当前位置:首页 >> 数学 >>

常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题17 异面直线所成的角的求法


第 17 讲:异面直线所成的角的求法
【考纲要求】 能用向量方法解决直线与直 线的夹角的计算问题。 【基础知识】 一、异面直线的定义

的方向向量。 四、求异面直线所成的角体现的是数学的转化 的思想 ,就是把空间的角转化为平面的角, 再利用解三角形的知识解答。 五、温馨提示 如果你解三角形得到的角错误!未找到引用源。的余弦是一个负值,如错误!未找到引

用 源。,你不能说两条异面直线所成的角为错误!未找到引用源。,你应该说两条异面直线 所成的角为错误!未找到引用源。,因为两条异面直线所成的角的范围为错误!未找到引 用源。。

例1

P 为错误!未找到引用源。的 在正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? 2BB 1 ?2,

中点. (1)求直线 AC 与平面 ABP 所成的角; (2)求异面直线 AC 与 BP 所成的角; (3)求点 B 到平面 APC 的距离. 解: 解 (1)∵AB⊥平面 BC1,PC ? 平面 BC1,∴AB⊥PC 在矩形 BCC1B1 中,BC=2,BB1=1,P 为 B1C1 的 中点,∴PC⊥PB ∴PC⊥平面 ABP,∴∠CAP 为直线 AC 与平面 A BP 所成的角 ∵PC= 2 ,AC= 2 2 ,∴在 Rt△APC 中,∠CAP=30
0 0

P

∴直线 AC 与平面 ABP 所成的角为 30 (2)取 A1D1 中点 Q,连结 AQ、CQ,在正四棱柱中,有 AQ∥BP,

∴∠CAQ 为异面直线 AC 与 BP 所成的角

【变式演练 1】已知四边形 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面 AC,且 PA=AD=AB=1 ,BC=2 (1)求 PC 的长; (2)求异面直线 PC 与 BD 所成角的余弦值的大小; (3)求证:二面角 B—PC—D 为直二面角.

[来源:学科网 ZXXK]

例 2 如图所示,AF、DE 分别是⊙O、⊙O1 的直径,AD 与两圆所在的平面均垂直,AD=8.BC 是⊙O 的直径 ,AB=AC=6,OE∥AD. (1)求二面角 B-AD-F (2)求直线 BD 与 EF 所成的角的余弦值. 解 (1)∵AD ∴AD⊥AB,AD⊥AF 故∠BAF 是二面角 B—AD—F 的平面角. 依题意可知,四边形 ABFC ∴∠BAF=45°. 即二面角 B—AD—F 的大小为 45°; (2)以 O 为原点,CB、AF、OE 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐 标系(如图所示), 则 O(0,0,0),A(0,-3 错误!未找到引用源。,0 B(3 错误!未找到引用源。,0,0),D(0,-3 错误!未找到引用源。,8
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

E(0,0,8),F(0,3 错误!未找到引用源。,0 ∴错误!未找到引用源。=(-3 错误!未找到引用源。,-3 错误!未找到引用源。,8), 错误!未找到引用源。=(0,3 错误!未找到引用源。,-8). cos〈错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。〉=错误!未找到引用源。 设异面直线 BD 与 EF 所成角为错误!未找到引用源。 cos 错误!未找到引用源。=|cos〈错误!未找到引用源。〉|=错误!未找到引用源。. 即直线 BD 与 EF 所成的角的余弦值为错误!未找到引用源。. 【变式演练 2】 如图所示, 已知点 P 在正方体 ABCD—A′B′C′D′对角线 BD′上,∠PDA=60° (1)求 DP 与 CC′所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA′D′D 所成角的大小.
[来源:Z|xx|k. Com]

【高考精选传真】 1.【2012 高考真题陕西理 5】如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。,则直线错误!未找到引用源。与直线错误!未找到引用源。夹角的余 弦值为( ) A. 错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C. 错误!未找到引用源。 D. 错误!未找到引用源。

2.【2012 高考真题全国卷理 16】三菱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等, BAA1=CAA1=60°则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________.

3. (2012 高考真题上海理 19)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩 形, PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点.已知 AB=2, AD=2 2 ,PA=2.求: (1)三角形 PCD 的面积; (6 分) (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.(6 分)

AE ? BC cos? ? | AE ? || BC |

4 2? 2 2

?

2 2

,?= ? . 4 F

P E A B
[来源:学科网]

由此可知,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 ? 4 [解法二]取 PB 中点 F,连接 EF、AF,则 EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角 ……8 分 在 ?A E F中,由 EF= 2 、AF= 2 、AE=2 知 ?A E F是等腰直角三角形, 所以∠AEF= ? . 4 因此异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 ? 4

D C

【反馈训练】 1.四面体 ABCD 中,E、F 分别是 AC、BD 的中点,若 CD=2AB,EF⊥AB,则 EF 与 CD 所成的 角等于( )

A.30° B.45° C.60° D.90° 2.ABCD—A1B1C1D1 为正方体 ,点 P 在线段 A1C1 上运动,异面直线 BP 与 AD1 所成的角为 θ ,则 θ 的范围为( ) A.(0,错误!未找到引用源。) B.(0,错误!未找到引用源。] C.(0,错误!未找到引用源。) D.(0,错误!未找到引用源。] 3.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 DD1 的中点,O 为底面 ABCD 的中心,P 为棱 A1B1 上任意一 点,则直线 OP 与直线 AM 所成的角是( ) A.

