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曲线的参数方程


在过去的学习中我们已经掌握了 一些求曲线方程的方法,在求某些曲 线方程时,直接确定曲线上的点的坐 标x,y的关系并不容易,但如果利用某 个参数作为联系它们的桥梁,那么就 可以方便地得出坐标x,y所要适合的条 件,即参数可以帮助我们得出曲线的 方程f(x,y)=0。

一、曲线的参数方程 1、参数方程的概念
探究:

如图,一架

救援飞机在离灾区地面500m 的高处以100m/s的速度作水平直线飞行, 为使投放的救援物资准确落于灾区指定 的地面(不计空气阻力),飞行员应如 何确定投放时机呢?

y A
M(x,y)

o

x

一、方程组有3个变量,其中的x,y表示点的 坐标,变量t叫做参变量,而且x,y分别是t的 函数。 二、由物理知识可知,物体的位置由时间t唯 一决定,从数学角度看,这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定,这样当t在允许值范围内连 续变化时,x,y的值也随之连续地变化,于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。 三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组 的有序实数对(x,y)之间有一一对应关系。

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上 任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数

? x ? f (t ) .......... .......... .....(2) ? ? y ? g (t )
并且对于t的每一个允许值,由方程组(2) 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方 程(2)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x,y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于 参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的 方程叫做普通方程。

练习 1: 以初速度v0发射炮弹,炮弹的发射 角为?,不 计空气阻力,试写出炮 弹曲线的参数方程。

y

v0
?

o

x

弹道曲线的参数方程为 ? x ? v0 cos? ? t ? ? 1 2 (t为参数) y ? v0 sin ? ? t ? gt ? 2 ? 2 其中g是重力加速度 (取g ? 9.8米 / 秒 )

? x ? 3t , 例1、已知曲线C的参数方程? (t为参数) 2 ? y ? 2t ? 1. (1)、判断点M 1 (0,1), M 2 (5,4)与曲线C的位置关系 (2)、已知点M 3 (6, a)在曲线C上,求a的值。

解: (1)把点M 1的坐标(0,1)代入方程组,解得 t ?0 所以M 1在曲线C上。 ?5 ? 3t 把点M 2 (5,4)代入方程组,得到 ? 2 4 ? 2 t ?1 ? 这个方程组无解,所以 点M 2不在曲线C上。

(2)、因为点M 3 (6, a )在曲线C上,所以 ?6 ? 3t 解得 t ? 2 , a ? 9 ? 2 ?a ? 2t ? 1 所以,a ? 9

? x ? sin ? 2、方程? (?为参数)表示的曲线上 ? y ? cos 2? 的一个点的坐标是 ( C ) 1 1 1 1 A、 (2,7),B、 ( , ),C、 ( , ),D(1,0) 3 2 2 2

3、由方程x 2 ? y 2 ? 4tx ? 2ty ? 5t 2 ? 4 ? 0(t为 参数)所表示的一族圆的圆心 轨迹是
(

D

)

A、一个定点 C、一条抛物线

B、一个椭圆 D、一条直线

请用自己的语言来比较一下参数方 程与普通方程的异同点

2、圆的参数方程
y

M(x,y)
r

?
o
M0 x

如果在时刻t,点M转过的角度是 ?,坐标是 M ( x, y ),那么?=?t,设 OM =r,那么由三 角函数的定义有: x y ? x ? r cos?t cos?t ? , sin ?t ? 即? (t为参数) r r ? y ? r sin ?t 这就是圆心在原点 O,半径为r的圆的参数方 程。其中参数 t有明确的物理意义 (质点作匀 速圆周运动的时刻 )

考虑到?=?t,也可以取?为参数,于是有 ? x ? r cos? (?为参数) ? ? y ? r sin ? 这也是圆心在原点 O,半径为r的圆的参数方程 其中参数?的几何意义是 OM 0绕点O逆时针旋转 到OM的位置时,OM 0转过的角度。

圆的参数方程的一般形式

以上是圆心在原点的圆 的参数方程,它对应的 普通方程是x ? y ? r , 那么,圆心在点 o?( x0 , y0 )
2 2 2

半径为r的圆的参数方程又是怎 么样的呢?

? x ? x0 ? r cos? (?为参数) ? ? y ? y0 ? r sin ? 2 2 2 对应的普通方程为 ( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? r

由于选取的参数不同,圆有不同的参 数方程,一般地,同一条曲线,可以 选取不同的变数为参数,因此得到的 参数方程也可以有不同的形式,形式 不同的参数方程,它们表示 的曲线可 以是相同的,另外,在建立曲线的参 数参数时,要注明参数及参数的取值 范围。

例2 如图,圆O的半径为2,P是圆上的动点, Q(6,0)是x轴上的定点,M是PQ的中点,当点P绕O 作匀速圆周运动时,求点M的轨迹的参数方程。

y P

M
Q

?
o
x

解:设点M的坐标是( x, y ),?xOP ? ? , 则点 P的坐标是(2 cos? ,2 sin ? ),由中点坐标公式得: 2 cos? ? 6 2 sin ? x? ? cos? ? 3, y ? ? sin ? 2 2 所以,点M的轨迹的参数方程是 ? x ? cos? ? 3 (?为参数) ? ? y ? sin ?

思考:

这里定点Q在圆O外,你能判断这个 轨迹表示什么曲线吗?如果定点Q在 圆O上,轨迹是什么?如果定点Q在 圆O内,轨迹是什么?

