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数学百大经典例题——离散型随机变量分布列(新课标)


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耗用子弹数的分布列
例 某射手有 5 发子弹,射击一次命中概率为 0.9,如果命中就停止射击,否则一直到子 弹用尽,求耗用子弹数 ξ 的分布列. 分析: 分析:确定 ξ 取哪些值以及各值所代表的随机事件概率,分布列即获得. 解:本题要求我们给出耗用子弹数 ξ 的概率分布列.我们

知道只有 5 发子弹,所以 ξ 的取 值只有 1,2,3,4,5.当 ξ = 1 时,即 P (ξ = 1) = 0.9 ;当 ξ = 2 时,要求第一次没射中,第 二次射中,故 P (ξ = 2) = 0.1× 0.9 = 0.09 ;同理,ξ = 3 时,要求前两次没有射中,第三次射 中, P (ξ = 3) = 0.12 × 0.9 = 0.009 ;类似地, P (ξ = 4) = 0.13 × 0.9 = 0.0009 ;第 5 次射击不
4 同,只要前四次射不中,都要射第 5 发子弹,也不考虑是否射中,所以 P (ξ = 5) = 0.1 ,所

以耗用子弹数 ξ 的分布列为:

ξ
P

0 0.9

1 0.09

2 0.009

3 0.0001

说明: 说明:搞清 ξ = 5 的含义,防止这步出错. ξ = 5 时,可分两种情况:一是前 4 发都没射 中,恰第 5 发射中,概率为 0.14 ×0.9;二是这 5 发都没射中,概率为 0.15 ,所以,

P (ξ = 5) = 0.14 × 0.9 + 0.15









ξ =5

















P (ξ = 5) = 1 (0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009) = 0.0001 .

独立重复试验某事件发生偶数次的概率
例 如果在一次试验中,某事件 A 发生的概率为 p,那么在 n 次独立重复试验中,这件事 A 发生偶数次的概率为________. 分 析 : 发 生 事 件 A 的 次 数

ξ ~ B(n, p )









k p (ξ = k ) = Cn p k q n k , (q = 1 p, k = 0,1,2, L , n) 其中的 k 取偶数 0,2,4,…时,为二项式

( p + q ) n 展开式的奇数项的和,由此入手,可获结论.
解 : 由 题 , 因 为

ξ ~ B(n, p ) 且 ξ 取 不 同 值 时 事 件 互 斥 , 所 以 ,
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0 2 P = P(ξ = 0) + P(ξ = 2) + P (ξ = 4) + L = C n p 0 q n + Cn p 2 q n 2 + Cn4 p 4 q n 4 + L =

1 1 (q + p ) n + ( q p ) n = 1 + (1 2 p ) n 2 2

[

] [

]



(因为 p + q = 1 ,所以 q p = 1 2 p ) 说明: 如何获得二项展开式中的偶数次的和?这需要抓住 ( q + p ) 与 ( q p ) 展开式的特 说明:
n n

点:联系与区分,从而达到去除 p 奇次,留下 p 偶次的目的.

根据分布列求随机变量组合的分布列
例 已知随机变量 ξ 的分布列为

ξ
P 分别求出随机变量 η1 =

-2

-1

0

1

2

3

1 12

3 12

4 12

1 12

2 12

1 12

1 ξ ,η 2 = ξ 2 的分布列. 2 1 1 由 于 η1 = ξ 对 于 不 同 的 ξ 有 不 同 的 取 值 y = x , 即 解 : 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 y1 = x1 = 1, y2 = x2 = , y3 = x3 = 0, y4 = x4 = , y5 = x5 = 1, y6 = x6 = , 2 2 2 2 2 2 2 2 2

所以 η1 的分布列为

η1
P

-1



1 12

1 2 3 12

0

4 12

1 2 1 12

1

2 12

2 3 1 12

η 2 = ξ 2 对于 ξ 的不同取值-2,2 及-1,1,η2 分别取相同的值 4 与 1,即η2 取 4 这个
值的概率应是 ξ 取-2 与 2 值的概率 与 1 值的概率

1 2 与 合并的结果,η2 取 1 这个值的概率就是 ξ 取-1 12 12

3 1 与 合并的结果,故 η2 的分布列为 12 12

η2
P

0

1

4

9

4 12

4 12

3 12

1 12

说明: 说明:在得到的 η1 或 η2 的分布列中,η1 或 η2 的取值行中无重复数,概率得中各项必须非 负,且各项之和一定等于 1.

成功咨询人数的分布列

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例 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为

3 ,某班 3 名同学商定明天分别就同一 4

问题询问该服务中心.且每人只拨打一次,求他们中成功咨询的人数 ξ 的分布列. 分析: 分析:3 个人各做一次试验,看成三次独立重复试验,拨通这一电话的人数即为事件的发 生次数 ξ ,故符合二项分布.

3 k 3 1 解:由题: ξ ~ B 3, ,所以 P (ξ = k ) = C3 4 4 4

k

3 k

, k = 0,1,2,3 ,分布列为

ξ
P

0

1

2

3

1 64

9 64

27 64

27 64

说明: 说明:关键是理解二项分布的特点:即某同一事件,在 n 次独立重复实验中,以事件发 生的次数 ξ 为随机变量.

盒中球上标数于 5 关系的概率分布列
例 盒中装有大小相等的球 10 个,编号分别为 0,1,2,…,9,从中任取 1 个,观察号 码是“小于 5” “等于 5” “大于 5”三类情况之一.规定一个随机变量,并求其概率分布列. 分析: 分析:要求其概率的分布列可以先求个小球所对应的概率. 解:分别用 x1 , x2 , x3 表示题设中的三类情况的结果: x1 表示“小于 5”的情况, x2 表示 “等于 5”的情况, x3 表示“大于 5”的情况. 设随机变量为 ξ ,它可能取的值为 x1 , x2 , x3 , ξ 取每个值的概率为

5 , 10 1 P(ξ = x2 ) = P (取出的球号码等于 5)= , 10 4 P(ξ = x3 ) = P (取出的球号码大于 5)= . 10

P(ξ = x1 ) = P (取出的球号码小于 5)=

故 ξ 的分布列为

ξ
P

x1
1 2

x2
1 10

x3 2 5

小结: 小结:分布列是我们进一步解决随机变量有关问题的基础,因此准确写出随机变量的分 布列是很重要的,但是我们不能保证它的准确性,这时我们要注意运算的准确性外,还可以

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利用

∑p
i =1

n

i

= 1 进行检验.

求随机变量的分布列
例 一袋中装有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5,在袋中同时取 3 只,以 ξ 表示取出的

3 只球中的最大号码,写出随机变量 ξ 的分布列. 分析: 分析:由于任取三个球,就不是任意排列,而要有固定的顺序,其中球上的最大号码只 有可能是 3,4,5,可以利用组合的方法计算其概率. 解:随机变量 ξ 的取值为 3,4,5. 当 ξ =3 时,即取出的三只球中最大号码为 3,则其他二球的编号只能是 1,2,故有
2 C3 1 P(ξ = 3) = 3 = ; C 5 10

当 ξ =4 时,即取出的三只球中最大号码为 4,则其他二球只能在编号为 1,2,3 的 3 球 中取 2 个,故有

P(ξ = 4) =

2 C3 3 = ; C 3 10 5

当 ξ =5 时,即取出的三只球中最大号码为 5,则其他二球只能在编号为 1,2,3,4 的 4 球中取 2 个,故有

P(ξ = 5) =
因此, ξ 的分布列为

2 C3 6 3 = = . C 3 10 5 5

ξ
P

3

4

5

1 10

3 10

6 10

说明: 说明:对于随机变量 ξ 取值较多或无穷多时,应由简单情况先导出一般的通式,从而简化 过程.

取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列

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例 一批零件中有 9 个合格品与 3 个不合格品.安装机器时,从这批零件中任取一个.如 果每次取出的不合格品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列. 分析:取出不合格品数的可能值是 0,1,2,3,从而确定确定随机变量的可能值. 分析 解:以 ξ 表示在取得合格品以前取出的不合格品数,则 ξ 是一个随机变量,由题设 ξ 可能 取的数值是 0,1,2,3. 当 ξ =0 时,即第一次就取到合格品,其概率为

P (ξ = 0) =

3 = 0.750; 12

当 ξ =1 时,即第一次取得不合格品,不放回,而第二次就取得合格品,其概率为

P (ξ = 1) =

3 9 ≈ 0.204; 12 11

当 ξ =2 时,即第一、二次取得不合格品,不放回,第三次取得合格品,其概率为

P (ξ = 2) =

3 2 9 ≈ 0.041; 12 11 11

当 ξ =3 时,即第一、二、三次均取得不合格品,而第四次取得合格品,其概率为

P (ξ = 3) =
所以 ξ 的分布列为

3 2 1 9 ≈ 0.005. 12 11 10 9

ξ
P

0 0.750

1 0.204

2 0.041

3 0.005

说明: (1)首先确定随机变量 ξ 的取值哟哪些; (2)求出每种 说明:一般分布列的求法分三步: 取值下的随机事件的概率; (3)列表对应,即为分布列.

关于取球的随机变量的值和概率
例 袋中有 1 个红球,2 个白球,3 个黑球,现从中任取一球观察其颜色.确定这个随机 试验中的随机变量,并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率. 分析: 分析:随机变量变量是表示随机试验结果的变量,随机变量的可能取值是随机试验的所 有可能的结果组成. , 解: 设集合 M = {x1 , x2 , x3 } ,其中 x1 为“取到的球为红色的球” x2 为“取到的球为白 色的球” x3 为“取到的球为黑色的球” , . 我们规定: ξ = ξ ( xi ) = i (i = 1,2,3) ,即当 x = xi 时, ξ ( x ) = i ,这样,我们确定 ξ (x ) 就 而是集合 M 中的一个元素, x ∈ M , 即 是一个随机变量, 它的自变是量 x 取值不是一个实数,
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而随机变量 ξ 本身的取值则为 1,2,3 三个实数,并且我们很容易求得 ξ 分别取 1,2,3 三个 值的概率,即

1 2 1 3 1 P (ξ = 1) = , P (ξ = 2) = = , P (ξ = 3) = = . 6 6 3 6 2
说明: 说明:确定随机变量的取值是根据随机试验的所有可能的结果.

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