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重庆八中2010—2011学年度高三年级第五次考试数学试题(文科)


重庆八中 2010-2011 学年度(上)高三年级第五次考试

数学文科试题
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? ? x | x ? 1? , N ? ? x | x ( x ? 2 ) ? 0 ? ,则 M ? N = A. ? B. ? x

| x ? 0 ? C. ? x | x ? 1? ( )

D. ? x | 0 ? x ? 1? ) D. 2

2.若向量 a ? ( 3 , k ) , b ? ( 2 , ? 1) , a ? b ? 0 ,则实数 k 的值为( A. ?
3 2

B.

3 2

C. 6 )

3. “ p 或 q 是假命题”是“非 p 为真命题”的( A.充分而 不必要条件 C.充要条件 4. 若 f ( x ) ? ax A. ? 4
4

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? bx

2

? c 满足 f (1) ? 2 ,则 f ( ? 1) ?
' '

( D.4

)

B. ? 2

C.2

5. 中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2) ,则它的离心率为( ) A.
5 2

B. 5

C.

6 2

D. 6 )

6. 已知 m , n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( A. m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ? ? // ? C. ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n
x
2

B. m ? ? , m ? n ? n // ? D. m // n , n ? ? ? m ? ? )

? ? 1 上有一点 P,它到左准线的距离为 5,则 P 到右焦点的距离为 ( 7. 椭圆 25 9

y

2

A.7

B.6

C.5

D.4

8. 已知 PA 垂直于 ? ABC 所在的平面, AB ? AC ? 5 , BC ? 6 , PA ? 8 ,则 P 到 BC 的距离为 A. 5 B. 2 5 C. 3 5
y
1

( D. 4 5

)

? ? 5? ? 9.右图是函数 y ? A sin( ? x ? ? )( x ? R ) 在区间 ? ? , ? ? 6 6 ?

?
3 ?

5? 6

?
6

O

x

?1

上的图像,为了得到这个函数的图象,只要将
y ? sin x ( x ? R ) 的图象上所有的点(



A.向左平移 B.向左平移 C.向左平移

?
3

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的

1 2

倍,纵坐标不变

?
3

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
?
6 1 2

?
6

倍,纵坐标不变

D. 向左平移

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

10. 已知函数 f ( x ) 满足: ①定义域为 R; ②对任意 x ? R , 都有 f ( x ? 2) ? 2 f ( x ) ; ③当 x ? [ ? 1,1] 时, f ( x ) ? ? | x | ? 1 .则方程 A.20 B.12
f ( x ) ? log 4 | x | 在区间 [ ? 10,10] 内的 解个数是(

)

C.11

D.10

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.圆心在原点且与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切的圆的方程为__________. 12.已知 x ? (0, ? ) ,若 sin (
?
2 ? x)= ?

12 13

,则 tanx =

.

13.在正方体 ABCD ? A1 B1C 1 D1 中,二面角 A ? B1C ? A1 的平面角的正切值为_______.
? x ? y ? 3, ? 14.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? ? 1, 则目标函数 z ? 4 x ? 2 y 的最大值为______. ? y ? 1, ?

15.对任意 a ? [? 2 ,3 ] ,不等式 x ? ( a ? 6 ) x ? 9 ? 3 a ? 0 恒成立,则实数 x 的取值范围是
2

. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分)在 ? ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,且
a
2

?c ?b
2

2

?

1 2

ac

(1) 求 cos B 的值; ( 2 ) 求 sin
2

A?C 2

? cos 2 B 的值.

17.(本小题满分 13 分) 设等差数列 ? a n ? 满足 a 3 ? 5 , a1 0 ? ? 9 .
(1) 求 ? a n ? 的通项公式; ( 2 ) 求 ? a n ? 的前 n 项和 S n 及使得 S n 最大的 n 值.

