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上海市八中学高三数学课件:直线方程复习(一)


上海市八中学

问题1 确定一条直线的要素:

1. 定位
2. 定向

直线过定点
方向向量、法向量、另一点、 斜率 (倾斜角不是直角)。

这便是直线的点方向式、点法向式、点斜式 的由来,斜截式是点斜式的特例。

问题2 直线的一般式方程
方程ax+by+c=0(a,b不全为0)叫做直线方程的一 般式,任何一条直线的方程都可以化成一般式。

问题2:直线方程归纳 名 称
点方向式

已知条件
点P(x0,y0)和 方向向量 (u,v) 点P(x0,y0)和 法向量(a,b)

标准方程
x ? x 0 y ? y0 ? u v

适用范围
不垂直于 x、y轴的直线 任意直线

点法向式 点斜式
斜截式

a( x ? x0 ) ? b( y ? y0 ) ? 0

点P(x0,y0) 和斜率k
斜率k和在y 轴上的截距b

y?y0=k(x?x0)
y=kx+b ax+by+c=0

不垂直于 x轴的直线
不垂直于 x轴的直线 a,b不全为0

一般式

两个独立 的条件

例:已知直线l过点P(?3,4),求满足下列条件的 直线l的方程: (1)过另一点Q(a,1);

解:当a=?3时, l:x=?3;
当a??3时, k ? ?
3 a?3
P(?3,4)?
1

y

3 l : y?4? ? ( x ? 3). a?3
解法二: PQ ? (a ? 3,?3)

O

x

直线l的法向量为(3,a+3),

直线l的方程为3(x+3)+(a+3)(y?4)=0.

(2)坐标原点O到直线l的距离最大; 分析:当OP与直线l垂直时,点O 到直线l的距离最大。
解:直线 l的一个法向量为 OP ? (?3,4)

直线l的方程为3(x+3)?4(y?4)=0. 即3x?4y+25=0.
P(?3,4)?

y

O

x

(3)到两点A(2,6)、B(?4,?2)距离相等; 解:(1)直线l与AB平行,AB ? (?6,?8)
x?3 y?4 l: ? ?6 ?8

即4x?3y+24=0
y P(?3,4)?
?A(2,6)

(2)直线l过AB的中点,
AB的中点坐标为(?1,2),
4?2 l : y?4? ( x ? 3) ? 3 ? ( ?1)

即x+y?1=0

B(?4,?2)?

O

x

(4)直线l与x轴负半轴、y轴正半轴围成直角三 角形,且使三角形的面积最小。 解:设直线方程为y?4=k(x+3) (k>0)
直线与 x轴 交 于 点 A( ?3 ? 4 ,0), k
y
B

斜率k存在

直线与 y轴交于点 B(0,3k ? 4), 1 1 4 S?AOB ? | OA || OB |? ( 3 ? )(3k ? 4) 2 2 k P(?3,4)? 1 16 ? ( 24 ? 9k ? ) 2 k 1 16 ? (24 ? 2 9k ? ) ? 24 A 2 k
16 4 当且仅当 9k ? 即k ? 时, S min ? 24. k 3 4 l : y ? 4 ? ( x ? 3) 3

O

x

已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3, 分别求满足下列条件的直线l的方程:
1 (1)过定点A(?3,4);(2)斜率为 . 6

分析:选择适当的直线方程的形式。 解:设直线方程为y?4=k(x+3), 斜率k存在 令x=0,得y=3k+4, B(0,3k+4) 令y=0,得x= ?
S?BOC

y B

,

4 ? 3 C ( ? 4 ? 3,0) k k 1 1 4 ? | BO || CO |? | 3k ? 4 || ? 3 |? 3, 2 2 k

A?
C O x

|9k2+24k+16|=6|k|,

2 8 直线方程为 y ? 4 ? ? ( x ? 3)或y ? 4 ? ? ( x ? 3). 3 3

2 8 k ? ? 或k ? ? . 3 3

1 (2)设直线方程的形式为 y ? x ? b, 6

直线与 y轴的交点为 B(0, b),
S?BOC 1 1 ? | OB || OC |? | b || 6b |? 3, 2 2

直线与 x轴的交点为 C (?6b,0),

?b=?1.
1 直线方程的形式为 y ? x ? 1. , 6

1.求直线方程需要两个独立的条件. 2.求直线方程的方法: ①直接法;②待定系数法.

3.注意各种直线方程的适用范围,求解时要 防止可能产生的遗漏情况.
4.注重数形结合、分类讨论思想的运用.


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