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2016届高考数学一轮复习 6.7数学归纳法练习 理


第七节

数学归纳法

基础回 顾 数学归纳法:对于某些与正整数 n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确 * 性.先证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立;然后假设当 n=k(k∈N ,k≥n0)时命题成立,证 明当 n=k+1 时命题也成立.这种证明方法就叫做数学归纳法. 用数学归纳法证明一个与正整数(或自然数)有关的命题的步骤: (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(例如 n0=1,n0=2 等)时结论正确; * (2)(归纳递推)假设当 n=k(k∈N ,且 k≥n0)时结论正确,证明当 n=k+1 时结论也正 确. 由(1),(2)可知,命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确. 用数学归纳法来证明与正整数有关的命题时,要注意: 递推基础不可少,归纳假设要用 到,结论写明莫忘掉.

基础自 测 1.用数学归纳法证明“2 >n +1 对于 n≥n0 的正整数 n 都成立”时,第一步证明中的起 始值 n0 应取(C)
n 2

A.2 B.3 C.5 D.6 n 2 n 2 解析:当 n≤4 时,2 >n +1 不成立,n≥5 时,2 >n +1 成立,所以取 n0=5. * 2.下列代数式中(其中 k∈N ),能被 9 整除的是(C) k k-1 A.6+6×7 B.2 +7 k k+1 C.3(2+7 ) D.2(2+7 ) k 解析:(1)当 k=1 时,显然只有 3(2+7 )能被 9 整除. * n n+1 n (2)假设当 k=n(n∈N )命题成立,即 3(2+7 )能被 9 整除,那么 3(2+7 )=21(2+7 ) -36,这就说明,当 k=n+1 时命题也成立.故选 C. 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3. (2013·厦门质检)观察下列不等式: 1> , 1+ + >1, 1+ + +?+ > , 1+ + +? 2 2 3 2 3 7 2 2 3 1 1 1 1 5 1 1 1 n * + >2,1+ + +?+ > ,?,由此猜测第 n 个不等式为 1+ + +?+ n > (n∈N ). 15 2 3 31 2 2 3 2 -1 2 1 1 1 n 2 3 4 解析:3=2 -1,7=2 -1,15=2 -1,可猜测:1+ + +?+ n > . 2 3 2 -1 2 1 4.在数列{an}中,a1= ,且 Sn=n(2n-1)an,通过计算 a2,a3,a4,猜想 an 的表达式是 3 1 * an= (n∈N ). (2n-1)(2n+1)
1

1 1 1 1 1 1 1 解析:a1= = ,a2= = ,a3= = ,猜想 an= . 3 1×3 15 3×5 35 5×7 (2n-1)(2n+1)

高考方向 1.高考对数学归纳法较少单独考查,一般和合情推理、数列、不等式、平面几何等知识 结合,在知识交汇点处命题. 2.题型以解答题为主,难度中等偏上.

品 味 高 考 1? 1? 1.已知 f(x)= ?x- ?. x? 2? (1)若 x≥1 时,证明:f(x)≥ln x; 1 1 1 n (2)证明:1+ + +?+ >ln(n+1)+ (n≥1). 2 3 n 2(n+1) x 1 1 1 1 x -2x+1 证明: (1)设 g(x)=f(x)-ln x= - -ln x(x≥1), 则 g′(x)= 2- + = 2 2 2x 2x x 2 2x = (x-1) ≥0(x≥1),所以 g(x)在[1,+∞)上单调递增,即当 x≥1 时,g(x)≥g(1)=0, 2 2x 1? 1? 1? 1? (2)方法一 由(1)有 f(x)= ?x- ?≥ln x(x≥1),且当 x>1 时, ?x- ?>ln x. x x? 2? 2? ? 1 ? k+1 k+1 1 k+1 k 1 ? 1? ? 令 x= ,有 ln < [ - ]= [?1+ ?-?1- ?], k+1? k k 2 k k+1 2 ? k? ? 1 ? 1?1 即 ln(k+1)-ln k< ? + ?,k=1,2,3,?,n. 2?k k+1? 将上述 n 个不等式依次相加,得 1 1 1 1 1 ln(n+1)< +( + +?+ )+ . 2 2 3 n 2(n+1) 1 1 1 n 整理得 1+ + +?+ >ln(n+1)+ . 2 3 n 2(n+1) 方法二 用数学归纳法证明. 1 ①当 n=1 时,左边=1,右边=ln 2+ <1,不等式成立. 4 ②假设 n=k(k≥1,k∈N )时,不等式成立,即 1 1 1 k 1+ + +?+ >ln(k+1)+ . 2 3 k 2(k+1) 1 1 1 1 k 1 那么 n=k+1 时,1+ + +?+ + >ln(k+1)+ + =ln(k+1)+ 2 3 k k+1 2(k+1) k+1
* 2 2

