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高一必修4平面向量的概念及线性运算


平面向量的概念及线性运算
一、目标认知 学习目标: 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量和向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加、减、数乘运算,并理解其几何意义. 5.理解两个向量共线的含义. 6.了解向量的线性运算性质及其几何意义. 重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量. 难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 二、知识要点梳理 知识点一:向量的概念 1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量. 2. 向量的表示方法:(1)字母表示法:如 等.(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如 等.

(3)向量的有关概念 向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量(共线向量又称为平行向量). 规定: 与任一向量共线. 要点诠释: 1.数量与向量的区别:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向, 大小,双重性,不能比较大小. 2.零向量的方向是任意的,注意 0 与 0 的含义与书写区别. 3.平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;共线向量可以相互平行,要区别于在同 一直线上的线段的位置关系. 知识点二:向量的加(减)法运算 1.运算法则:三角形法则、平行四边形法则 2.运算律:①交换律: ;②结合律: 要点诠释: 1.两个向量的和与差仍是一个向量,可用平行四边形或三角形法则进行运算,但要注意向量的起点与终 点. 2. .探讨该式中等号成立的条件,可以解决许多相关的问题. 知识点三:数乘向量 1.实数与向量的积:实数 与向量 的积是一个向量,记作: (1) ; (2)①当 时, 的方向与 的方向相同; ②当 2.运算律:设 为实数 时. 的方向与 的方向相反; ③当 时, .

结合律: ; 分配律: , 3. 共线向量基本定理 : 非零向量 与向量 共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数

, 使

.

要点诠释: 是判定两个向量共线的重要依据,其本质是位置关系与数量关系的相互转化, 体现了数形结合的高度统一.
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三、规律方法指导 1.向量的线性运算 (1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算,将数和形有机结合,并能 利用向量运算完成简单的几何证明; (2)向量的加法表示两个向量可以合成,利用它可以解决有关平面几何中的问题,减法的三角形法则应 记住:连接两端(两向量的终点),指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提. 2.共线向量与三点共线问题 向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的 .通常用来判断三点在同一条直线上或两直线 平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题. 经典例题透析 类型一:向量的基本概念 例 1.判断下列各命题是否正确: (1)若 ,则 ; (2)若 A、B、C、D 是不共线的四点,则 (3)若 ,则

是四边形

为平行四边形的充要条件;

(4)两向量 相等的充要条件是 且 . 思路点拨:相等向量即为长度相等且方向相同的向量. 解析:(1)不正确,两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同,因此由 推不出 . (2) 正确, 且 . 又 A 、 B 、 C 、 D 是不共线的四点,四边形 是平行四边形,则 且 与 方向相同.因此 . (3)正确, 的长度相等且方向相同;又 的长度相等且方向相同, 的长度相等且方向相 同.故 . (4)不正确,当 但方向相反时,即使 ,也不能得到 ,故 不是 的充要条件.

总结升华:我们应该清醒的认识到,两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向相同,向量相 等是可传递的.复习向量时,要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与实数运算区别开来. 举一反三: 【变式 1】下列说法正确的个数是( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 ①向量 ,则直线 直线 ②两个向量当且仅当它们的起点相同,终点也相同时才相等; ③向量 既是有向线段 ; ④在平行四边形 中,一定有 . 【答案】C 类型二:向量的线性运算 例 2.如图所示, 的两条对角线相交于点 ,且 用 表示

思路点拨:利用三角形法则和数乘运算,用向量法讨论几何问题,关键是选取适当的基向量表示其他向 量,本题的基底就是 ,由它可以“生”成 .

解析:在



总结升华:用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功,除利用向量加、减法、数乘向量外, 还应充分利用平面几何的一些定理,因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同
2

一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来求解,既充分利用相等 向量、相反向量和线段的比例关系,运用加法三角形、平行四边形法则,运用减法三角形法则,充分利 用三角形的中位线,相似三角形对应边成比例的平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接 关系的向量来求解. 举一反三: 【变式 1】如图, △ 中, 点 是 的中点,点 在边 上, 且 , 与 相交于点 , 求 的值. 【答案】解:(如图)设 ,则 和 分别共线, ∴存在 使 故 , 而

∴由基本定理得 类型三:共线向量与三点共线问题 例 3.设两非零向量 和 不共线, (1)如果 (2)试确定实数 ,使 思路点拨:要证明 使 . 解析:(1)证明 ∴ (2)解 ∵ 和 三点共线. 和

,即

求证 共线.

三点共线.

三点共线,须证存在

使

即可.而若



共线,则一定存在



共线,又有公共点 共线,∴存在 ,使 ,则 存在 使 由于



和 不共线,

只能有 则 . 总结升华:本题充分地运用了向量共线的充要条件,即 共线 举一反三: 【变式 1】设 三点共线. 和 是两个不共线的非零向量,若向量

(正用与逆用) ,试证明:A、C、D

证明: ∴ 又 ∴ ∴ 与 共线,∴A、C、D 三点共线. 类型四:综合应用 例 4.在 中, 分别为三边 上的动点,且在 时,分别从 A,B,C 出发,各以一定的速度 沿各边向 B,C,A 移动,当 t=1 时,分别到达 B,C,A,求证:在 的任何一时刻 t, 的重心为 G. 解析:设 的重心为 G.由已知点 D,E,F 在边 AB,BC,CA 上的速度分别是 在任意时刻 时,有

又 为一确定向量. 总结升华:熟练地进行向量的线性运算是解决本题的关键,另外 记忆并灵活运用. 的重心不变. 中设重心为 G,则 应该熟练

3

举一反三: 【变式 1】如图,已知点 分别是 三边 的中点, 求证: . 【答案】 证明:连结 .因为 分别是 三边的中点,所以四边形 由向量加法的平行四边形法则,得 (1), 同理在平行四边形 中, (2), 在平行四边形 在中, 将(1)(2)(3)相加,得

为平行四边形. (3)

.

