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山东省聊城第三中学2014-2015学年高二下学期第二次质量检测数学(文)试题


聊城三中 2014—2015 学年第二学期第二次质量检测

高二(文科)数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分. 考试时间 120 分钟. 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个符合题目要求. ) 1.设为虚数单位,则复数 A.

?4 ? 3i

3 ? 4i ?( i B. ?4 ? 3i

) C.

4 ? 3i

D.

4 ? 3i


2.已知全集 U ? R ,集合 A ? x | 2 x ? 1 , B ? ?x | ?4 ? x ? 1? ,则 A ? B 等于( A. (0,1) B. (1, ??) C. (?4,1) D. (??, ?4)

?

?

3. 某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了四次试 验,得 到的数据如下: 零件的个数 x(个) 2 3 4 5 加工的时间 y(小时) 2.5 3 4 4.5

? =bx+a 中的 b≈0.7,试预测加工 10 个零件 由表中数据算的线性回归方程 y
需( A.9 )个小时. B.8.5 C.8.05 D.8

4. 给出如下四个命题: ① 若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ②命题“若 a ? b, 则2 a ? 2b ? 1”的否命题为“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”; ③ “? x ∈R, x 2 +1≥1”的否定是 “ ? x ∈R, x 2 +1≤1”; ④ 在 ?ABC 中,“ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的充要条件. 其中不正确 的命题的个数是 ( ) ... A.4
? 1

B.3

C. 2 )

D. 1

5.设 a ? 2 3 , b ? log 2 A. c ? b ? a

1 1 , c ? log 1 ,则( 3 2 3
C. a ? c ? b

B. c ? a ? b

D. a ? b ? c )

6. 函数 y ? x cos x ? sin x 的部分图象大致为(

7. 已知 f ( x) ? ? ( )

?(3 ? a ) x ? a, x ? 1 是 (??,??) 上是增函数,那么实数 a 的取值范围是 ?log a x, x ? 1
B. ( ,3)

A. (1,??)

3 2

C. [ ,3)

3 2

D. (1,3)

8.函数 f(x)=x2+ax+5,对 x∈R 恒有 f(x)=f(-4-x),若 x∈(m<0)时,f(x)的值域为,则实数 m 的取值范围是( A. 9. 定义运算 ) C. D.

B.(-4,0)

a c

b d

? ad ? bc ,若函数 f ? x ? ?
) B. [?2, ??)

x ?1 ?x

2 x?3

在 (??, m) 上单调递减,则实数

m 的取值范围( A. (?2, ??)

C. (??, ?2)

D. (??, ?2]

10 . 已 知 函 数 y ? f ( x)( x ? R )满足f ( x ? 2) ? f ( x) , 且 x ? ?? 1,1?时,f ( x) ? x , 则

y ? f ( x)与y ? log 7 x 的交点的个数为(
A.7 B.6

) C. 5 D.4

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11. 函数 y ?

x ?1 ? ln(2 ? x) 的定义域是 x
2

;

12.函数

y ? ? m 2 ? m ? 1? x m


? 2 m ?3

是幂函数且在 (0, ??) 上单调递减,则

实数 m 的值为 13.已知函数 f ( x) ? ?

?3x ?1 , x ? 0 ,若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围为 ?log 2 x, x ? 0

.

14. 观察下列不等式:

1 3 < 22 2 1 1 5 1? 2 ? 2 < 2 3 3 1 1 1 7 1? 2 ? 2 ? 2 < 2 3 4 4 1?
?,? 照此规律,第五个 不等式为 ... .

15.定义在 ?? ?,?? ? 上的偶函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 1? ? ? f ? x ? ,且在 ?? 1,0? 上是增函数,下 面是关于 f ( x) 的判断: ① f ? x ? 的最小正周期为 2 ③ f ? x ? 在上是增函数; ② f ? x ? 的图像关于直线 x ? 1 对称; ④ f ?2 ? ? f ?0 ? .

其中正确的判断是____________________(把你认为正确的判断都填上) 三、解答题(本大题共 6 小题 ,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16.(本小题满分 12 分) 已知集合 A ? ? x 1 ? x ? 3? ,集合 B ? ? x 2m ? x ? 1 ? m? . (1)若 A ? B ,求实数 m 的取值范围; (2)若 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分) 设命题 p : “对任意的 x ? R, x2 ? 2x ? a ”,命题 q : “存在 x ? R ,使

x 2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ”。如果命题 p ? q 为真,命题 p ? q 为假,求实数 a 的取值范围。
18. (本小题满分 12 分) 设函数 f ?x ? ? log 3 (9 x) ? log 3 (3x), (1)若 m ? log3 x, 求m的取值范围 . (2)求 f(x)的最大值和最小值,并求出取最值时对应的 x 的值.

1 ? x?9 9

19.(本小题满分 12 分) 已知二次函数 f(x)=ax2+2x+c(a,c∈N)满足①f(1)=5;②6<f(2)<11. (1)求 f(x)的解析式. (2)若对任意实数 x ? ? , ? ,都有 f(x)-2mx≤1 成立,求实数 m 的取值范围. 2 2

?1 3? ? ?

20.(本小题满分 13 分)
x 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且 x ? 0 时, f ( x ) ? ( ) ,函数 f ( x) 的值域为集

1 2

合A. (Ⅰ)求 f (?1) 的值; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? ? x 2 ? (a ? 1) x ? a 的定义域为集合 B ,若 A ? B ,求实数 a 的取值 范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=

ax ? b 1 2 是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f ( ) ? . 2 1? x 2 5

(Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)判断并证明函数的单调性; (Ⅲ)解不等式 f(t-1)+ f(t)<0.

