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2015年秋北师大版数学必修二第一章立体几何初步第4节:空间图形基本关系的认识与空间的公理


§4空间图形的基本关系与公理 4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理(公理1、2、3) 1.空间中点、线、面的位置关系有哪些?该怎样 问题 引航 表示? 2.空间图形的公理1,公理2,公理3的内容是什 么?各有什么作用? 1.空间中点、线、面的位置关系 (1)点与直线的位置关系 A∈l ①点A在直线l上:____. B?l ②点B不在直线l上:___.

(2)点与平面的位置关系 A∈α ①点A在平面α 内:______. B?α ②点B不在平面α 内:_____. 2.空间图形的公理 (1)公理1 ①文字语言: 不在一条直线上 的三点. 条件:过_______________ 有且只有 一个平面(即可以确定一个平面). 结论:_________ 有且只有 一个平面α , ②符号语言:若A,B,C三点不共线,则_________ 使A∈α ,B∈α ,C∈α . ③推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平 面(图(1)). 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面(图(2)). 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面(图(3)). (2)公理2 ①文字语言: 两点 在一个平面内. 条件:一条直线上的_____ 所有的点 都在这个平面内(即直线_________). 在平面内 结论:该直线上_________ l? α . ②符号语言:若A∈l,B∈l,A∈α ,B∈α ,则_____ (3)公理3 ①文字语言: 有一个公共点 条件:两个不重合的平面_____________. 有且只有 一条通过该点的公共直线. 结论:两个平面_________ ②符号语言:若A∈α ,A∈β ,且α 与β 不重合,则α ∩β =l 且A∈l. 1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两两相交的三条直线确定一个平面.( (2)经过一条直线和一个点确定一个平面.( ) ) (3)如果平面α 与平面β 相交,那么它们只有有限个公共 点.( ) 【解析】(1)错误.两两相交的三条直线交于一点,可能确定三 个平面,故错误. (2)错误.若点在直线上,则无法确定一个平面. (3)错误.平面α与平面β相交有无数个公共点. 答案:(1)× (2)× (3)× 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)点M在直线l上,用符号可表示为________. (2)直线m在平面β 内,用符号可表示为________. (3)若平面α 与平面β 相交且交线为l,用符号可表示为 ________. 【解析】(1)点M在直线l上,则用符号可表示为M∈l. 答案:M∈l (2)直线m在平面β内,用符号可表示为m 答案:m β β. (3)平面α与平面β相交,且交线为l,可记为α∩β=l. 答案:α ∩β =l 【要点探究】 知识点1 空间中点、直线、平面之间的关系 1.相交平面的画法 (1)画两条相交的直线,表示两个平面的平行四边形相交的两 条边,如图①中的EF,MN. (2)画两个相交平面的交线, 如图②中的AB. (3)通过端点E,F,M,N分别画出与AB平行且相等的线段EC, FD,MP,NQ,连接CD和PQ,可以得到表示平面的平行四边形 EFDC和MNQP,如图③. (4)把被平面遮住的部分画成虚线(或者不画),如图④. 2.点、直线、平面之间关系的表示 (1)基本原则:通常借助集合中的符号语言来表示.点为元素, 直线与平面都是点构成的集合,几何中的很多符号规定都是源 于将图

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