当前位置:首页 >> 数学 >>

1.5正弦函数图像变换


函 数 y=Asin(?x+?) 的图象

情景引入:

在我们现实生活中有很多现象 在进行周而复始地变化,用数学 语言可以说这些现象具有周期性, 而我们所学的三角函数是刻画周 期变化数量的典型函数模型,比 如下列现象就可以用正弦型函数 模型来研究,这节课我们就来探 讨三角函数模型的简单应用

情景引入:

? 正弦型函数
y ? A sin( ? x ? ? )

( A ? 0,? ? 0)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1、物理情景—— ①简谐运动 ②星体的环绕运动 2、地理情景—— ①气温变化规律 ②月圆与月缺 3、心理、生理现象—— ①情绪的波动 ②智力变化状况 ③体力变化状况 4、日常生活现象—— ①涨潮与退潮 ? ②股票变化 ? …………

函数y=Asin(ωx+φ),其中(A>0, ω >0)表 示一个振动量时, A就表示这个量振动时离开平衡位置的最 大距离,通常称为这个振动的振幅; 往复一次所需的时间
T ? 2?

振动的周期;

?

,称为这个

单位时间内往复振动的次

f ? 1 T ?

?
2?

,称为振动的频率;

? x ? ? 称为相位;x=0时的相位φ称

为初相。

知识回顾:
y

1-

y ? sin x
?
6

x ? [0, 2? ]
5? 3 11? 6

-1

o
-1 -

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

2? ?

x

在函数

y ? sin x , x ? [0, 2? ]

最高点: (

?

的图象上,起关键作用的点有:

,1)

与x轴的交点:(0, 0) (? , 0)

2

( 最低点:

3? 2

, ? 1)

(2? , 0)

在精度要求不高的情况下,我们可以利用这5个点画出函数 的简图,一般把这种画图方法叫“五点法”。

新课讲解:
例1 作函数 y ? 2 sin x 及 解:1.列表
y ? 1 2 sin x

的图象。

x
sin x 2 sin x
1 sin x 2

0 0 0

? 2

?

3? 2

2? 0 0

1

0 0

?1

2

?2

0

1 2

0

? 1 2

0

2. 描点、作图:
y 2 1 O ?1 ?2
1 2

y=2sinx y=sinx
2? ? x

y= sinx

周期相同

y 2
1 O ?1 ?2

y=2sinx y=sinx
2? ? y 2 x

y= sinx
2

1

1
2?

O
?1 ?2

?

x

一、函数y=Asinx(A>0)的图象

y

2
1

y=2sinx

2? O ?1 ?2
1 2

?

x

y= sinx

(A >0且A≠1)的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长 (当A>1时) 或缩短(当0<A<1时) 到原来的A倍(横坐标不变) 而得到的。 y=Asinx ,x∈R的值域为[-A,A],最 大值 为A,最小值为-A.

? 函数y=Asinx

思考:函数y ? f ( x)与函数y ? Af ( x)的图象有何关系?

y ? sin 1 x 的图象。 例2 作函数 y ? sin 2 x 及 2

1. 列表:
x
2x sin 2 x

0
0 0

?
4
? 2

?
2
?

3? 4
3? 2

?
2?

1

0

?1

0

2 y 2. 描点:

y=sinx
2? ? 3? x

连线:

1 O ?1 ?2

y=sin2x

1. 列表:
x
1 2
sin

对于函数y ? sin
0 ?
?
2

1 2

x
3?
3? 2

2?
?

4? 2? 0

x
1 x 2

0 0

1

0

-1

2. 描点 作图:
y

y=sin x
2

1

1 O
?1 ?

2?

3?

4? x

y=sinx

y 1 O ?1 ?

y=sin x
2

1

2?

3?

4? x

y=sinx

振幅相同
y=sin2x

二、函数y=sin?x(?>0)的图象
y 1

y=sin1 x
2
2?

O

?

3?

4? x

?1

y=sin2x

y=sinx

y=sin 1 x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 2 有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)。 y=sin 2x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 1 有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)。
2

(? >0且?≠1)的图象可以看作是 把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短(当?>1 1 时)或伸长(当0<?<1时) 到原来的 倍(纵坐标 ? 不变) 而得到的。

?函数y=sin?x

思考:函数y ? f ( x)与函数y ? f (k x)的图象有何关系?

练习:作下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图 :

(1)

y ? 4 sin x

(2)

y ? sin

1 3

x

(3)

y?

1 2

sin

1 2

x 的图象与y ? sin x的图象的关系:

图象上各点横坐标不变纵坐标 1 图象上各点纵坐标不变横坐标 y ? 1 sin 1 x y ? sin x y ? sin x 2 2 伸长为原来的2倍 2 缩短为原来的一半 1
y ? 1 sin x 2

2? O ?