?
6

B.

?
4

C.

?
3

D.

?
2

4. 直三棱柱 A1B1C1—ABC,∠BCA=90 °,点 D1、F1 分别是 A1B1、A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到 引用源。 D.错误!未找到引用源。
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

5 已知四边形 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面 AC,且 PA=AD=AB=1,BC=2 (1)求 PC 的长; (2)求异面直线 PC 与 BD 所成角的余弦值的大小; (3)求证 二面角 B—PC—D 为直二面角
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

P

A B

D

C

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

7 一副三角板拼成一个四边形 ABCD,如图,然后将它沿 BC 折成直二面角 (1)求证 平面 ABD⊥平面 ACD; A (2)求 AD 与 BC 所成的角; (3)求二面角 A—BD—C 的大小
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

A

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

B

C

B D

C

D

【变式演练详细解析】 【变式演练 1 详细解析】 (1)解:因为 PA⊥平面 AC,AB⊥BC,∴PB⊥BC,即∠PBC=90°,由勾股定理得

PB= PA2 ? AB 2 ? 2 .∴PC= PB 2 ? PC 2 ? 6 .
(2)解:如图,过点 C 作 CE∥BD 交 AD 的延长线于 E,连结 PE, 则 PC 与 BD 所成的角为∠PCE 或它的补角. ∵CE=BD= 2 ,且 PE= PA2 ? AE 2 ? 10 ∴由余弦定理得 cos 错误!未找到引用源。

PCE=

PC 2 ? CE 2 ? PE 2 3 ?? 2 PC ? CE 6
3 . 6

∴PC 与 BD 所成角的余弦值为

(3)证明:设 PB、PC 中点分别为 G、F,连结 FG、AG、DF,则 GF∥BC∥AD,且 GF= 从而四边形 ADFG 为平行四边形, 又 AD⊥平面 PAB,∴AD⊥AG,即 ADFG 为矩形,DF⊥FG. 在△PCD 中,PD= 2 ,CD= 2 ,F 为 BC 中点,∴DF⊥PC 从而 DF⊥平面 PBC,故平面 PDC⊥平面 PBC,即二面角 B—PC —D 为直二面角. 【变式演练 2 详细解析】

1 BC=1=AD, 2

解得 m=错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.

所以〈错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。〉=60°, DP 与平面 AA′D′D 所成的角为 30°. 【反馈训练详细解析】 1.A【解析】 :取 AD 中点 G,连结 EG、GF,则 GE 错误!未找到引用源。错误!未找到引用 源。CD,GE=错误!未找到引用源。AB ∵CD=2AB ∴GE=2GF,∵EF⊥AB,∴EF⊥GF.∴∠GEF=30°,答案:A 2.D【解析】:取点 P 的极限位置,即线段 A1C1 的端点.答案:D 3.D 【解析】:(特殊位置法)将 P 点取为 A1,作 OE⊥AD 于 E,连 结 A1E,则 A1E 为 OA1 的 射影,又 AM⊥A1E,∴AM⊥OA1,即 AM 与 OP 成 90°角.答案:D
[来源:学科网]

4. A【解析】解法一:(几何法)如图,连结 D1F1, 则 D1F1 错误!未找到引用源。 BC ∴D1F1 错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 设点 E 为 BC 中 点 ∴D1F1 BE

错误!未找到引用源。

EF1

z
D1 A1 F1

∴∠EF1A 或补角即为所求 B1 C1 由余弦定理可求得 cos∠EF1A=错误!未找到引用源。 . 解法二:(向量法)建立如图所示的坐标系,设 BC=1 A 则 A(-1,0,0) ,F1(-错误!未找到引用源。 ,0,1) , B E C B(0,-1,0) ,D1(-错误!未找到引用源。 ,-错误!未找到 引用源。 ,1) 即错误!未找到引用源。 =(错误!未找到引用源。 ,0,1) ,错误!未找到引用源。 =(- 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,1) ∴cos<错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 >=错误!未找到引用源。 5.【解析】 (1)解 因为 PA⊥平面 AC,AB⊥BC,∴PB⊥BC,即∠PBC=90°,由勾股定理得
[来源:Zxxk.Com]

x

y

[来源:Zxxk.Com]

