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高二数学组合4


组合与组合数

复习

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并成一组,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合

注 ①n个不同元素
③组合与元素的顺序无关 排列与元素的顺序有关 ④两个组合的元素完全相同为相同组合 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取 m 出m个元素的组合数 表示方法 C
n

②m≤n

组合数计算公式
m m

复习

n! (2)Cn ? m!(n ? m)!
m

An n(n ? 1)(n ? 2) ?(n ? m ? 1) (1)Cn ? n ? Am m!
组合数性质1:C
组合数性质2:
m n

?C

n? m n

? ? c n ?1 c n c n

m

m

m ?1

C =1

0 n

补充
常用的组合数性质公式还有:

1、C ? C ? ? ? C ? 2
0 n 1 n n n 0 n 2 n 1 n

n 3 n n ?1

2、C ? C ? ? ? C ? C ? ? ? 2 3、kC ? nC
k n k ?1 n ?1

例題講解:
例1.6本不同的书,按下列要求各有多少种 不同的选法: (1)分给甲、乙、丙三人,每人2本;

解:(1)根据分步计数原理得到:

C C C = 90 种

2 2 2 6 4 2

例題講解:

例1.6本不同的书,按下列要求各有多少种 不同的选法: (2)分为三份,每份2本; 2 2 (2)分给甲、乙、丙三人,每人两本有 C2 种方法, 6 C 4 C2
这个过程可以分两步完成:第一步分为三份,每份两本,

设有x种方法;第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同
学有 A3 种方法.根据分步计数原理 3
2 2 2 6 4 2 3 3

C C C = 15 可得: C C C = xA ,所以. x = A
因此,分为三份,每份两本一共有15种方法

2 6

2 4 3 3

2 2

点评:
一般地:将mn个元素均匀分成n组(每 组m个元素),共有 种方法
C
m mn

本题是分组中的“均匀分组”问题.
?C
m mn-m

?……? C
n n

m m

A

例題講解:
例1.6本不同的书,按下列要求各有多少种不同 的选法: (3)分为三份,一份1本,一份2本,一份3本; (4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本, 一人3本;

解:(3)这是“不均匀分组”问题,一共有

C C C = 60 种方法.
C C C A = 360 种方法.
1 6 2 5 3 3 3 3

1 6

2 5

3 3

(4)在(3)的基础上再进行全排列,所以一共有

例題講解:
例1.6本不同的书,按下列要求各有多少种不同 的选法: (5)分给甲、乙、丙三人,每人至少1本 解:(5)可以分为三类情况:
①“2、2、2型”即(1)中的分配情况,有 C 种方法; 种方法;
2 2 2 6 4 2

C C = 90
3 3

1 2 3 ②“1、2、3型”即(4)中的分配情况,有 6 5 3

C C C A = 360

③“1、1、4型”,有 C

4 6

A = 90

3 3

种方法,

所以,一共有90+360+90=540种方法.

例題講解:
例2、(1)10个优秀指标分配给6个班级,每个班级至少 一个,共有多少种不同的分配方法? (2)10个优秀指标分配到一、二、三3个班,若名 额数不少于班级序号数,共有多少种不同的分配方法?

分析:(1)这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可 构造数学模型 ,用5个隔板插入10个指标中的9个空隙, 既有

C 种方法。按照第一个隔板前的指标数为1班的

5 9

指标,第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指 标,以此类推,因此共有 C5
9

= 126

种分法.

例題講解:
(2)先拿3个指标分给二班1个,三班2个,然后,问题 转化为7个优秀指标分给三个班,每班至少一个.由(1) 可知共有 C2 = 15 种分法
6

注:第一小题也可以先给每个班一个指标, 然后,将剩余的4个指标按分给一个班、两

个班、三个班、四个班进行分类,共有
1 2 3 4 种分法 . C + 2C +3C + C 6 6 6 6

= 126

例題講解:
例3.(1)四个不同的小球放入四个不同的盒中,一共 有多少种不同的放法? (2)四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空 盒的放法有多少种?
解:(1)根据分步计数原理:一共有 4 4
2 “捆绑”在一起看成一个元素有 C

= 256 种方法;