3?

4? x

?1

y ? sin x

y ? sin x 2 2

1

1

例3 作函数 y ? sin( x ?

?

) 及y ? sin( x ?
4? 3
?

?

) 的图象。
7? 3
2?

x
x?

?
?
3 ?
3

3 5?
6
? 2

4 11 ?
6
3? 2

3
0

sin( x ?

)

0
1 y

1

0
y ? sin( x ?

-1
?
3

0

?

?
4

)

2?

O ?1

?
y ? sin( x ?

?
?
4 )

x

3

三、函数y=sin(x+φ)图象
?
4

1 O

y ? sin( x ?

?
3

)

?

2?

?
3

?
?
4

x

?1

y ? sin( x ?

)

?函数y=sin(x+φ) 的图象可以看作是把 y=sinx 的

图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)
平移|φ|个单位而得到的。

例4 作函数y ? sin( 2 x ?
?
?
3 ?
3

?
3

) 及y ? sin( 2 x ?
2? 3
?

?
4

) 的图象。
7? 6
2?

x
2x ?

5? 12
? 2

11 ? 12
3? 2

6
0

sin( 2 x ?

)

0

1
?
2

0

-1
y ? sin(2 x ?

0

y 1 O
)

?
3

)

? x

y ? sin( 2 x ?

?
4

?
6

?1

y=sin2x

四、函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系
y 1 O
)

?
2

y ? sin(2 x ?

?
3

)

?
x

y ? sin( 2 x ?

?
4

?
6

?1

y=sin2x

通过平移,将函数 y ? sin ? x 的图象变换为 y ? sin( ? x ? ? ) 的图象, ? 其平移单位是 ? .
思考:函数 y ? f (x) 与 y ? f (ax ? b)的图像 有何关系?

理论迁移 ? 练习1:要得到函数 y ? sin( 3x ? ) 的图象,只 5 需将函数 y ? sin 3x 的图象 ( )

A.向左平移个 5 单位 ? B.向右平移个 5 单位 C.向左平移个 ? 单位 15 D.向右平移个 ? 单位
15

?

思考 : 怎样由 y ? sin x 的图象得到

y ? 2 sin(

1 3

x?

?
6

)

的图象 ?

方法一
(1)向右平移

?
6
3倍

函数 y ? sin x

y ? sin( x ?
y ? sin( 1 3

?
6

)的图象
?
6 )的图象

( 2 ) 横坐标伸长到原来的
纵坐标不变
( 3 ) 纵坐标伸长到原来的
横坐标不变

x?

2 倍 y ? 2 sin( 1 x ? ? )的图象
3 6

y
3

y ? 2 sin(

1 3

x?

?
6

) ③
?
6
13 ? 2

2 y=sin(x1

?
6

)①

y ? sin(

1 3

x ?

)②

o
?

2?
?
2

?

7? 2

-1

6

x

-2
-3

y=sinx

思考1:一般地,函数 y ? A sin( ?x ? ? ) ? (A>0, >0)的图象,可以由函数 y ? sin x 的图象经过怎样的变换而得到? 先把函数 y ? sin x 的图象向左(右)平移 |?|个单位长度,得到函数 y ? sin( x ? ? )的 图象;再把曲线上各点的横坐标变为原 1 来的 ? 倍,得到函数 y ? sin( ?x ? ? ) 的图 象;然后把曲线上各点的纵坐标变为原 来的A倍,就得到函数 y ? A sin( ?x ? ? ) 的图象.

思考 : 怎样由 y ? sin x 的图象得到

y ? 2 sin(

1 3

x?

?
6

)

的图象 ?
方法二:

函数 y ? sin x

(1) 横坐标伸长到原来的
纵坐标不变

3倍

y ? sin

1 3

x 的图象

( 2 )向右平移

?

2

y ? sin(

1 3

x?

?
6

)的图象

( 3 ) 纵坐标伸长到原来的
横坐标不变

2 倍 y ? 2 sin( 1 x ? ? )的图象
3 6

y
y ? 2 sin(
3

1 3

x?

?
6

)
?
6
13 ?

2
1

y ? sin(

1 3

x ?

)

o
?

2?
?
2

6?
7? 2

2

?
1 3

-1

6

x

-2
-3

y=sinx

y ? sin

x

思考2:一般地,函数 y ? A sin( ?x ? ? ) ? (A>0, >0)的图象,可以由函数 y ? sin x 的图象经过怎样的变换而得到?