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

PB= PA2 ? AB 2 ? 2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

∴PC= PB 2 ? PC 2 ? 6

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

∴ PC 与 BD 所成角的余弦值为 (3)证明
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

3 6 设 PB、PC 中点分别为 G、F,连结 FG、AG、DF,
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

z
P

则 GF∥BC∥AD,且 GF=

1 BC=1=AD, 2
B

A

o
D C

从而四边形 ADFG 为平行四边形, 又 AD⊥平面 PAB,∴AD⊥AG, 即 ADFG 为矩形,DF⊥FG
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

y
P F A B D C

x

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

在△PCD 中,PD= 2 ,CD= 2 ,F 为 BC 中点, ∴DF⊥PC 从而 DF⊥平面 PBC,故平面 PDC⊥平面 PBC, 即二面角 B—PC —D 为直二面角 另法(向量法) (略) 6 【解析】解 (1)如图,在平面 ABC 内,过 A 作 AH⊥BC,垂足 为 H,则 AH⊥平面 DBC, ∴∠ ADH 即为直线 AD 与平面 BCD 所成的角 由题设知△AHB≌△ AHD,则 DH⊥BH,AH=DH, ∴∠ADH=45° D (2)∵BC⊥DH,且 DH 为 AD 在平面 BCD 上的射影, ∴BC⊥AD,故 AD 与 BC 所成的角为 90° z (3)过 H 作 HR⊥BD,垂足为 R,连结 AR,则由三垂线定理 A 知,AR⊥BD,故∠ARH 为二面角 A —BD—C 的平面角的补
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

G

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

A

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

H

R

B

C

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/



新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

设 BC=a,则由题设知, AH=DH=

3 a a, BH ? ,在△HDB 2 2

R 3 AH D 中,HR= a,∴tanARH= =2 4 HR 故二面角 A—BD—C 大小为π -arctan2 另法(向量法) (略) 7 【解析】 (1)证明 取 BC 中点 E,连结 AE,∵AB=AC,∴AE⊥BC ∵平面 ABC⊥平面 BCD,∴AE⊥平面 BCD, ∵BC⊥CD,由三垂线定理知 AB⊥CD 又∵AB⊥AC,∴AB⊥平面 BCD,∵AB ? 平面 ABD A ∴平面 ABD⊥平面 ACD (2)解 在面 BCD 内,过 D 作 DF∥BC,过 E 作 EF⊥DF,交 E
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

H

B

C

y

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

A

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

B G F

C

E B G D C F

D

DF 于 F,由三垂线定理知 AF⊥DF,∠ADF 为 AD 与 BC 所成的角
设 AB=m,则 BC= 2 m,CE=DF=

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

2 6 m,CD=EF= m 2 3

? tan ADF ?

AF ? DF

AE 2 ? EF 2 21 21 ? ,? ?ADF ? arctan DF 3 3
21 3

即 AD 与 BC 所成的角为 arctan

故由平面 ABC⊥平面 ACD,知 DF⊥平面 ABC, 即 DF 是四面体 ABCD 的面 ABC 上的高, 且 DF=ADsin30°=1,AF=ADcos30°= 3 . 在 Rt△ABC 中,因 AC=2AF= 2 3 ,AB=2BC, 由勾股定理易知 BC ? 故四面体 ABCD 的体积

[来源:学科网]

2 15 4 15 , AB ? . 5 5

1 1 1 4 15 2 15 4 V ? ? S?ABC ? DF ? ? ? ? ? . 3 3 2 5 5 5
(II)解法一:如答(19)图 1,设 G,H 分别为边 CD,BD 的中点,则 FG//AD,GH// 从而∠FGH 是异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角. 设 E 为边 AB 的中点,则 EF//BC,由 AB⊥BC,知 EF⊥AB.又由(I)有 DF⊥平面 ABC, 故由三垂线定理知 DE⊥AB.所以∠DEF 为二面角 C—AB—D 的平面角,由题设知∠DEF=60° 设 AD ? a, 则DF ? AD ? sin CAD ?

a . 2

在 Rt ?DEF中, EF ? DF ? cot DEF ?

a 3 3 ? ? a, 2 3 6

从而 GH ?

1 3 BC ? EF ? a. 2 6

解法二:如答(19)图 2,过 F 作 FM⊥AC,交 AB 于 M,已知 AD=CD, 平面 ABC⊥平面 ACD,易知 FC,FD,FM 两两垂直,以 F 为原点,射线 FM,FC,FD 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 F—xyz. 不妨设 AD=2,由 CD=AD,∠CAD=30°,易知点 A,C,D 的坐标分 别为

A(0, ? 3, 0), C (0, 3, 0), D(0, 0,1), 则 AD ? (0, 3,1).
显然向量 k ? (0, 0,1) 是平面 ABC 的法向量. 已知二面角 C—AB —D 为 60°, 故可取平面 ABD 的单位法向量 n ? (l , m, n) , 使得 ? n, k ?? 60 , 从而n ?

1 . 2

由n ? AD, 有 3m ? n ? 0, 从而m ? ? 由l 2 ? m2 ? n 2 ? 1, 得l ? ? 6 . 3

3 . 6

设点 B 的坐标为 B( x, y, 0);由AB ? BC , n ? AB, 取l ?

6 ,有 3

? 4 6 ? x 2 ? y 2 ? 3, , x ? 0, ?x ? ? ? ? 9 ? 解之得, ? (舍去) ? 6 ? 3 ?y ? ? 3 x? ( y ? 3) ? 0, ? ?y ? 7 3 ,? 6 ? 3 ? 9 ?
易知 l ? ?

6 与坐标系的建立方式不合,舍去. 3


相关文章:
更多相关标签: