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必修一第二单元基本初等函数知识点总结


一、指数运算、指数函数 1.根式的概念:一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n ∈ N .
n
n
*

0 ? 0;

( n a ) ? a;
n

n

a

n

? a , n为 奇 数 1 ?n ? ? ; a ? n ; a ? | a |, n 为 偶 数
r r?s

m

a

n

?

n

a ( a ? 0, m , n ? N , n ? 1)
m *

2.指数幂的运算性质 ( a ? 0 ) : a · a ? a
r

;a ? a ? a
r s

r?s

; ( a ) ? a ; ( ab ) ? a a
r s rs r r

s

3.一般地,函数 y ? a ( a ? 0 , 且 a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R.
x

函数性质
a ?1 0? a ?1

函数的定义域为 R 非奇非偶函数 函数的值域为 R 函数图象都在 x 轴上方
a
0
+

?1

函数图象都过定点(0,1) 增函数 比较底数的大小:直线 x=1
x ? 0, a x ? 0, a
x

减函数
x ? 0, a x ? 0, a
x

?1 ?1

?1 ?1

x

x

函数值开始增长较 慢,到了某一值后 增长速度极快;

函数值开始减小极 快,到了某一值后 减小速度较慢;

二、对数运算、对数函数 1.对数的概念:一般地,如果 a ? N ( a ? 0 , a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数, . ..
x

记作: x ? log

a

N

其中 a — 底数, N — 真数, log
x

a

N — 对数式

说明: 底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; a

? N ? log

a

N ? x;

两个重要对数:以 10 为底的常用对数 lg N ;以无理数 e ? 2 . 71828 ? 为底的自然对数 ln N . 2.对数的性质 (1)负数和零没有对数; (3)对数恒等式: a
log a N

(2) log a 1 ? 0 ; log a a ? 1 ;
? N ; (4) log

a

a

n

? n.

3.对数运算性质:如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么
log a ( M · N ) ? log
log M
n
a

M + log

a

N ; log

M
a

? log

N

a

M - log

a

N ;

a

? n log

a

M

(n ? R ) .

换底公式: log

a

b ?

log log

c c

b a
( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ) .

log

a

m

b

n

?

n m
a

log

a

b;

log

a

b ?

1 log
b

a



4.对数函数的概念:函数 y ? log

x ( a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数。

其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) . 注意: 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别. 如: y ? 2 log
2

x , y ? log

x
5

都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.

5

2 ○ 类比指数函数图象和性质的研究,研究对数函数的性质并填写如下表格: 函数性质
a ?1 0? a ?1

函数的定义域为(0,+∞) 函数图象都在 y 轴右侧 非奇非偶函数 函数的值域为 R
1
?

?1

函数图象都过定点(1,1) 增函数
x ? 1, log
a

减函数
0 ? x ? 1, log x ? 1, log
a

x ? 0 x ? 0

x ? 0

比较底数的大小:直线 y=1

0 ? x ? 1, log

a

a

x ? 0

三、幂函数:一般地,形如 y ? x ( a ? R ) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 幂函数图像特征归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义, 并且图象都过点(1,1) ; (2)第一象限图像形状:正抛负双,大竖小横。 其他象限根据奇偶性判断。 (3)直线 x=1,y=1,y=x (4)比较指数的大小: 直线 x=n(n 为大于 1 的整数)

?


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