即 f(x)≥ln x.

2

k+2 . 2(k+1) 1? 1? 由(1)有 f(x)= ?x- ?≥ln x(x≥1). x? 2? k+2 1?k+2 k+1? k+2 - 令 x= ,得 ? ≥ln =ln(k+2)-ln(k+1). ? k+1 2?k+1 k+2? k+1 k+2 k+1 ∴ln(k+1)+ ≥ln(k+2)+ . 2(k+1) 2(k+2) 1 1 1 1 k+ 1 ∴1+ + +?+ + >ln(k+2)+ . 2 3 k k+1 2(k+2) 这就是说,当 n=k+1 时,不等式也成立. * 根据①,②,可知不等式对任何 n∈N 都成立. 2 2. 函数 f(x)=x -2x-3.定义数列{xn}如下: x1=2, xn+1 是过两点 P(4, 5), Qn(xn, f(xn)) 的直线 PQn 与 x 轴交点的横坐标. (1)证明:2≤xn<xx+1<3; (2)求数列{xn}的通项公式. 2 (1)证 明:因为 f(4)=4 -8-3=5,故点 P(4,5)在函数 f(x)的图象上,故由所给出的 两点 P(4,5),Qn(xn,f(xn))可知,直线 PQn 斜率一定存在. 故有直线 PQn 的直线方程为 y-5 f(xn)-5 xn-2xn-8 -5 4xn+3 = · (x-4). 令 y=0, 可求得-5= · (x-4)? =x-4?x= . xn-4 xn-4 xn+2 xn+2 4xn+3 所以 xn+1= . xn+2 下面用数学归纳法证明 2≤xn<3. ①当 n=1 时,x1=2,满足 2≤x1<3. 4xk+3 5 * ②假设 n=k(k≥1,k∈N )时,2≤xk<3 成立,则当 n=k+1 时,xk+1= =4- , xk+2 xk+2 由 2≤xk<3? 4≤xk+2<5? 1< 5 5 11 5 ≤ ? 2< ≤4- <3,即 2≤xk+1<3 也成立. xk+2 4 4 xk+2
2

综上可知,2≤xn<3 对任意正整数恒成立. 下面证明 xn<xn+1: 4xn+3 4xn+3-xn-2xn -(xn-1) +4 由 xn+1-xn= -xn= = , xn+2 xn+2 xn+2 由 2≤xn<3? 0<-(xn-1) +4≤3, 故有 xn+1-xn>0,即 xn<xn+1. 综合①②可知,2≤xn<xn+1<3 恒成立. 3+4xn (2)解析:由(1)及题意得 xn+1= . 2+xn 1 5 1 1 ? 1 1? 设 bn=xn-3,则 = +1, + =5? + ?, bn+1 bn bn+1 4 ?bn 4?
? 1 1? 3 所以数列? + ?是首项为- ,公比为 5 的等比数列. 4 ?bn 4?
2 2 2

