1) 2 n(n ? 1)(2n ? 1) n(n ? 1) ? ? 2 2 2

(分组

求和)

n(n ? 1) 2 (n ? 2) 2

27.已知等比数列{an}满足 a2=2,且 2a3+a4=a5,an>0. (1)求数列{an}的通项公式; n (2)设 bn=(﹣1) 3an+2n+1,数列{bn}的前项和为 Tn,求 Tn. 考点: 等比数列的前 n 项和;数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则
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,解方程可求 a1,q 结

合等比数列的通项公式即可求解 (Ⅱ)由 bn=(﹣1) 3an+2n+1=﹣3?(﹣2) 和公式即可求解 解答: (本小题满分 12 分)
n n﹣1

+2n+1,利用分组求和,结合等比与等差数列的求

解: (Ⅰ)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则 整理得 q ﹣q﹣2=0,即 q=﹣1 或 q=2, ∵an>0, ∴q=2.代入可得 a1=1 ∴ .…(6 分)
n n﹣1 2

…(2 分)

(Ⅱ)∵bn=(﹣1) 3an+2n+1=﹣3?(﹣2) +2n+1,…(9 分) n﹣1 ∴Tn=﹣3[1﹣2+4﹣8+…+(﹣2) ]+(3+5+…+2n+1) =﹣3× =(﹣2) +n ++2n﹣1.…(12 分)
n 2

点评: 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用,分组求和方法的应用,属于数列知识的简 单综合

五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项 (通项) 分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1)

6

(3) a n ? (5) an ? (6) an ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

(2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n
1 1? 2 , 1 n ? n ?1 1 2? 3 ,? ? ?, 1 n ? n ?1 ,? ? ? 的前 n 项和.

[例 9] 求数列

解: 设 an ?

? n ?1 ? n

(裂

项)
则 Sn ?
1 1? 2 ? 1 2? 3 ? ??? ? 1 n ? n ?1

(裂项求

和)
= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1

[例 10] 在数列{an}中, an ?
的和. 解: ∵ an ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项 n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

1 2 n n ? ? ??? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 2



bn ?

2 1 1 ? 8( ? ) n n ?1 n n ?1 ? 2 2

(裂项)
∴ 数列{bn}的前 n 项和 1 1 1 1 1 1 1 S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] 2 2 3 3 4 n n ?1 = 8(1 ?
8n 1 ) = n ?1 n ?1

(裂项求

和)

[例 11]

1 1 1 cos1? ? ? ??? ? ? 求证: cos0 ? cos1? cos1? cos 2 ? cos88? cos89? sin 2 1?
1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ?
?

解:设 S ?

7



sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1)
1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ?
?

(裂项)
∴S ?

(裂项求

和)

1 {(tan 1? ? tan 0 ? ) ? (tan 2 ? ? tan 1? ) ? (tan 3? ? tan 2 ? ) ? [tan 89 ? ? tan 88 ? ]} ? sin 1

1 1 cos1? ? ? ? (tan 89 ? tan 0 ) = ? cot 1 = 2 ? = sin 1? sin 1? sin 1



原等式成立

如: ?an ? 是公差为 d 的等差数列,求 ?

1 k ?1 ak ak ?1

n

解:由 ∴?
n

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? d ? 0? ak· ak ?1 ak ? ak ? d ? d ? ak ak ?1 ?

n ?1 1 1? 1 1 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? …… ? ? ? ?? ak ?1 ? d ?? a1 a2 ? ? a2 a3 ? k ?1 ak ak ?1 k ?1 d ? ak ? an an ?1 ? ?

?

1? 1 1 ? ? ? ? d ? a1 an?1 ?
六、合并法求和

针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的 和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn.

[例 12] 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179°的值.
解:设 Sn= cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179° ∵ cosn? ? ? cos(180? ? n? )

(找特殊性

质项)
∴Sn= (cos1°+ cos179°)+( cos2°+ cos178°)+ (cos3°+ cos177°) +· · · + (cos89°+ cos91°) + cos90°

(合

并求和)
= 0

[例 13] 数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an ,求 S2002.
解:设 S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002

8

由 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an 可得

a4 ? ?1, a5 ? ?3, a6 ? ?2, a7 ? 1, a8 ? 3, a9 ? 2, a10 ? ?1, a11 ? ?3, a12 ? ?2,
??

a6k ?1 ? 1, a6k ?2 ? 3, a6k ?3 ? 2, a6k ?4 ? ?1, a6k ?5 ? ?3, a6k ?6 ? ?2
∵ a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 ? a6k ?5 ? a6k ?6 ? 0

(找特殊性质

项)
∴ S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002

(合并

求和)
= (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?a6 ) ? (a7 ? a8 ? ? ? ?a12 ) ? ? ? ? ? (a6k ?1 ? a6k ?2 ? ? ? ? ? a6k ?6 )

? ? ? ? ? (a1993 ? a1994 ? ? ? ? ? a1998 ) ? a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002
= a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002 = a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 =5

[例 14] 在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值.
解:设 S n ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 由等比数列的性质 m ? n ? p ? q ? aman ? a p aq

(找特殊性质

项)
和对数的运算性质 loga M ? loga N ? loga M ? N 得

S n ? (log3 a1 ? log3 a10 ) ? (log3 a2 ? log3 a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? log3 a6 )
= (log3 a1 ? a10 ) ? (log3 a2 ? a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? a6 ) = log3 9 ? log3 9 ? ? ? ? ? log3 9 =10 七、利用数列的通项求和

(合并求和)

先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项 揭示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法.

9

[例 15] 求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和. ? ?
n个1

解: 由于 111 ?? ?1 ? ?? ?
k个1

1 1 ? 999 ?? ?? ? 9 ? (10k ? 1) ? ? ? 9 9 k个1

(找通项及特

征)
∴ 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 ? ?
n个1

1 1 1 1 = (101 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? (10 3 ? 1) ? ? ? ? ? (10 n ? 1) 9 9 9 9

(分组求

和)
1 1 = (101 ? 102 ? 103 ? ? ? ? ? 10n ) ? (1 ? 1? ?1 ?? ??? ? 1) ? ? ? 9 9 ?? n个1
1 10(10n ? 1) n ? = ? 9 10 ? 1 9



1 (10 n ?1 ? 10 ? 9n) 81
? 8 , 求? (n ? 1)(a n ? an?1 ) 的值. (n ? 1)(n ? 3) n ?1

[例 16] 已知数列{an}: an ?

解: ∵ (n ? 1)(a n ? a n ?1 ) ? 8(n ? 1)[

1 1 ? ] (n ? 1)(n ? 3) (n ? 2)(n ? 4)

(找通项及特征)

= 8 ?[

1 1 ? ] (n ? 2)(n ? 4) (n ? 3)(n ? 4)
1 1 1 1 ? ) ? 8( ? ) n?2 n?4 n?3 n?4

(设制

分组)
= 4?(

(裂

项)


? (n ? 1)(an ? an?1 ) ? 4? (
n ?1 n ?1

?

?

? 1 1 1 1 ? ) ? 8? ( ? ) n?2 n?4 n?4 n ?1 n ? 3

(分组、裂项求和)

1 1 1 =4?( ? ) ? 8? 3 4 4 13 = 3

说明:本资料适用于高三总复习,也适用于高一“数列”一章的学习。

10


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