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河南省周口中英文学校2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


周口中英文学校 2015-2016 学年下期高二期中考试 高二数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分;每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1.如果复数

2 ? bi 的实部和虚部互为相反数,那么实数 b 的值是( ) 1 ? 2i 2 2 A. 2 B. ?2 C. ? D. 3 3
?x ?0

2.设函数 f ? x ? 可导,则 lim A. f ? ?1? 3.

f ?1 ? ?x ? ? f ?1? 等于( 3?x
C.

) D. f ? ?3?

B. 3 f ? ?1?
2

1 f ? ?1? 3

?

1

0

1 ? ?x ? 1? dx ? (
B.
2

) C.

A.1

? 4

? 2


D.

?

4.曲线 y ? x ? 2x 在点 ?1,3? 处的切线方程是 ( A. 4 x ? y ? 1 ? 0 C. 3x ? 4 y ? 0

B. 3x ? 4 y ? 1 ? 0 D. 4 y ? 3x ? 1 ? 0 ) D. ?? ,2? ?

5.函数 y ? x sin x ? cos x 在 ?? ,3? ? 内的单调增区间是( A. ? ? ,

? ?

3? ? ? 2 ?

B .?

? 3? 5? ? , ? ? 2 2 ?

C. ?

? 5? ? ,3? ? ? 2 ?

6. 函数 f ? x ? ?

1 x ? ?? e ? sin x ? cos x ? 在区间 ?0, ? 上的值域是( 2 ? 2?



A .?

?1 1

, e2 ? 2 ? 2 ? ? ?
x 0

?

?

B. ?

?1 1 ? , e2 ?2 2 ?

? ? ? ?

C . ?1, e 2 ?

? ?

?

? ?

D. ? 1, e 2 ?

? ?

?

? ?

7.函数 f ? x ? ?

? t ?t ? 4?dt 在 ??1,5? 上(
32 ,无最大值 3
4 3



A . 有最大值 0,无最小值 C . 最小值 ? 8 . 观 察 x2

B. 有最大值 0,最小值 ?

32 3

D. 既无最大值,也无最小值

? ?? ? 2 x,? x ?? ? 4 x ?,
B . ? f ? x?

c o s? x? ? ?

, 由 归 纳 推 理 可 得 . 若 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x? 满 足 sin x ) D . ?g ? x?
1

f ? ? x? ? f? x ? ,记 g ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,则 g ? ? x ? 等于(
A . f ? x? C . g ? x?

9. 用反证法证明命题: “若 a, b∈N, ab 能被 3 整除, 那么 a, b 中至少有一个 能被 3 整除”时, 假设应为( A.a,b 都能被 3 整除 B.a,b 都不能被 3 整除 C.a,b 不都能被 3 整除 D.a 不 能被 3 整除

)

10.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f ?( x ) , f ?(0) ? 0 ,对于任意实数 x ,有 f ( x) ≥ 0 ,则 的最小值为( A. 3 ) B.

f (1) f ?(0)

5 3 C. 2 D. 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? 11. 设 O 是原点,向量 OA, OB 对应的复数分别为 2 ? 3i, ?3 ? 2i ,那么向量 BA 对应的复数是(
A. ?5 ? 5i B. ?5 ? 5i C. 5 ? 5i D. 5 ? 5i



12. 设函数 f ( x) 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y ? f ( x) 在 x ? 5 处的切线的斜率为( A. ?



1 5

B. 0

C.

1 5

D. 5

二.填空题: 本大题共 4 小题,每小题5分,满分 20分. 13. 函数 g ? x ? ? x ? 3ax ? a 在 ? 0,1? 内有最小值,则 a 的范围是 ---------3

14.函数 f ? x ? ? ax ? c ?a ? 0? ,若
2

? f ? x ? dx ? f ? x ? ,其中 ?1 ? x
0 0

1

0

? 0,

则 x0 等于

15. 如图所示的数阵中,第 20 行第 2 个数字是________. 1 1 2 1 3 1 2 1 1 4 3

2

1 4

1 1 1 7 7 4 1 1 11 5

1 1 1 5 11 11 16. 如图 1 是 y ? f ? x ? 的导函数的图像,现有四种说法. (1) f ? x ? 在 ? ?2,1? 上是增函数(2)

x ? ?1 是 f ? x ? 的极小值点

(3) f ? x ? 在 ? ?1, 2? 上是增函数(4)x=2 是 f ? x ? 的极小值点 以上说法正确的序号是

y
y ? f ? ? x?

?2
?3

2

4 3

?1

0

1 图1

x

三.解答题:(本大题共 6 小题,满分 70 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分 10 分) .设函数 f(x)=2x -3(a+1)x +6ax+8,其中 a∈R.已知 f(x)在 x=3 处取得极值. (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在点 A(1,16)处的切线方程.

3

2

18. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)= 2x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x=1 及 x=2 时取得极值.
3 2

(Ⅰ)求 a, b 的值 (Ⅱ)若对于任意的 x∈[0,3],都有 f(x)?c 成立,求 c 的取值范围. 15-5i 19. (本小题满分 12 分)已知复数 z1=2-3i,z2= 2. ?2+i? 求:(1)z1+ z 2 ;(2)z1·z2;(3) . 20. 1 3an (本小题满分 12 分) 在数列{an}中,a1= ,an+1= ,求 a2、a3、a4 的值,由此猜想数列{an}的通项公式, 2 an+3
2

z1 z2

并用数学归纳法证明你的猜想.
3

21.