18. (本小题满分 13 分) 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C 1 中, AC ? 3 , BC ? 4 , AB ? 5 . AA 1 ? 4 ,点 D 是 AB 中点.
C1

(1)求证: AC 1 // 平面 CDB 1 ; (2) 求异面直线 AC 1 与 B1C 所成角的余弦值.

B1

A1
C

B

D
A

19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? ?
1 3 x ? x ? (m
3 2 2

? 1) x

( x ? R ) 其中 m ? 0 为常数

(Ⅰ)当 m ? 1 时,曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率; (Ⅱ)求函数的单调区间与极值.

20. (本小题满分 12 分)

如图所示,F 是抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 ) 的焦点, A ( 4 , 2 ) 为抛物线内一定点, P 为 点 点
2

抛物线上一动点, P A ? P F 的最小值为 8. (1)求抛物线方程; (2)若 O 为坐标原点,问是否存在点 M ,使过点 M 的动直线与抛物线交于 B , C 两点,且以 BC 为直径的 圆恰过坐标原点, 若存在,求出动点 M 的坐标;若不 存在,请说明理由. O

y P A(4,2) x

F

21. (本小题满分 12 分) 已知函数
b1 ? 1 2
f (x) ? x 2x ? 1 , x ? ( 0 , ? ? ) ,数列 { a n }

满足 a1

? 1 , a n ?1 ? f ( a n )
? 1, 2, 3 ?

;数列 { b n } 满足

, bn ?1 ?

1 1 ? 2 f (Sn )

,其中 S n 为数列 { b n } 前 n 项和, n

(1)求数列 { a n } 和数列 { b n } 的通项公式; (2)设 T n ?
1 a 1 b1 ? 1 a 2 b2 ?? ? 1 a n bn

,证明 T n ? 5 .

重庆八中 2010-2011 学年度(上)高三年级第五次考试 数学文科试题----参考解答
一. 选择 10 ? 5 ? 50
' '

y
4

DCABA

DBDAC
y ? lo g 4 | x |

【解析】10.(数形结合)在同一直角坐标内
作出函数 f ( x ) 和 y
? lo g 4 | x | 的图象如右图, ? lo g 4 | x | 的图象

2 1
?3 ? 2 ?1 0
y ? lo g 4 | x |

1
12 2 3 4 5

x

由图易知, y ? f ( x ) 与 y

在 [ ? 10, 0] 有两个交点,在 (0,1 0 ] 内有 9 个 交点,故方程
f ( x ) ? log 4 | x | 在区间 [ ? 10,10] 内共有
' '

11 个解. 12. ?
5 12

二.填空: 5 ? 5 ? 25

11.

x ?y ? 2
2 2

13.

2 2

14. 10

15. x ? 0 或 x ? 5
? f (?2) ? 0 ? f (3) ? 0

【解析】15.设 f ( a ) ? ( x ? 3 ) a ? ( x 2 ? 6 x ? 9 ) 由 ?
三.解答(共 75 )
'

? x ? 0或x ? 5

16. 解: (1)由已知得, cos B ?
A?C 2 ? cos 2 B ? cos

a

2

?c ?b
2

2

?

1 4
2

…………………… …..6 分
B? 1 2 cos B ? 1 2

2 ac

(2) sin

2

2

B 2

? cos 2 B ? 2 cos

=?

1 4

… 13 分

17. 解:(1)设等差数列首项为 a 1 ,公差为 d ,则
? a1 ? 2 d ? 5 ? a1 ? 9 ? ? ? a n ? ? 2 n ? 11 …………………………….6 分 ? ?d ? ?2 ? a1 ? 9 d ? ? 9

(2)由(1)知 S n ? na 1 ? 又 S n ? ? ( n ? 5 ) ? 25
2

n ( n ? 1) 2

d ? ? n ? 10 n ………………………….10 分
2

? 当 n ? 5 时, S n 取得最大值 25 ………...13 分

18. 解:(1)连 BC 1 交 B 1 C 于 E ,连 DE ,
? DE ? 平面 CDB 1 , AC
1

? D 是 AB 的中点, E 是 BC 1 的中点,

? DE // AC 1

? 平面 CDB 1 , ? AC 1 // 平面 CDB

1

…6 分

(2) ? DE // AC 1 ,? ? CED 为 AC 1 与 B 1 C 所成的角,在 ? CED 中,
1 2 5 2

ED ?

AC

1

?

, CE ?

1 2

CB 1 ? 2 2 ,

? cos ? CED ?

8 2?2 2 ? 5 2

?

2 2 5

.

? 异面直线 AC 1 与 B1C 所成角的余弦值为

2 5

2

…………… …...12 分
z
C1 B1

解法 2.? 直三棱柱 ABC ? A1 B1C 1 底面三边长
AC ? 3 , BC ? 4 , AB ? 5 .? AC , BC , C 1 C

两两垂直.
A1
C

E

如图,以 C 为坐标原点,直线 CA , CB , CC 1 分别为 x 轴,
A

B

y

D

y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系,则 C ( 0 , 0 , 0 ) , A ( 3 , 0 , 0 ) ,

x

C 1 ( 0 ,0 , 4 ) , B ( 0 , 4 ,0 ) , B 1 ( 0 , 4 , 4 ) , D (

3 2

, 2 ,0 )

(1) 设 BC 1 交 B 1 C 于 E ,则 E ( 0 , 2 , 2 ) , ? DE ? ( ?
AC
1

3 2

,0 , 2 ) ,

? ( ? 3 , 0 , 4 ) , ? DE ?

1 2

AC

1

, ? DE // AC 1
? AC 1 // 平面 CDB
1

? DE ? 平面 CDB 1 , AC

1

? 平面 CDB 1 ,

(2) AC 1 ? ( ? 3 , 0 , 4 ) , CB 1 ? ( 0 , 4 , 4 ) , ? cos ? AC 1 , CB 1 ? ?
1 3

AC 1 ? CB 1 AC
1

?

2 2 5

.

? CB 1
'

19.解:(1)当 m ? 1 时, f ( x ) ? ?

x ? x , f ( x ) ? ? x ? 2 x , ? f (1) ? 1
3 2
' 2

所以曲线 y ? f ( x ) 在点( 1, f (1))处的切线斜率为 1. (2)解析
f ( x) ? ? x ? 2 x ? m
' 2 2 '

……… ..5 分

? 1 ,令 f ( x ) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m , x ? 1 ? m

因为 m ? 0 , 所以 1 ? m ? 1 ? m
x
'

当 x 变化时, f ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:
'

( ?? ,1 ? m )

1? m

(1 ? m ,1 ? m )

1? m

(1 ? m , ?? )

f ( x)
f (x)



0 极小值

+

0 极大值



f ( x ) 在 ( ?? ,1 ? m ) 和 (1 ? m , ?? ) 为减函数,在 (1 ? m ,1 ? m ) 为增函数…….

10 分
?
2

函数 f ( x ) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m ) ,且 f (1 ? m ) =
f ( x ) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m ) ,且 f (1 ? m ) = ?

2

m

3

? m
3

2

1

3 2 3

m

?m

3 1 ? ….12 分 3

20.解:如图,设抛物线的准线为 l , 过 P 作 PB ? l 于 B ,过 A 作 AC ? l 于 C , (1)由抛物线定义知 PF ? PB
? PA ? PF ? PA ? PB ? AC (折线段大于垂线段),当且仅

y P A(4,2) x

当 A , P , C 三 点 共 线 取 等 号 . 由 题 意 知 AC ? 8 , 即
4? p 2 ? 8 ? p ? 8 ? 抛物线的方程为: y
2

O

F

? 16 x ………...4 分

(2)假设存在点 M ,设过点 M 的直线方程为 y ? kx ? b , 显然 k ? 0 , b ? 0 ,设 B ( x 1 , y 1 ) , C ( x 2 , y 2 ) ,由以 BC 为直径的圆恰过坐标 原点有 OB ? OC ? 0 ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 ………… ……………………...①??6 分

2 2 2 2 把 y ? kx ? b 代人 y ? 16 x 得 k x ? 2 ( bk ? 8 ) x ? b ? 0

2 ( bk ? 8 ) ? 2 ? x1 ? x 2 ? ? ? k 由韦达定理 ? 2 ?x x ? b 2 ? 1 2 k ?

