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广东省佛山市第一中学2015届高三10月段考数学(文)试题


佛山一中 2015 届 10 月考(文科)数学试题
命题人:张斌 2014-10-12

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.设集合 A={x|y= 3x-x2},B={y|y=2x,x>1},则 A∩B 为( A.[0,3] B.(2,3] C.[3,+∞) D.[1,3] )

1 ?

ln ? x x>0 2.已知 f(x)=? 1 ? ?x x<0 A.(-∞,-1)∪(0,e) C.(-1,0)∪(e,+∞)

,则 f(x)>-1 的解集为(

)

B.(-∞,-1)∪(e,+∞) D.(-1,0)∪(0,e) )

3.已知 x ? R ,则“ | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 4 ”是“ x ? ?2 ”的( A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ?1? 4.设 a=?2?0.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则 a、b、c 的大小关系是( ? ? A.a>b>c B.a<b<c C.b<a<c D.a<c<b

)

5. 已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2

(a<b), 并且 α、 β 是方程 f(x)=0 的两个根(α<β),

则实数 a、b、α、β 的大小关系可能是( ) A.α<a<b<β B.a<α<β<b C.a<α<b<β D.α<a<β<b

6.在 ?ABC 中, 已知向量 AB ? (cos180 , cos720 ) , AC ? (2 cos630 ,2 cos270 ) , 则 cos ?BAC 的值为 A. 0 B.
1 2

C.

2 2

D.

3 2
)

7.若 f(x)=x3-6ax 的单调递减区间是(-2,2),则 a 的取值范围是( A.(-∞,0] B.[-2,2] C.{2} D.[2,+∞)

3 8.函数 y=f(x)在定义域(-2,3)内的图象如图所示,记 y=f(x) 的导函数为 y=f ′(x),则不等式 f ′(x)≤0 的解集为( 1 4 8 A.[-1,2]∪[3,3] 1 B.(-3,1]∪[2,3) )

3 1 C.(-2,2]∪[1,2)

3 1 1 4 4 D.(-2,-3]∪[2,3)∪[3,3)

9 (

. )
y





y ? x ? cos x













y

y

y

? 2

x

? 2

x

? 2

x

? 2

x

O

O

O

O

A. B. C. D. 10.已知命题“ ?x ? R , x ? a ? x ? 1 ? 2 ”是假命题,则实数 a 的取值范围是 A. (?3,1) B. [?3,1] C. (??,?3) ? (1,??) D. (??,?3] ? [1,??)

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11-13 题) ?a-2?x,x≥2 ? ? 11.若函数 f(x)=??1?x 是 R 上的单调减函数,则实数 a 的取值范围 ?2? -1,x<2 ? ?? ? 是 12 . 已 知 函 数 f ( x ? 2) 是 定 义 在 ( ? ?, ? ? ) 上 的 奇 函 数 . 当 x ? ( ? ?, 2 ) 时 ,
f ( x) ? x ? x 4 ,则

当 x ? (2, ? ? ) 时, f ( x) ?

13. 设函数 y ? f ( x) 是定义域为 R 的奇函数, 且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) 对一切 x∈R 恒成立, 当-1≤x≤1 时, f ( x) ? x3 .则下列四个命题: ① f ( x) 是以 4 为周期的周期函数; ② f ( x) 在 [1 , 3] 上的解析式为

f ( x) ? (2 ? x)3 ;
3 3 ③ f ( x) 在 ( , f ( )) 处的切线方程为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 ; ④ f ( x) 的图像的对称轴中有 2 2

x =±1.

其中正确的命题是 (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题)

? x ? 1? t 14.(坐标系与参数方程选做题) [ 来已知直线 l : ? ( t 为参数且 t ? R ) ? y ? 3 ? 2t ? x ? cos ? 与曲线 C : ? ( ? 是参数且 ? ? ?0,2? ? ), 则直线 l 与曲线 C 的交点坐 ? y ? 2 ? cos 2?
标为 . 15.(几何证明选讲选做)如图(4),AB 是半圆的直径, C 是 AB 延长线上一点,CD 切半圆于点 D,CD=2, DE⊥AB,垂足为 E,且 E 是 OB 的中点,则 BC 的长为 .