(本小题满分 12 分) 求由曲线 y ? x2 ? 2 与直线 y ? 3x, x ? 0, x ? 2 所围成的平面图形的面积.

2 x 22. (本小题满分 12 分)已知 a ? R ,函数 f ? x ? ? ? x ? ax e ,( x ? R , e 为自然对数的底数)

?

?

(1) 当 a ? 2 时,求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (2) 函数 f ? x ? 是否为 R 上的单调函数,若是,求出 a 的取值范围 若不是,请说明理由.

4

周口中英文学校 2015-2016 学年下期高二期中考试 班级 姓名 学号 考场号 座号------------------?????????密??????????封?????????????????线?????????????? ……….. (理科数学答题卷) 一、选择题(本题每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分) 13、 14、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

15、

16、

三:解答题:(本题 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)

18. (本小题满分 12 分)
5

19. (本小题满分 12 分)

20. (本小题满分 12 分)

21. (本小题满分 12 分)

22. (本小题满分 12 分)

理科数学试题参考答案 一.选择题: 题目 答案 二.填空题: 13. 0 ? a ? 1 三.解答题: 17.解 (1)f′(x)=6x -6(a+1)x+6a. ∵f(x)在 x=3 处取得极值, ∴f′(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0, 解得 a=3. ∴f(x)=2x -12x +18x+8. (2)A 点在 f(x)上, 由(1)可知 f′(x)=6x -24x+18,
2 3 2 2

1 C

2 C

3 B

4 A

5 B 1 191

6 A

7 B

8 D

9 B

10 C

11 D

12 B

14 . ?

3 3

15.

16. (2),(3)

f′(1)=6-24+18=0,
∴切线方程为 y=16. 18.Ⅰ) f ?( x) ? 6 x ? 6ax ? 3b
2

6 ? 6a ? 3b ? 0 因为函数 f(x) 在 x=1 及 x=2 时取得极值.则有 f ?(1) ? 0, f ?(2) ? 0 即 ?
?
解得 a=-3,b=4.
3 2 2

? 24 ?12a ? 3b ? 0

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)= 2x ? 9x ? 12x ? 8c, f ?( x) ? 6x ? 18x ? 12 ? 6( x ? 1)(x ? 2) . 当 x?(0,1)时, f ?( x ) ??; 当 x?(1,2) 时, f ?( x ) ?? 当 x?(2,3) 时, f ?( x ) ?? 所以当 x=1 时,f(x)取得极大值 f(1)=5+8c,f(0)=8c,f(3)=9+8c. 则当 x?[0,3]时,f(x)的最大值为 f(3)=9+8c. 因为对于任意的 x?[0,3],有 f(x)?c 恒成立,所以 9+8c?c . 解得 c??1 或 c??.因此,c 的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞). 15-5i 15-5i 5?3-i??3-4i? 19. 解 z2= = 2= ?2+i? 3+4i ?3+4i??3-4i? = 5-15i =1-3i. 5
2 2

(1)z1+ z 2=(2-3i)+(1+3i)=3. (2)z1·z2=(2-3i)(1-3i)=2-9-9i=-7-9i. (3) =

z1 2-3i ?2-3i??1+3i? = z2 1-3i ?1-3i??1+3i?



2+9+3i 11 3 = + i. 10 10 10

1 3an 20 在数列{an}中,a1= ,an+1= ,求 a2、a3、a4 的值,由此猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳 2 an+3 法证明你的猜想. 解

a1= = ,a2= ,a3= ,a4= ,猜想 an= ,下 面用数学归纳法证明: 2 6 7 8 9 n+5

1 3

3

3

3

3

3 1 ①当 n=1 时,a1= = ,猜想成立. 1+5 2 ②假设当 n=k(k≥1,k∈N )时猜想成立, 即 ak= 3
*

k+5

.则当 n=k+1 时,

3 3· k+5 3ak 3 ak+1= = = , ak+3 3 ?k+1?+5 +3 k+5 所以当 n=k+1 时猜想也成立, 由①②知,对 n∈N ,an=
*

3

n+ 5

都成立.

21.解.解方程组 ?

? y ? x2 ? 2 ? y ? 3x
2



得曲线 y ? x ? 2 与直线 y ? 3x 交点的横坐标 x1 ? 1, x2 ? 2 由图像 知,所求的面积

?? ?? x
1 0

2

2 ? ? ? 2 ? ? 3x ? ?dx ? ?1 ?3x ? ? x ? 2 ??dx ? 1 2

2 x 22. 解.由于 f ? x ? ? ? x ? ax e ,

?

?

f ?( x) ? ? ?2 x ? a ? e x ? ? ? x 2 ? ax ? e x
2 x ?? ?? x ? ? a ? 2? x ? a ? ?e
2 (1)当 a ? 2 时, f ?( x ) ? ? x ? 2 2 当 f ?( x) ? ? x ? 2

?

? ex ,
2

?

? e x ? 0 ,则 ? x

? 2 ? 0 ,即 ? 2 ? x ? 2 时,函数 f ( x) 单调递增.所以,

当 a ? 2 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ? 2, 2 . (2)函数 f ? x ? 不是 R 上的单调函数.理由如下.
2 2 记 g ( x) ? ?x ? ? a ? 2? x ? a , ? ? ? a ? 2 ? ? 4a ? a ? 4 ? 0 2

?

?

所以, x ? R 时, g ( x) 的值有正有负.

而 x ? R 时, e ? 0 恒成立 于是当 x ? R 时, f ?( x) ? g ( x)ex 的值有正有负, 故而函数 f ? x ? 不是 R 上的单调函数

x


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