1 1 3 4 n-1 因此 + =- ·5 ,即 bn=- , n-1 bn 4 4 3·5 +1

3

4 * 所以数列{xn}的通项公式为 xn=3- (n∈N ). n-1 3·5 +1 高 考 测 验 1 .观察下表: 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ? 2 设第 n 行的各数之和为 Sn,则 Sn=(2n-1) . 2 解析:第一行,1=1 , 2 第二行,2+3+4=9=3 , 2 第三行,3+4+5+6+7=25=5 , 2 第四行,4+5+6+7+8+9+10=49=7 , 2 归纳:第 n 行的各数之和 Sn=(2n-1) . 2.已知函数 f(x)= ax 1 * a(x>0,a 为常数),数列{an}满足:a1= ,an+1=f(an),n∈N . 1+x 2

(1)当 a=1 时,求数列{an}的通项公式; * (2)在(1)的条件下,证明对? n∈N 有: n(n+5) a1a2a3+a2a3a4+?+anan+1an+2= . 12(n+2)(n+3)
?1? an 1 1 (1)解析:当 a=1 时,an+1=f(an)= ,两边取倒数,得 - =1,故数列? ?是以 1+an an+1 an ?an?

1 1 1 * =2 为首项,1 为公差的等差数列,所以 =n+1,an= ,n∈N . a1 an n+1 1 (2)证明:方法一 由(1)知 an= ,故对 k=1,2,3,?, n+1 1 1 1 1? ? - akak+1ak+2= = ? ? (k+1)(k+2)(k+3) 2?(k+1)(k+2) (k+2)(k+3)? 所以 a1a2a3+a2a3a4+?+ana n+1an+2 1 ? ? 1 1 ? 1?? 1 - - = ?? +? ? ?+?+ 2??2×3 3×4? ?3×4 4×5? 1 1 ? ?? ?(n+1)(n+2)-(n+2)(n+3)?? ? ??

1 1? 1 n(n+5) ?= - = ? . ? 2?2×3 (n+2)(n+3)? 12(n+2)(n+3) 1 1 方法二 ①当 n=1 时,等式左边= = , 2×3×4 24 1×(1+5) 1 等式右边= = ,左边=右边,等式成立; 12×(1+2)(1+3) 24 ②假设当 n=k(k≥1)时等式成立, k(k+5) 即 a1a2a3+a2a3a4+?+akak+1ak+2= , 12(k+2)(k+3) 则当 n=k+1 时,

4

a1a2a3+a2a3a4+?+akak+1ak+2+ak+1ak+2ak+3 = = = k(k+5) 1 + 12(k+2)(k+3) (k+2)(k+3)(k+4) k(k+5)(k+4)+12 12(k+2)(k+3)(k+4) k +9k +20k+12 12(k+2)(k+3)(k+4)
2 3 2

k (k+1)+4(k+1)(2k+3) = 12(k+2)(k+3)(k+4) = = (k+1)(k+2)(k+6) 12(k+2)(k+3)(k+4) (k+1)[(k+1)+5] . 12[(k+1)+2][(k+1)+3]

这就是说当 n=k+1 时,等式成立, * 综①②知对于? n∈N 有: n(n+5) a1a2a3+a2a3a4+?+anan+1an+2= . 12(n+2)(n+3)

课时作业 1.(2013·福建三明模拟)某个与正整数 n 有关的命 题,如果当 n=k(n∈N ,k≥1)时, 该命题成立,则一定可推得当 n=k+1 时,该命题也成立,现已知 n=5 时,该命题不成立, 则(C) A.n=4 时该命题成立 B.n=6 时该命题成立 C.n=4 时该命题不成立 D.n=6 时该命题不成立 * 解析:因为“当 n=k(k∈N ,k≥1)时,该命题成立,则一定能推出当 n=k+1 时,该 命题也成立”,故可得 n=5 时该命题不成立,则一定有 n=4 时,该命题也不成立.故选 C. 1 1 1 1 * 2.若 f(n)=1+ + + +?+ (n∈N ),则 f(1)为(C) 2 3 4 6n-1 A.1 B.15 D.非以上答案 1 1 1 1 C.1+ + + + 2 3 4 5
*

