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《2.8第八节 函数的图象》 学案


函数的图象
适用学科 适用区域 知 识 点 数学 新课标 函数图像的作法 函数图像的变换 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数. 学习目标 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式的解的问题. 3.会用数形结合思想、转化与化归思想解决函数问题. 学习重点 学习难点 函数图像 利用图像研究函数的单调性、最值、零点;利

用图像研究方程、不等式问题. 适用年级 课时时长(分钟) 高三 60

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学习过程 一、课堂导入

从图象可知:在横轴上任取 t 的一个值,过横轴上这个值的对应点作横轴的垂线,交图象于一点,再过图象上这个点作纵 轴的垂线,所得垂足对应的实数便是该时刻的对应气温.所有满足这种条件的点的集合,便构成了该函数的图象.

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二、复习预习 1. 2. 指数函数的图像与性质 对数函数的图像和性质

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三、知识讲解 考点 1 利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线. 首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等). 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.

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考点 2

利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换: a>0,右移a个单位 b>0,上移b个单位 y=f(x)―――――――――――→ a<0,左移|a|个单位 y=f(x-a);y=f(x)―――――――――→ b<0,下移|b|个单位 y=f(x)+b. (2)伸缩变换: A>1,伸为原来的A倍 ? y=f(x) ???????? ―――――――――→ 1 ? y=f(ωx);y=f(x)0< A<1,缩为原来的A倍y=Af(x).
?>1,缩短为原来的 ?
1 0<?<1,伸长为原来的 倍

(3)对称变换: 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 y=f(x)―――――→y=-f(x);y=f(x)―――――→y=f(-x);y=f(x)――――――→y=-f(-x). (4)翻折变换: 去掉y轴左边图,保留y轴右边图 留下x轴上方图 y=f(x) 将 ――――――――――――――→ ―――――――――→ y轴右边的图象翻折到左边去 y=f(|x|);y=f(x)将 x轴下方图翻折上去y=|f(x)|.

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四、例题精析 【例题 1】 【题干】分别画出下列函数的图象: (1)y=|lg(x-1)|; (2)y=2x+1-1; (3)y=x2-|x|-2.

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【解析】(1)首先作出 y=lgx 的图象 C1,然后将 C1 向右平移 1 个单位,得到 y=lg(x-1)的图象 C2,再把 C2 在 x 轴 下方的图象作关于 x 轴对称的图象,即为所求图象 C3:y=|lg(x-1)|.如图(1)所示(实线部分). (2)y=2x+1-1 的图象可由 y=2x 的图象向左平移 1 个单位,得 y=2x+1 的图象,再向下平移一个单位得到,如图(2) 所示.
2 ? ?x -x-2 x (3)y=x -|x|-2=? 2 ? ?x +x-2 x 2

,其图象如图(3)所示.

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【例题 2】 【题干】 (1)(2012· 山东高考)函数 y= cos 6x 的图象大致为( 2x-2-x )

(2)已知定义在区间[0,2]上的函数 y=f(x)的图象如图所示,则 y=-f(2-x)的图象为(

)

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【答案】(1)D (2)B 【解析】(1)∵y=f(x)= -6x cos 6x ,∴f(-x)= x =-f(x).∴f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除选项 A; x x 2 -2- 2- -2x cos 6x cos 6x 趋近+∞,排除选项 B;当 x 趋近+∞时,y=f(x)= x 趋近 0,排除选项 x x - 2 -2 2 -2-x

当 x 从正方向趋近 0 时,y=f(x)= C.

?x (2)法一:由 y=f(x)的图象知 f(x)=? ? ? x ? f(2-x)=? ? ?2-x , x

x x



当 x∈[0,2]时,2-x∈[0,2],所以 , x

? ?- 故 y=-f(2-x)=? ? , ?x-

x

图象应为 B.

法二:当 x=0 时,-f(2-x)=-f(2)=-1;当 x=1 时,-f(2-x)=-f(1)=-1.观察各选项,可知应选 B.

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【例题 3】 【题干】(2012· 天津高考)已知函数 y= ________. |x2-1| x-1 的图象与函数 y=kx-2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是

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【答案】(0,1)∪(1,4) 【解析】先去掉绝对值符号,在同一直角坐标系中作出函数的图象,数形结合求解. ? ?x+ x>1或x<- , 根据绝对值的意义,y= =? x-1 ? ?-x- -1≤x |x2-1| 在直角坐标系中作出该函数的图象,如图中实线所示.根据图象可知,当 0<k<1 或 1<k<4 时有两个交点.

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四、课堂运用 【基础】
2 ? ?x x , 1.函数 y=? x ? ?2 - x

的图象大致是(

)

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解析:选 B 当 x<0 时,函数的图象是抛物线;当 x≥0 时,只需把 y=2x 的图象在 y 轴右侧的部分向下平移 1 个单 位即可,故大致图象为 B.

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2.(2013· 太原模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=3x+m(m 为常数),则函数 f(x)的大致图象 为( )

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3.已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位长度后关于 y 轴对称,当 x2>x1>1 时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 恒成立,设 a ? 1? =f?-2?,b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为( ? ? A.c>a>b C.a>c>b B.c>b>a D.b>a>c )

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【巩固】

?ax+b,x≤0, 4.函数 f(x)=? ? 1? x+ ?,x>0 log c ? ? ? 9?

的图象如图所示,则 a+b+c=________.

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5.已知函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+1)=f(x-1),且 x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则函数 y=f(x)与 y=log5x 的图象交点的 个数为________.

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【拔高】 6.作出下列函数的图象. (1)y=|x-2|(x+1);(2)y=|x2-2|x|-3|.

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7.当 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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解:设 f(x)=(x-1)2,g(x)=logax, 在同一直角坐标系中画出 f(x)与 g(x)的图象, 要使 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,只需函数 f(x)的图象在 g(x)的图象下方即可. 当 0<a<1 时,由两函数的图象知,显然不成立; 当 a>1 时,如图,使 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,只需 f(2)≤g(2),

即(2-1)2≤loga2,解得 1<a≤2. 综上可知,1<a≤2.

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课程小结 1.作图一般有两种方法:直接作图法、图象变换法.其中图象变换法,包括平移变换、伸缩变换和对称变换,要记住它 们的变换规律. 2.一个函数的图象关于原点(y 轴)对称与两个函数的图象关于原点(y 轴)对称不同,前者是自身对称,且为奇(偶)函数, 后者是两个不同的函数对称.

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