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤. 16 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 y ? 2 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? ) 的 2 3 5 - 图象的一部分如下图所示.
1 O 1 x

(1)求函数 f ( x) 的解析式;

2 (2)当 x ? [?6,? ] 时,求函数 y ? f ( x) ? f ( x ? 2) 的最大值与最小值及相应的 x 3 的值.

- 2

17. (本小题满分 12 分)近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大 气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心 肺疾病是否与性别有关,在某医院随机的对入院 50 人进行了问卷调查得到了如 下的列联表: 患心肺疾病 男 女 合计 10 50 不患心肺疾病 5 合计

3 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人,抽到患心肺疾病的人的概率为 . 5

(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整; (Ⅱ)是否有 99.5% 的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由; (Ⅲ)已知在不患心肺疾病的 5 位男性中,有 3 位又患胃病.现在从不患心 肺疾病的 5 位男性中,任意选出 3 位进行其他方面的排查,求恰好有 一位患胃病的概率. 下面的临界值表供参考:
P( K ? k )
2

0.15 2.07 2

0.10 2.70 6

0.05 3.84 1

k

0.02 5 5.02 4

0.01 0 6.63 5

0.00 5 7.87 9

0.001 10.82 8

(参考公式 K 2 ?

n(ad ? bc)2 其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

18. (本小题满分 14 分)如图, AA 1的 1 、 BB 1 为圆柱 OO

母线, BC 是底面圆 O 的直径, D 、 E 分别是 AA 1 、 CB1 的中点. (I)证明: DE //平面 ABC ; (II)若 BB1 ? BC ? 2 ,求三棱锥 A ? A1 BC 的体积的最大值。 19. (本小题满分 14 分)已知函致 f (x)=x3 十 bx2+cx+d. (1)当 b=0 时,求证:曲线 y=f(x)与其在点(0, f(0))处的切线只有一个公共点; (2)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为 12x+y-13=0, 且它们只有一个公共点,求函数 y=f(x)的所有极值之和.

20. (本小题满分 14 分)如图所示,在平面四边形 ABCD 中,

AD=1,CD=2,AC= 7. (1)求 cos∠CAD 的值; 7 21 (2)若 cos∠BAD=- 14 ,sin∠CBA= 6 ,求 BC 的长.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? b( x ? 1) ln x ? x ? 1,斜率为 1 的直线与 f ( x) 相切于 (1, 0) 点. (Ⅰ)求 h( x) ? f ( x) ? x ln x 的单调区间;
1 (Ⅱ)当实数 0 ? a ? 1 时,讨论 g ( x) ? f ( x) ? (a ? x) ln x ? ax 2 的极值点。 2

佛山一中 2015 届 10 月考(文科)数学试题 参考答案及其评分标准 一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 C 5 A 6 C 7 C

2014-10-15

8 B

9 B

10 C

二、填空题 11.

13? ? ? ? ?, ? 8? ?

12.

y ? ( x ? 4) 4 ? (4 ? x) ;

13.

3④ ①②○

14.把直线 l 的参数方程化为普通方程得 2 x ? y ? 5 ,把曲线 C 的参数方程化为普

? y ? 1 ? 2 x 2 (?1 ? x ? 1) 通方程得 y ? 1 ? 2x2 (?1 ? x ? 1) ,由方程组 ? 解得交点坐标为 ?2 x ? y ? 5
(1,3) 15.? DE 为 OB 的中垂线且 OD=OB,? ?OBD 为等边三角形, ?COD ? 600 ,
OD ? 2 3 4 3 2 3 2 3 , BC ? OC ? OB ? ? ? . 3 3 3 3