? x ? 2 cos? ? 5 2、指出参数方程 (?为参数)所 ? ? y ? 3 ? 2 sin ? 表示圆的圆心坐标、半 径,并化为普通方程。

( x ? 5) ? ( y ? 3) ? 4
2 2

? x ? r ? r cos? ? 3、圆? (?为参数,r ? 0)的直径 r y ? ? r sin ? ? 2 ? (2,1) 是4,则圆心坐标是__________ ___

? x ? 2 ? cos? 4、P ( x, y )是曲线? (?为参数)上任 ? y ? sin ? 2 2 意一点, 则( x ? 5) ? ( y ? 4) 的最大值为 ( A )

A、 36 C、 26

B、 6 D、 25

解:由参数方程可得 ( x ? 5) ? ( y ? 4) ? (cos? ? 3) ? (sin ? ? 4)
2 2 2 2

? ?6 cos? ? 8 sin ? ? 26 3 4 ? 10(? cos? ? sin ? ) ? 26 5 5 3 ? 10sin(? ? ? ) ? 26其中t an? ? 4 ? sin(? ? ? ) ? [?1,1] ? ( x ? 5) 2 ? ( y ? 4) 2的最大值为 36

?x ? 1 ? t 5、若已知直线的参数方 程为? (t为参数) ?y ? 1? t ? x ? 2 cos? 求它与曲线? (?为参数)的交点。 ? y ? 2 sin ?

?x ? 1 ? t 解:参数方程? (t为参数)的普通方程为 ?y ? 1? t x? y?2?0 ? x ? 2 cos? 曲线? (?为参数)的普通方程为x 2 ? y 2 ? 4 ? y ? 2 sin ? ?x ? y ? 2 ? 0 解方程组? 2 得焦点坐标为 (2,0)和(0,2) 2 ?x ? y ? 4

3、参数方程和普通方程的互化
在上例中,由点 M的轨迹的参数方程 ? x ? cos? ? 3 (?为参数) ? ? y ? sin ? 直接判断点M的轨迹的曲线类型并不 容易, 但是如果将参数方程转 化为我们熟悉的 普通方程就比较容易判 断了。

曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的 不同形式,一般地,可以通过消去参数而 从参数方程得到普通方程,如果知道变数x, y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),把它 代入普通方程,求出另一个变数与参数的 关系y=g(t),那么

? x ? f (t ) ? ? y ? g (t )
这就是曲线的参数方程。

注意:

在参数方程与普通方程的互化中,必须 使x,y的取值范围保持一致。

练习 1 下列参数方程与方程 y ? x表示同一曲线的是
2

?x ? t A? ( t 为参数 ) 2 y ? t ?

? x ? sin 2 t B? (t为参数) ? y ? sin t

? 1 ? cos 2t ?x ? t x ? ? C? (t为参数) D? 1 ? cos 2t (t为参数) ?y ? t ? ? y ? tant

参数方程化为普通方程的步骤

步骤: 1、消掉参数 2、写出定义域

例3、把下列参数方程化为 普通方程,并说明各 表示什么曲线? ? ?x ? t ? 1 ( 1 ) (t为参数) ? ? ?y ? 1? 2 t

? x ? sin ? ? cos? (2) ? ? y ? 1 ? sin 2?

解:( 1 )由x ? t ? 1 ? 1有 t ? x ? 1 代入y ? 1 ? 2 t , 得到y ? ?2 x ? 3 又x ? t ? 1 ? 1, 所以与参数方程等价的 普通方程是y ? ?2 x ? 3( x ? 1) 这是以(1,1)为端点的一条射线 (包括端点)

y

(1,-1)

o

x

(2)把x ? sin ? ? cos?平方后减去y ? 1 ? sin 2? 得到x ? y, 又x ? sin ? ? cos? ? 2 sin(? ? ), 4 所以x ? [? 2 , 2 ],
2

?

所以与参数方程等价的 普通方程为 x ? y, x ? [? 2 , 2 ].
2

这是抛物线的一部分。

y

? 2

o

2

x

x y 例4、求椭圆 ? ? 1的参数方程 9 4 ( 1 )设x ? 3 cos? , ?为参数。 (2)设y ? 2t , t为参数

2

2

解:( 1 )把x ? 3 cos?代入椭圆方程,得到 9 cos ? y ? ? 1, 9 4 所以y 2 ? 4(1 ? cos2 ? ) ? 4 sin 2 ?即y ? ?2 sin ?
2 2

由参数?的任意性,可取 y ? 2 sin ? , x y 所以椭圆 ? ? 1的参数方程是 9 4 ? x ? 3 cos? (?为参数) ? ? y ? 2 sin ?
2 2

x 4t (2)把y ? 2t代入椭圆方程,得 ? ?1 9 4 于是x ? 9(1 ? t ), x ? ?3 1 ? t
2 2 2 2 2

2

2

x y 所以,椭圆 ? ? 1的参数方程是 9 4 2 2 ? ? ?x ? 3 1 ? t ? x ? ?3 1 ? t (t为参数)和? ? ? ? ? y ? 2t ? y ? 2t

小节:
1、参数方程的概念 2、能够解决一些简单的参数方程 3、圆的参数方程的表达式 4、将参数方程化为普通方程的方法 5、将普通方程化为参数方程的方法 注意:在参数方程与普通方程的互化中,必须 使x,y的取值范围保持一致。

作业:26页1、2、4、5


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