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【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第3章 第6节 正弦定理和余弦定理课后限时自测 理 苏教版


【高考讲坛】 2016 届高考数学一轮复习 第 3 章 第 6 节 正弦定理和 余弦定理课后限时自测 理 苏教版
[A 级 基础达标练] 一、填空题 1.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a= 3,b= 2,B=45°,则 角 A=________. 3 2 3 [解析] 由正弦定理得 = ,∴sin A= ,∴A=60°或 120°. sin A sin 45° 2 [答案] 60°或 120° 2. 、(2014·福建高考)在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2 3,则△ABC 的面积等于 ________. [解析] 2 3 4 如图所示,在△ABC 中,由正弦定理得 = ,解得 sin B=1, sin 60° sin B

1 1 2 2 所以 B=90°,所以 S△ABC= ×AB×2 3= × 4 -?2 3? ×2 3=2 3. 2 2 [答案] 2 3 3.(2014·天津高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c 1 = a,2sin B=3sin C,则 cos A 的值为________. 4 3 [解析] 由 2sin B=3sin C 及正弦定理得 2b=3c,即 b= c. 2 1 1 1 又 b-c= a,∴ c= a,即 a=2c.由余弦定理得 4 2 4 9 2 3 c +c2-4c2 - c2 4 b +c -a 4 1 cos A= = = 2 =- . 2bc 3 2 3c 4 2× c 2
2 2 2

1 [答案] - 4 4. (2013·辽宁高考改编)在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.若 asin Bcos

C+csin Bcos A= b,且 a>b,则∠B=________.
1 [解析] 由正弦定理可得 sin Asin Bcos C+sin C·sin Bcos A= sin B,又因为 sin 2
1

1 2

B≠0,所以 sin Acos C+sin Ccos A= ,所以 sin(A+C)=sin B= .因为 a>b,所以∠B
π = . 6 [答案] π 6

1 2

1 2

5.(2013·陕西高考改编)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C +ccos B=asin A,则△ABC 的形状为________三角形. [解析] ∵bcos C+ccos B

b2+a2-c2 c2+a2-b2 =b· +c· 2ab 2ac
= =

b2+a2-c2+c2+a2-b2 2a
2a =a=asin A,∴sin A=1. 2a
2

π ∵A∈(0,π ),∴A= ,即△ABC 是直角三角形. 2 [答案] 直角 6.如图 3?6?1,正方形 ABCD 的边长为 1,延长 BA 至 E,使 AE=1,连结 EC、ED,则 sin ∠CED=________.

图 3?6?1

[解析] 在 Rt△EAD 和 Rt△EBC 中,易知 ED= 2,EC= 5,在△DEC 中,由余弦定理 得 cos∠CED= 3 10 . 10 10 . 10

ED2+EC2-CD2 2+5-1 = 2ED·EC 2× 2× 5



∴sin∠CED= [答案] 10 10

7. (2013·安徽高考)设△ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c.若 b+c=2a,3sin

A=5sin B,则角 C=________.
2

[解析] 由 3sin A=5sin B,得 3a=5b.又因为 b+c=2a, 5 7 所以 a= b,c= b, 3 3

所以 cos C=

a +b -c = 2ab

2

2

2

?5b?2+b2-?7b?2 ?3 ? ?3 ? ? ? ? ?
5 2× b×b 3

1 2π =- .因为 C∈(0,π ),所以 C= . 2 3

[答案]

2π 3

8.在钝角△ABC 中,a=1,b=2,则最大边 c 的取值范围是________. [解析] 由余弦定理得 cos C=

a2+b2-c2 12+22-c2 5-c2 = = . 2ab 2×1×2 4

∵角 C 是钝角,∴-1<cos C<0. 5-c ∴-1< <0,∴ 5<c<3. 4 [答案] 5<c<3
2

二、解答题 9.(2014·大纲全国卷)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 3acos C= 1 2ccos A,tan A= ,求 B. 3 [解] 由题设和正弦定理得 3sin Acos C=2sin Ccos A. 故 3tan Acos C=2sin C. 1 1 因为 tan A= ,所以 cos C=2sin C,tan C= . 3 2 tan A+tan C 所以 tan B=tan[180°-(A+C)]=-tan(A+C)= =-1.即 B=135°. tan Atan C-1 10.(2014·浙江高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a≠b,

c= 3,cos2A-cos2B= 3sin Acos A- 3sin Bcos B.
(1)求角 C 的大小; 4 (2)若 sin A= ,求△ABC 的面积. 5 [解] (1)由题意得 1+cos 2A 1+cos 2B 3 3 - = sin 2A- sin 2B, 2 2 2 2 即 3 1 3 1 sin 2A- cos 2A= sin 2B- cos 2B, 2 2 2 2

π? π? ? ? sin?2A- ?=sin?2B- ?.由 a≠b,得 A≠B.又 A+B∈(0,π ),得 6 6? ? ? ?
3

π π 2A- +2B- =π , 6 6 2π π 即 A+B= ,所以 C= . 3 3 4 a c 8 (2)由 c= 3,sin A= , = ,得 a= . 5 sin A sin C 5 3 由 a<c,得 A<C,从而 cos A= , 5 4+3 3 故 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= , 10 1 8 3+18 所以,△ABC 的面积为 S= acsin B= . 2 25

[B 级 一、填空题

能力提升练]

π → → 1.(2014·山东高考)在△ABC 中,已知AB·AC=tan A,当 A= 时,△ABC 的面积为 6 ________. π π π 2 → → → → [解析] 已知 A= ,由题意得|AB||AC|cos =tan ,|AB||AC|= ,所以△ABC 的面 6 6 6 3 1 → π 1 2 1 1 → 积 S= |AB|·|AC|sin = × × = . 2 6 2 3 2 6 [答案] 1 6

2.(2013·福建高考) 如图 3?6?2,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥AC,sin∠

BAC=

2 2 ,AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为________. 3



3?6?2

2 2 [解析] ∵sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos∠BAD= , 3 ∴在△ABD 中,有 BD =AB +AD -2AB·ADcos∠BAD, 2 2 2 ∴BD =18+9-2×3 2×3× =3, 3 ∴BD= 3. [答案] 3
4
2 2 2

二、解答题 3.(2014·湖南高考) 如图 3?6?3,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= 7. (1)求 cos∠CAD 的值;(2)若 cos∠BAD=- 7 21 ,sin∠CBA= ,求 BC 的长. 14 6

图 3?6?3 [解] (1)在△ADC 中,由余弦定理, 得 cos∠CAD=

AC2+AD2-CD2 , 2AC·AD

7+1-4 2 7 故由题设知,cos∠CAD= = . 7 2 7 (2)设∠BAC=α ,则 α =∠BAD-∠CAD. 2 7 7 因为 cos∠CAD= ,cos∠BAD=- . 7 14 所以 sin∠CAD= 1-cos ∠CAD=
2

1-?

21 ?2 7?2 ?= 7 , 7 ? ?

sin∠BAD= 1-cos ∠BAD=

2

1-?-

7?2 3 21 ? ? = 14 . ? 14 ?

于是 sin α =sin(∠BAD-∠CAD) =sin∠BAD·cos∠CAD-cos∠BAD·sin∠CAD = 3 21 2 7 ? 21 3 7? × -?- ?× = . 14 7 7 2 ? 14 ?

在△ABC 中,由正弦定理, = . sin α sin∠CBA

BC

AC

故 BC=

AC·sin α = sin∠CBA

7× 21 6

3 2

=3.

5


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