基础达标: 1.下面的几个命题: ①若 ; ②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量; ③若 满足 且 与 同向,则 ;④由于 方向不定,故 不能与任何向量平行; ⑤对于任意向量 必有 . 其中正确命题的序号是:( )A.①②③ B.⑤ C.③⑤ D.①⑤ 2.在正六边形 ABCDEF 中,O 为其中心,则 A. 3.如图所示,D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、BC、CA 的中点,则 A. B. C. D. B. =( C. ) D.

4.若

是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是(

) ,用 表示 =___________,

A. B. C. D. 5.如图,在平行四边形 ABCD 中,M、N 分别是 DC、BC 中点,已知 ___________.

6.设 是两个不共线向量,则向量 与向量 共线的充要条件是_______________. 7.一条渔船距对岸 4km,以 2km/h 速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为 8km,求 河水的流速. 8.如图,D、E 是△ABC 中 AB、AC 的中点,M、N 分别是 DE、BC 的中点,已知 ,试用 分别表 示 . 基础达标答案与解析: 1.B 【思路分析】向量的概念. 2.B 【思路分析】 3.D 【思路分析】∵ 4.B 【思路分析】向量的加、减法法则. 5. 【思路分析】设 在△ABN 中△ADM 中 ,M、N 为 DC、BC 中点, ① ② 解①②: , , .
4

,故选 B. ,由三角形中位线定理 ,故选 D.

6.

【思路分析】由

不共线,必有



7.解: 【思路分析】如图,设

表示船垂直于对岸的速度, 表示水流的速度,

则由 , 就是渔船实际航行的速度,航行的时间为 在 中, , 8.【思路分析】向量的加、减法法则 解:由三角形中位线定理知:DE//BC 且 DE=BC 故 能力提升: 1.已知向量 ,且 A.A、B、D 则一定共线的三点是( ) C.B、C、D D.A、C、D ) D 既不充分也不必要条件 .

B.A、B、C

2.已知 则 A.充分不必要条件 3.已知向量 A. 4.若 B. 则

是 A、B、C 三点构成三角形的( B.必要不充分条件 C.充要条件 C. 若 与 共线,则( D. 或 (用 表示) )

5.已知在△ABC 中,D、E、F 分别是 BC、CA、AB 的中点,求证:(1) 6.已知△OAB 中,点 C 是以 A 为中心的 B 的对称点,D 是将 设 . (1)用 与 表示 ;(2)若 ,求实数 的值.

;(2)

; (3)

.

分成 2:1 的一个内分点,DC 与 OA 交于 E,

能力提升答案与解析: 1.A 【思路分析】 A、B、D 三点共线. 2.B 3.D【思路分析】非零向量 与 共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数 一向量共线. 4. 5.(1) (3) 两式相加得: ,而 ∵ 【思路分析】 ,整理得 (2) 略 同理, , 共线∴存在实数 k,使 .

,使

=

; 与任

6.解(1)∵A 是 BC 中点, ∴2 (2)设 综合探究: 1.下列命题中,真命题的个数为( ① ③ 方向相同 有相等的模





.

) A.0 ② ④

B.1

C.2

D.3 方向相反

方向相同
5

2.在 A. 3.设

中,已知 B.

是 C.

边上一点, , D. 与向量 D.k=



(

)

是两个不共线的向量,则向量 A.k=0 B.k=1 C.k=2

共线的充要条件是(

)

4.已知正方形 ABCD 边长为 1, ,则 的模等于( A.0 B.3 C. D. 5.两个非零向量相等是两个向量相等的___________条件.

)

6.如图所示,已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 的向量为 ,则 =________. 7.若非零向量 、 满足| - |=| |,则( ) A.|2 |>| -2 | B.|2 |<| -2 | C.|2 |>|2 - | D.|2 |<|2 - | 综合探究答案与解析: 1.C 【思路分析】①②对 ③④错. 2.A 【思路分析】 在△ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, 若 ,∴ 选 A. 共线,设 ,即 且 =2 , , 则

3.D 【思路分析】 ∵

为不共线向量,∴

4.C 【思路分析】正方形 ABCD 边长为 1 ,∴ . 5.必要不充分条件 【思路分析】∵向量为矢量,向量相等包括大小、方向两方面. 6. 【思路分析】∵ . 7.解:若两向量共线,则由于 是非零向量,且 ,则必有 ;代入可知只有 A、C 满足;若两向 量不共线, 注意到向量模的几何意义, 故可以构造如图所示的三角形, 使其满足 OB=AB=BC; 令 , , 则 ,∴ 且 ,∴ ; ,选 A. 又 BA+BC>AC ∴

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