聊城三中 2014—2015 学年第二学期第二次质量检测

高二(文科)数学试题答案
一、选择题 二、填空题 11. [?1,0) ? (0,2) 14. 1 ? 12.2 13. ? 1 ? x0 ? 0或x0 ? 2 15.① ② ④ DACCB DCADB

1 1 1 1 1 11 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 6 2 3 4 5 6

三、解答题
?1 ? m ? 2m ? 16 解: (1)由 A ? B 知: ? 2m ? 1 ?1 ? m ? 3 ?

???? 3 分

得 m ? ?2 ,即实数 m 的取值范围为 ? ??, ?2? (2) 由 A ? B ? ? 得:

???? 6 分

1 ①若 2m ? 1 ? m 即 m ? 时, B ? ? ,符 合题意 ???? 3

9分

1 1 ? ? 1 ?m ? ?m ? ②若 2m ? 1 ? m 即 m ? 时,需 ? 3 或? 3 3 ? ? ?1 ? m ? 1 ?2m ? 3
1 1 得 0 ? m ? 或 ? ,即 0 ? m ? 3 3 综上知 m ? 0

????

11 分

即实数 m 的取值范围为 ?0, ?? ? ????

12 分

17.解:由题意:对于命题 p : ∵对任意的 x ? R, x2 ? 2x ? a ∴ ?1 ? 4 ? 4a ? 0 ,即 p: a ? ?1 ; 对于命题 q : ∵存在 x ? R ,使 x2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ∴ ?2 ? 4a 2 ? 4(2 ? a) ? 0 ,即 q: a ? 1或a ? ?2 . ∵ p ? q 为真, p ? q 为假 ∴p,q 一真一假, p 真 q 假时 ? 2 ? a ? ?1 , …………………6 分 …………………8 分 …………………4 分 …………………2 分

p 假 q 真时 a ? 1 , ∴a 的范围是 (?2, ?1) ? [1, ??) . 18.

…………………10 分 …………………12 分

(1) ? 2 ? m ? 2 (2) f ?x ? ? (log3 x ? 2) ? (log3 x ? 1) ? log3 x ? 3 log3 x ? 2 即y ? m 2 ? 3m ? 2, m ? [?2,2] 3 1 3 当m ? ? 时, y min ? ? , 此时x ? 2 4 9 当m ? 2时,y max ? 12, 此时x ? 9.
19 解:(1)f(1)=a+2+c=5,所以 c=3-a. 又 6<f(2)<11,即 6<4a+c+4<11, 则- <a< ,故 a=1,c=2. f(x)的解析式为 f(x)=x2+2x+2. (2)由(1)知 f(x)=x2+2x+2, 由题意得 2(1-m)≤-(x+ )在[ , ]上恒成立,
2

易求 min=- ,故 2(1-m)≤- ,

解得 m≥ .即实数 m 的取值范围为[ ,+∞). 20.解: (I) ? 函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数
? f (?1) ? f (1)
1 x 又 x ? 0 时, f ( x ) ? ( ) 2 1 ? f (1) ? 2 1 f ( ?1) ? 2

...........1 分

...........2 分 ...........3 分

(II)由函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,可得函数 f ( x) 的值域 A 即为 x ? 0 时,
f ( x) 的取值范围.

..........5 分

1 x 当 x ? 0 时, 0 ? ( ) ? 1 2

...........7 分 ...........8 分

故函数 f ( x) 的值域 A = (0,1]
? g ( x) ? ? x 2 ? (a ? 1) x ? a

? 定义域 B ? {x ? x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0}
由 ? x 2 ? (a ?1) x ? a ? 0 得

...

x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 ,
即 ( x ? a)(x ? 1) ? 0 ...........10 分

?A? B
? B ? [?1, a], 且 a ? 1

? 实数 a 的取值范围是 {a a ? 1}

...........12 分

21. (1)解:? f ( x ) 是(-1,1)上的奇函数 ? f (0) ? 0
1 a 1 2 2 2 又 f( )? ? ? 2 5 1 ? ( 1 )2 5 2 x (4 分) ? f ( x) ? 1 ? x2

? b ? 0 (1 分)

?a ? 1

(2 分)

(2)证明:任设 x1、x2 ? (-1,1) ,且 x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
x1 x2 ( x ? x )(1 ? x1 x2 ) ? ? 1 22 2 2 2 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

? ?1 ? x1 ? x2 ? 1

??1 ? x1 x2 ? 1

(6 分)

? x1 ? x2 ? 0 ,且 1 ? x1 x2 ? 0
2 又 1 ? x12 ? 0,1 ? x2 ?0

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
(7 分) (8 分)

即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

? f ( x ) 在(-1,1)上是增函数

(3)? f ( x ) 是奇函数
? 不等式可化为 f (t ? 1) ? ? f (t ) ? f ( ?t )

即 f (t ? 1) ? f ( ?t )

9分

又 f ( x ) 在(-1,1)上是增函数

? ?1 ? t ? 1 ? 1 1 ? 解之得 O ? t ? ? 有 ? ?1 ? t ? 1 2 ?t ? 1 ? ?t ?
1 ? 不等式的解集为 {t | O ? t ? } 2

…11 分

…12 分.


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