解析:注意 f(n)的项的构成规律,各项分子都是 1,分母是从 1 到 6n-1 的自然数,故 1 1 1 1 f(1)=1+ + + + .故选 C. 2 3 4 5 3.(2013·杭州质检)用数学归纳法证明不等式 1 1 1 13 * + +?+ < (n≥2,n∈N ) n+1 n+2 2n 14

的过程中,由 n=k 递推到 n=k+1 时不等式左边(C) 1 A.增加了一项 2(k+1) 1 1 B.增加了两项 、 2k+1 2k+2

5

1 C.增加了 B 中两项但减少了一项 k+1 D.以上各种情况均不对 1 1 1 解析:当 n=k 时,左边= + +?+ , k+1 k+2 2k 1 1 1 1 1 1 1 当 n=k+1 时,左边= + +?+ + + ,∴增加了 + , k+2 k+3 2k 2k+1 2k+2 2k+1 2k+2 1 减少了 , k+1 故选 C. n 4.已知 f(n)=(2n+7)·3 +9,存在自然数 m,使得对任意 n∈N,都能使 m 整除 f(n), 则最大的 m 的值为(C) A.30 B.26 C.36 D.6 解析:∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36, ∴f(1),f(2),f(3)能被 36 整除,猜想 f(n)能被 36 整除. k 证明:n=1,2 时,由上得证,设 n=k(k≥2)时,f(k)=(2k+7)·3 +9 能被 36 整除, k+1 k k k 则 n=k+1 时,f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3 -(2k+7)·3 =(6k+27)·3 -(2k+7)·3 k k-2 =(4k+20)·3 =36( k+5)·3 (k≥2). ∴f(k+1)能被 36 整除. ∵f(1)不能被大于 36 的数整除, ∴所求最大的 m 值等于 36.故选 C. n +n 2 * 5. 用数学归 纳法证明等式: 1+2+3+?+n = (n∈N ), 则从 n=k 到 n=k+1 时, 2 左边应添加的关于 k 的表达式为(k +1)+(k +2)+?+(k+1) . 2 解析:n=k 时,等式左边=1+2+3+?+k ,n=k+1 时,等式左边=1+2+3+?+ 2 2 2 2 k +(k +1)+(k +2)+?+(k+1) .比较上述两个式子,n=k+1 时, 等式的左边是在假设 n=k 时等式成立的基础上, 2 2 2 等式的左边加上了(k +1)+(k +2)+?+(k+1) . 2 6.设数 列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意的自然数 n 都有:(Sn-1) =anSn,通过计算 S1,S2,S3,猜想 Sn= n . n+1
2 2 2 4 2

1 2 2 解析:由(S1-1) =S1,得:S1= ; 2 2 2 由(S2-1) =(S2-S1)S2,得:S2= ; 3 3 2 由(S3-1) =(S3-S2)S3,得:S3= . 4 猜想:Sn= n . n+1

7.平面内有 n(n≥2)条直线,任何两条都不平行,任何三条不过同一点,利用数学归纳 法证明线段的条数为 f(n),则由 n=k 到 n=k+1 增加的线段数是 2k-1. 解析:增加一条直线,该直线被原来的 k 条直线分出 k-1 段线段,而原来的 k 条线段中 的每一条,都多出 1 条线段,因此 增加了 k-1+k=2k-1 条.