………………….??????②



y 1 y 2 ? ( kx 1 ? b )( kx 2 ? b ) ? k x 1 x 2 ? bk ( x 1 ? x 2 ) ? b
2

2

?.③ ??? .④

②代人③得 y 1 y 2 ?
16 b k

16 b k
? b k
2 2

②④代人①得

? 0 ? b ? ? 16 k …

…10 分

? 动直线方程为 y ? kx ? 16 k ? k ( x ? 16 ) 必过定点 (16 , 0 )

当 k BC 不存在时,直线 x ? 16 交抛物线于 B (16 , ? 16 ), C (16 ,16 ) ,仍然有 OB ? OC ? 0 , 综上:存在点 M (16 , 0 ) 满足条件……………12 分 注:若设直线 BC 的方程为 x ? my ? b 可避免讨论.可参照给分. 21.解: (1)∵ ∴{
f (x) ? x 2x ? 1

∴ a n ?1

? f ( a n ) ,∴ a n ? 1 ?

an 2an ? 1


1 an

1 a n ?1

?

1 an

?2

1 an

}

为以
1

1 a1

? 1 为首项以

2 为公差的等差数列∴
x 2x ? 1

? 1 ? ( n ? 1) ?2 1 1 ? 2 f (Sn )

∴an ? ∴ bn ?1
?

2n ? 1
1 1?

( n ? N ) 又∵ f ( x ) ?
*

, bn ?1

?



2Sn 2Sn ? 1

? 2 S n ? 1 ,∴ b n ? 2 ? 2 S n ? 1 ? 1 ,∴ b n ? 2 ? b n ? 1 ? 2( S n ? 1 ? S n )

∴ bn ? 2

? 3 b n ? 1 ,? b1 ?

1 2

, b2

? 2 S1 ? 1 ? 2

∴ { b n } 从第二项起成等比数列,公比为 3,? b n ? ? 2 (2)证明:依题意
Tn ? 2 ? 1

?1 ?

n ?1

……… …..6 分

? 2 ?3 n ? 2 , n ? 2 ?

1 1 2 1 n?2 [3 ? ? 5 ? ? 7 ?( ) ? ? ? ( 2 n ? 1)( ) ] , 1 2 3 3 3

令 An
1

1 1 2 1 n?2 ? 3 ? ? 5 ? ? 7 ?( ) ? ? ? ( 2 n ? 1) ?( ) 1 3 3 3

1 1 2 1 3 1 n?2 1 n ?1 An ? 3 ? ? 5 ?( ) ? 7 ?( ) ? ? ? ( 2 n ? 3)( ) ? ( 2 n ? 1)( ) 3 3 3 3 3 3 2 3 An ? 3 ? ? 2[ 1 1 1 2 1 3 1 n?2 1 n ?1 ? ( ) ? ( ) ?? ? ( ) ] ? ( 2 n ? 1) ?( ) 3 3 3 3 3

1 n?2 [1 ? ( ) ] 1 n ?1 3 3 ? 3 ? 2? ? ( 2 n ? 1) ?( ) 1 3 1? 3

1

∴ An ∴ Tn

? 6? ?5?

3 1 n?2 3 1 n ?1 ( ) ? ?( 2 n ? 1)( ) 2 3 2 3 3 1 n?2 3 1 n ?1 ( ) ? ?( 2 n ? 1) ?( ) ?5 4 3 4 3

.……………………………….12 分


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