方法二:先把函数 y ? sin x 的图象上各点的 1 横坐标变为原来的 倍,得到函数 y ? sin ?x ? 图象;再把 y ? sin ?x 的图像向左(右)平 ? 移 | |个单位长度,得到函数 y ? sin( ?x ? ? ) ? 的图象;然后把曲线上各点的纵坐标变为原 来的A倍,就得到函数 y ? A sin( ?x ? ? ) 的 图象.

思考3:将函数 y ? sin x的图象变换到函 ) ? 数 y ? A sin( ?x ? ?(其中A>0, >0)的 图象,共有多少种不同的变换次序?

6种!

) ? 1.函数 y ? A sin( ?x ? ?(A>0,>0)的

图象,可以由函数 y ? sin x 的图象通过 三次变换而得到,共有6种不同的变换 次序.在实际应用中,一般按“左右平 移→横向伸缩→纵向伸缩”的次序进行.
y 2.用“变换法”作函数? A sin( ?x ? ? ) 的图象,其作图过程较复杂,不便于 操作,在一般情况下,常用“五点法” 作图.

练习2 如图是某简谐运动的图象,试 根据图象回答下列问题:
y/cm 2
2p

A

E

0.4

O
-2

B

0.8 D

1.2

F

x/s

C

⑴ 这个简谐运动的振幅、周期与频 率各是多少?
y/cm 2 A E

振幅A=2 周期T=0.8s
1.2 F x/s

0.4
O -2

B

0.8 D

频率f=1.25

C

⑵ 从O点算起,到曲线上的哪一点, 表示完成了一次往返运动?如从A点算 起呢?
y/cm 2
2p

A

E

O~D
1.2 F x/s

0.4

O
-2

B

0.8 D

A~E

C

⑶ 写出这个简谐运动的表达式.
y/cm 2

A

E

y ? 2 sin(
1.2
F x/s

5? 2

x ) x ? ( 0 , ?? )

0.4
2p

O -2

B

0.8 D

C

若已知函数 y ? A sin( ? x ? ? ) 的图象及 有关数字特征,则可以求出函数的解析式.

练习 3.如图是一弹簧振子做简谐运动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振子的 位移,则这个振子振动的函数解析式是________________.

解析:设解析式为y=Asin(ωt+φ),由图象知 A=2,T=2×(0.5-0.1)=0.8 s,所以 ω 2π 5 5 π π 5 π = = 解析:设解析式为 y=Asin(ωt+φ),由图象知 A=2,T=2×(0.5-0.1)=0.8 s, π,又 π×0.1+φ= ,所以φ= .所以函数解析式为 y=2sin( πt+ )(t≥0). 0.8 2π2 5 2 5 2 π 4 π 2 45 π = = π,又 π×0.1+φ= ,所以 φ= .所以函数解析式为 y=2sin( πt+ )(t≥0). 0.8 2 25 π 2 4 2 4 答案:y=2sin( πt+5πt+π)(t≥0) )(t≥0) 答案:y=2sin( 4 2 2 4

随堂练习 ? 1、要得到y=sin(2x- 3 )的图象,只要将 y=sin2x的图象 D
A、向左平移 ? 移 3 个单位
?

?
3

个单位

B、向右平 D、向右平

C、向左平移 6 个单位 移 ? 个单位
6

2、把y=sinx的图象上各点向右平移 3 个单位,再把横坐标缩小到原来的一半, 纵坐标扩大到原来的4倍,则所得的图象 的解析式是 B
?x ? ? A 、y=4 sin ? - ? ?2 3? ?x ? ? C 、y=4 sin ? + ? ?2 3?

?

? ? ? B 、y=4sin ? 2x- ? 3? ? ? ? ? D 、y=4 sin ? 2x+ ? 3? ?

3、函数y=sin(x+ 4 )的对称轴 方程为 B
A 、x=k ? + C 、x=k ? -

?

?
2

,k ? Z ,k ? Z

B 、x=k ? + D 、x=k ? -

?
4

,k ? Z ,k ? Z

?
4

?
2

4、将函数y=f(x)图象上每个点的纵坐 标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍, ? 然后再将整个图象沿x轴向左平移 个 2 1 单位,得到曲线y= sinx的图象相同,则 2 y=f(x)的函数表达式为 D
?1 ? ? A 、y= sin ? x- ? 2 ?2 2? 1 ?1 ? ? C 、y= sin ? x+ ? 2 ?2 2? 1 ? ? ? B 、y= sin 2 ? x+ ? 2 ? 2? 1

?? ? D 、y= sin ? 2x- ? 2 ? 2?
1

5、将y=sin2x的图象向左平移 3 个单 位,得到曲线对应的解析式为 C
?? ? A 、y= sin ? 2x+ ? 3? ?
2? ? ? C 、y= sin ? 2x+ ? 3 ? ?

?