6

3an * 8.数列{an}中,an>0,an≠1,且 an+1= (n∈N ). 2an+1 (1)证明:an≠an+1; 3 (2)若 a1= ,计算 a2,a3,a4 的值,并求出数列的通项公式. 4 3an (1)证明:若 an=an+1,即 =an, 2an+1 得 an=0 或 an=1 与题设矛盾, ∴an≠an+1. 9 27 81 3 * (2)解析:a2= ,a3= ,a4= ,猜想 an= n (n∈N ), 10 28 82 3 +1 用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,由上可得结论成立. ②假设当 n=k 时,结论成立,即 ak= 那么当 n=k+1 时, 3 3· k k+1 k+1 3 +1 3ak 3 3 ak+1= = = = k+1 , k k k 2ak+1 3 2·3 +3 +1 3 +1 2· k +1 3 +1 ∴当 n=k+1 时,结论也成立. 3 由①②,可知 an= n 对一切正整数都成立. 3 +1 ax 1 2 9.设曲线 y= + bx +cx 在点 A(x,y)处的切线斜率为 k(x),且 k(-1)=0.对一切 3 2 1 2 实数 x,不等式 x≤k(x)≤ (x +1)恒成立(a≠0). 2 (1)求 k(1)的值; (2)求函数 k(x)的表达式; 1 1 1 2n (3)求证: + +?+ > . k(1) k(2) k(n) n+2 1 2 (1)解析:由 x≤k(x)≤ (x +1)得 1≤k(1)≤1,所以 k(1)=1. 2 (2)解析:k(x)=y′=ax +bx+c(a≠0), 由 k(1)=1,k(-1)=0 得
? ?a+b+c=1, 1 1 ? ? a+c= ,b= . 2 2 ?a-b+c=0 ?
2 3 n k n

3 , 3 +1
k

k

1 2 1 2 又 x≤k(x)≤ (x +1)对 x∈R 恒成立,则由 x≤k(x)恒成立,得 ax - x+c≥0(a≠0) 2 2 恒成立,得

7

? 1 ?Δ =4 -4ac≤0, 1 ? a = c = . ? 1 4 ? ?a+c=2
a>0, 1 2 1 ?1 ? 2 1 1 同理,由 k(x)≤ (x +1)恒成立,得? -a?x - x+ -c≥0 恒成立,也可得 a=c= . 2 2 2 2 4 ? ? 1 1 综上所述,a=c= ,b= , 4 2 1 2 1 1 所以 k(x)= x + x+ . 4 2 4 n +2n+1 (n+1) 1 4 (3)证明:证法一 k(n)= = ? = 2,要证原不等式成 4 4 k(n) (n+1) 1 1 1 n 立,即证 2+ 2+?+ , 2> 2 3 (n+1) 2n+4 1 1 1 1 因为 = - , 2> (n+1) (n+1)(n+2) n+1 n+2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 所以 2+ 2+?+ - = - = , 2> - + - +?+ 2 3 (n+1) 2 3 3 4 n+1 n+2 2 n+2 2n+4 1 1 1 2n 所以 + +?+ > . k(1) k(2) k(n) n+2 n +2n+1 (n+1) 1 4 证法二 由 k(n)= = ? = 2, 4 4 k(n) (n+1) 2 ①当 n=1 时,左边=1,右边= ,左边>右边,所以 n=1 时,不等式成立; 3 1 1 1 2m ②假设当 n=m 时,不等式成立,即 + +?+ > . k(1) k(2) k(m) m+2 1 1 1 1 2m 4 当 n=m+1 时,左边= + +?+ + > + 2= k(1) k(2) k(m) k(m+1) m+2 (m+2) 2m +4m+4 2 , (m+2) 2m +4m+4 2(m+1) 4 由于 = >0, 2 - 2 (m+2) m+3 (m+2) (m+3) 1 1 1 1 2(m+1) 所以 + +?+ + > , k(1) k(2) k(m) k(m+1) (m+1)+2 即当 n=m+1 时,不等式也成立. 综合①②可知, 1 1 1 2n + +?+ > . k(1) k(2) k(n) n+2
2 2 2 2 2 2

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