(2)(捆绑法)第一步:从四个不同的小球中任取两个
4

种方法;第二步:从

四个不同的盒中任取三个将球放入有 一共有 C2
4

A

3 4

种方法,所以,

A

3 4

=144种方法

例題講解:
例4.马路上有编号为1,2,3,…,10的十盏路 灯,为节约用电又不影响照明,可以把其中3盏灯 关掉,但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏,在 两端的灯都不能关掉的情况下,有多少种不同的 关灯方法? 解:(插空法)本题等价于在7只亮着的路灯之间 的6个空档中插入3只熄掉的灯,故所求方法总数
为C
3 6

= 20

种方法

課堂練習:
1.5个人分4张同样的足球票,每人至多分一张,而且 4 票必须分完,那么不同的分法种数是 C5 = 5 . 2.某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动,其中 有2位同学要么都请,要么都不请,共有 98 种邀请方法. 3.一个集合有5个元素,则该集合的非空真子集共有 30 个. 4.平面内有两组平行线,一组有m条,另一组有n条,这 2 2 两组平行线相交,可以构成 Cm 个平行四边形 . Cn

5.空间有三组平行平面,第一组有m个,第二组有n个, 第三组有t个,不同两组的平面都相交,且交线不都平行, 2 2 2 可构成 Cm CnCt 个平行六面体

課堂練習:
6.高二某班第一小组共有12位同学,现在要调换座位, 使其中有3个人都不坐自己原来的座位,其他9人的座位 3 不变,共有C12 ×2 = 440种不同的调换方法 7.某兴趣小组有4名男生,5名女生: (1)从中选派5名学生参加一次活动,要求必须有2名男 生,3名女生,且女生甲必须在内,有 36 种选派方法; (2)从中选派5名学生参加一次活动, 要求有女生但人 45 种选派方法; 数必须少于男生,有____ 280 种不同分法. (3)分成三组,每组3人,有_______

課堂練習:
8.九张卡片分别写着数字0,1,2,…,8,从中取出三 张排成一排组成一个三位数,如果6可以当作9使用,问 可以组成多少个三位数?

1 1 1 解:可以分为两类情况:① 若取出6,则有2(A2 + C 8 2 C7C7 ) 种方法; 1 2 ②若不取6,则有 C7 A 7 种方法,

1 2 2 1 1 1 2(A + C C C ) 根据分类计数原理,一共有 8 2 7 7 + C7 A 7 =602 种方法

課堂小結
1.按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过 程分步,是处理组合应用题的基本思想方法; 2.对于有限制条件的问题,要优先安排特殊元素、 特殊位置; 3.对于含“至多”、“至少”的问题,宜用排除 法或分类解决; 4.按指定的一种顺序排列的问题,实质是组合问 题.

5.需要注意的是,均匀分组(不计组的顺序)问题
不是简单的组合问题,如:将3个人分成3组,每组

一个人,显然只有1种分法,而不是

C ?C ?C = 6
1 3 1 2 1 1

种,一般地,将m、n个不同元素均匀分成n组,有

C C

m mn

m (n-1)m

…… C
m m

m m

种分法;

A

天堂1 http://www.168t1.com/ yrk241qox 天堂1火龙窟 天堂1手游 天堂1和天堂2哪个好玩 一路缓缓而行,男人和长青都没有说话。直到走到最高处的观景台,她和她丈夫沿着那条红色栈道一路下山,而长安和长青则留在 观景台上俯视这壮阔连绵的景致。 长安看到他们相携而去的背影,从山顶渐渐往山下移动。遇到台阶过高或坡度过大时,男人会默默伸出手扶一把身后的女人。他们 会这样平凡的相守一辈子,也许到死都不会说一句我爱你,但是彼此都知道我爱你。 天色渐渐暗淡,有一些游客陆续下山,还有人在继续等待夜晚的佛学院,看着无数的灯光从红房子里渐次亮起来。天上有一轮圆月, 在山顶的观景台俯视佛学院,有一层薄薄的雾气在山谷间漂浮。和着月光的照射,显得缥缈神秘。坛城在灯火里,是一片灿金色。 极乐世界也应就是如此了吧。四下安静,连风都不发出任何声音,只有山谷传来隐隐的僧人晚课的声音。长安拿出背包里的相机, 对着月光照耀的学院猛按快门。


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