三、 16. 解:(1)由图像知 A=2, x+? ).---3 分 由对应点得当 x=1 时, 2? T =4 ? T=8= ? 2 ,∴? =

?
4

,得 f(x)=2sin(

?
4

?
4

×1+? =

?
2

? ? =

?
4

.∴f(x)=2sin(

?
4

x+

?
4

);---5 分

(2)y=2 sin(

?
4

x+

?
4

)+2 sin[

?
4

(x+2)+

?
4

]=2 sin(

?
4

x+

?
4

)+2cos(

?
4

x+

?
4

)

=2 2 sin(

?
4

x+

?
2

)=2 2 cos

?
4

x, -----8 分

2 3? ? ? ∵x ? [-6,- ],∴ x ? [- ,- ] ,------10 分 3 4 2 6

∴当

?
4

x= -

?

2 ,即 x=- 时,y 的最大值为 6 ;----11 分 6 3



?
4

x=-?,即 x=-4 时,y 的最小值-2 2 .----12 分

17. (Ⅰ)解:列联表补充如下------3 分 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 20 5 25 男 10 15 25 女 30 20 50 合计 n(ad-bc) 2 (Ⅱ)解:因为 K 2 = (a + b)(c + d)(a + c)(b + d) ,所以 K 2≈8.333 ----6 分

又 P(k 2≥7.789) = 0.005 = 0.5%. 那么,我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的.

----8 分

(Ⅲ)解:

记所选 5 人中没有患胃病的 2 人为 A1,A2, 患胃病的 3 人为 B1,B2, B3,

则所有基本事件为: (A1,A2,B1), (A1,A2,B2), (A1,A2,B3), (A1,B1,B2), (A1, B1,B3), (A1,B2,B3), (A2,B1,B2), (A2, B1,B3), (A2,B2,B3),(B1,B2,B3),共有 10 种. -----10 分 设从所选 5 人任意选出 3 位进行其他方面的排查,其中恰好有一位患胃病的的 事件为 M, 则事件 M 所包含的的基本事件有 3 个: (A1,A2,B1), (A1,A2,B2), (A1,A2,B3) ----11 分 根据古典概型概率计算公式,得 P( M ) ?
3 10 -------12 分

18.. (I)证明:连结 EO,OA.∵ E, O 分别为 B1C, BC 的中点,∴EO//BB1. 1 又 DA//BB1,且 DA=EO= BB1.∴四边形 AOED 是平行四边形, 2 即 DE//OA, DE ? 平面 ABC. ∴DE // 平面 ABC..

----6 分

(II)解:设 AB ? x, AC ? y ,则三棱锥 A ? A1 BC 的体积
V ? V A1 ? ABC ? 1 1 1 ? 2 ? AB ? AC ? xy .----10 分 3 2 3

又由题, x 2 ? y 2 ? 4 ? 2xy ,得 xy ? 2 ,且等号当 x ? y ? 2 时成立; 所以三棱锥 A ? A1 BC 的体积的最大值为
2 。----14 分 3

3 2 19.【答案】 (1)当 b=0 时,f (x)=x +cx+d,f ?(x)=3x +c.

f (0)=d,f ?(0)=c.----2 分 曲线 y=f (x)与其在点(0,f (0))处的切线为 y=cx+d.
?y=x +cx+d, 3 由? 消去 y,得 x =0,x=0.----4 分 ?y=cx+d,
3

所以曲线 y=f (x)与其在点(0,f (0))处的切线只有一个公共点即切点.-----5 分 (2)由已知,切点为(1,1). 又 f ?(x)=3x +2bx+c,于是
2

?1+b+c+d=1, ? f (1) ? 1 即? 得 c=-2b-15,d=b+15.------8 分 ? ' ?3+2b+c=-12, f ( 1 ) ? ? 12 ?

从而 f (x)=x +bx -(2b+15)x+b+15.
?y=x +bx -(2b+15)x+b+15, 3 2 由? 消去 y,得 x +bx -(2b+3)x+b+2=0.----10 分 ?12x+y-13=0,
3 2

3

2

因直线 12x+y-13=0 与曲线 y=f (x)只有一个公共点(1,1), 则方程 x +bx -(2b+3)x+b+2=(x-1)[x +(b+1)x-b-2] =(x-1) (x-1) (x+b+2) 故 b=-3.------12 分 于是 f (x)=x -3x -9x+12,f ?(x)=3x -6x-9=3(x+1)(x-3).
3 2 2 3 2 2

当 x 变化时,f ?(x),f (x)的变化如下:

由此知,函数 y=f (x)的所有极值之和为 2.----14 分

20. 解:(1)在△ADC 中,由余弦定理,得
AC2+AD2-CD2 cos∠CAD= , 2AC·AD 7+1-4 2 7 故由题设知,cos∠CAD= = 7 .------------6 分 2 7 (2)设∠BAC=α,则 α=∠BAD-∠CAD. 2 7 7 因为 cos∠CAD= 7 ,cos∠BAD=- 14 ,-------8 分 所以 sin∠CAD= 1-cos2∠CAD= 1-? 21 ?2 7?2 = 7 ,----------9 分 ? ? 7 ? 1-?- 7?2 3 21 ? ? = 14 .----10 分 ? 14 ?

sin∠BAD= 1-cos2∠BAD=

于是 sin α =sin (∠BAD-∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD 3 21 2 7 ? 21 7? = 14 × 7 -?- ?× 7 14 ? ? 3 = 2 .----------------12 分 BC AC 在△ABC 中,由正弦定理,得 = . sin α sin∠CBA 3 7× 2 AC·sin α 故 BC= = =3.-------------14 分 sin∠CBA 21 6

21[ 14 分] 分

.解: (Ⅰ) f ?( x) ? b(ln x ?

x ?1 ) ? 1 ?2 分 f ?(1) ? 2b ? 1 ? 1, b ? 1 ?3 x

1 ? 1 ????4 分 x 1 1 h?( x) ? ? 1 ? 0 解得: 0 ? x ? 1 ; h?( x) ? ? 1 ? 0 解得: x ? 1 x x 所以 h( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减??????5 分 1 1 g ( x) ? f ( x) ? (a ? x) ln x ? ax 2 = (1 ? a) ln x ? ax 2 ? x ? 1 2 2 2 1? a ax ? x ? 1 ? a ? g / ( x) ? ? ax ? 1 ? ??6 分 x x 1 ? ? a ? x ? ( ? 1) ? ( x ? 1) ax ? (1 ? a ) ( x ? 1) ? ? 1 a ? ? ? ? ?7 分 g ?( x) ? 0 得:x1 ? ? 1, x 2 ? 1 8 x x a 1 1 1 0 若 0 ? ? 1 ? 1, a ? 0 即 ? a ? 1 , 0 ? x1 ? x2 a 2 x (0, x1 ) x1 ( x1 , x2 ) ( x2 ,??) x2 0 0 + + f / ( x) f ( x) 极大值 极小值 ? ? ? 1 此时 g ( x) 的极小值点为 x ? 1 ,极大值点 x ? ? 1 ????????????10 a 分 1 1 2 0 若 ? 1 ? 1, a ? 0 即 a ? , x1 ? x2 ? 1 ,则 g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0,??) 上单调 a 2 递增,无极值点??11 分 1 1 30 若 ? 1 ? 1, a ? 0 即 0 ? a ? , x1 ? x2 ? 1 , a 2 x (0, x2 ) ( x2 , x1 ) x1 ( x1 ,??) x2 0 0 + + f / ( x) f ( x) 极大值 极小值 ? ? ? 1 此时 g ( x) 的极大值点为 x ? 1 ,极小值点 x ? ? 1 ????????????13 a 分 1 1 综上述:当 ? a ? 1 时, g ( x) 的极小值点为 x ? 1 ,极大值点 x ? ? 1 ; 2 a 1 当 a ? 时, g ( x) 无极值点; 2 1 1 当 0 ? a ? 时, g ( x) 的极大值点为 x ? 1 ,极小值点 x ? ? 1 ??????14 分 2 a
h( x) ? f ( x) ? x ln x ? ln x ? x ? 1

h?( x ) ?


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