?? ? B 、y= sin ? 2x- ? 3? ?
2? ? ? D 、y= sin ? 2x? 3 ? ?

?x ? ? 6 、 要 得 到 y = sin ? + ? 的图象,可将y=sinx的图象 ?2 6 ? D

A、各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移 6 个单位 B、各点的横坐标缩小到原来的 ,再向左平移 个 2 3 单位 C、向左平移 个单位,再将图象上各点的横坐标伸 长到原来的2倍 3 D、向左平移 ? 个单位,再将图象上各点的横坐标伸 长到原来的2倍 6
?
1

?

?

7、函数y=sin(2x+θ)的图象关于y轴 对称,则 B
?
2 C 、? =2k ? + ? ,k ? Z

A 、? =2k ? +

,k ? Z

B 、? =k ? +

?
2

,k ? Z

D 、? =k ? + ? ,k ? Z

8、要得到函数y= 2 cosx的图象,只需将函数
? ? ? y = 2 sin ? 2x+ ? 4? ?

的图象上所有的点的 C 1 A、横坐标缩小到原来的 ,再向左平移 ? 个单位

B、横坐标缩小到原来的

2 1
2

,再向右平移 ? 个单位
4 ?
4

8

C、横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移
D、横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移

个单位
个单位

?
8

? k? ? ? - ,0 ? k ? Z ? ? ? ? 9 、 y =5 sin ? 2x+ ? 的 对称中心坐标为__________ ? 2 6 ? 3? ?

? ? ? 10 、 把 y = cos ? 2x+ ? 3? ?

的图象上各点向右平移 个单位,
2

?

再把横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的5倍

最后把整个图象向下平移4个单位,则所得图象的函数
2? ? ? y = 5 cos ? 4x? -4 解析式是________________ 3 ? ?
1 1

? ? ? 11 、 y = sin ? 2x- ? 2 9 ? ? ? 9 初相是______
1

? 的振幅是____,频率是______, 2


相关文章:
高中正弦型函数图像变换 优秀教学设计
高中正弦函数图像变换 优秀教学设计_数学_高中教育_教育专区。高中必修四 正弦函数图像变换 优秀教学设计参赛作品【课题】 1.5 函数 y ? A sin(?x ? ? )...
《正弦函数图象的变换》教学设计
> < 振动 还原 0 2、 (1)是某次实验测得的交流电的电流 y 随时间 x 变化的图象,图(2) 是放大后的图象: 问题 1:观察它们的图象正弦曲线有什么关系?...
正弦型函数图像变换
正弦型函数图像变换_数学_高中教育_教育专区。1.5 正弦型函数 y=Asin(ψ x+φ )的图象变换教学设计贺力光 2008212004 教学目标: 知识与技能目标:能借助计算机课件...
正弦函数y=sinx的图像及图像变换-讲义
正弦函数y=sinx的图像及图像变换-讲义_经管营销_专业资料。学科:数学 专题:正弦函数 y=sinx 的图像及图像变换 重难点易错点解析在恰当的坐标系中画正弦函数的图 ...
正弦型函数的图像变换
正弦函数图像变换 27页 2下载券喜欢此文档的还喜欢 1.5函数y=Asin(ωx+φ...的简图并说 2 6 明该函数图象可由 y=sinx(x ? R)的图象经过怎样变换得到...
正弦函数的图像变换评课稿
正弦函数图像变换评课稿_数学_高中教育_教育专区。《正弦函数图像变换》的...必修四1.5正弦型函数的图... 21页 免费 正弦型函数图像的变换课... 13页...
《正弦函数图像变换》教学设计
《正弦函数的图像变换》教学设计 正弦函数的图像变换》一、教材分析 1、教材的...1.5正弦函数图像变换 49页 免费 喜欢此文档的还喜欢 三角函数图象变换教学设.....
正弦函数y=sinx的图像及图像变换 课后练习二
正弦函数y=sinx的图像及图像变换 课后练习二_资格考试/认证_教育专区。学科:数学 专题:正弦函数 y=sinx 的图像及图像变换 题一 题面:在同一个坐标系内画 g (...
高中数学 正弦函数y=sinx的图像及图像变换讲义
高中数学 正弦函数y=sinx的图像及图像变换讲义_数学_高中教育_教育专区。高中数学 正弦函数 y=sinx 的图像及图像变换讲义 新人教 A 版必修 4 重难点易错点解析 ...
正弦函数y=sinx的图像及图像变换 课后练习一
正弦函数y=sinx的图像及图像变换 课后练习一_计划/解决方案_实用文档。学科:数学 专题:正弦函数 y=sinx 的图像及图像变换 题一 题面:在同一个坐标系内画 y ?...
更多相关标签: