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河南省南阳、信阳等六市2017届高三第一次联考(文数)


河南省南阳、信阳等六市 2017 届高三第一次联考 数学(文科)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合 A ? 的个数是( A. 0

?? x, y ? | y ?
) B.1

x

? 0 , B ? ?? x, y ? | x 2 ? y 2 ? 1? , C ? A ? B ,则 C 的子集

?

C.2

D.4 )

2.复数 z 满足 z ?1 ? i ? ? 1 ? i ,则复数 z 的实部与虚部之和为 ( A. 2 B. ? 2 C.1 D.0

3.设直线 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列事件中是必然事件的是 ( ) B.若 m / /? , n ? ? , m/ / n ,则 ? / / ? D.若 m ? ? , n ? ? , m/ / n ,则 ? / / ?

A.若 m / /? , n / / ? , m ? n ,则 ? ? ? C.若 m ? ? , n / / ? , m ? n ,则 ? / / ?

4.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击 4 次,至少击中 3 次的概率;先由计算器给出 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 0、1、2 表示没有击中目标,3、4、5、6、7、8、9 表示 击中目标,以 4 个随机数为一组,代表射击 4 次的结果,经随机模拟产生了 20 组随机数 : 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为( A. 0.55 B.0.6
n n



C. 0.65 )

D.0.7

5.设 x ? 0 ,且 1 ? b ? a ,则( A. 0 ? b ? a ? 1

B. 0 ? a ? b ? 1

C. 1 ? b ? a

D. 1 ? a ? b

6.下面程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”,执行该程序框图 (图中“ m MOD n ”表示 m 除以 n 的余数) ,若输入的 m, n 分别为 495,135,则输出的 m ? ( )

1

A.0

B.5

C. 45

D.90

? x ? y ?1 ? 0 ? 7.若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值是 ( ? y ? 3x ? 1 ? 0 ?
A. -3 B.



3 2

C.

3 4

D. ?

3 2
x

8.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 3 ? m ( m 为常数) ,则

f ? ? log3 5? 的值为 (
A.4 B. -4

) C. 6 D.-6 )

9.已知函数:① y ? sin x ? cos x ,② y ? 2 2 sin x cos x ,则下列结论正确的是 ( A.两个函数的图像均关于点 ? ?

? ? ? , 0 ? 成中心对称 ? 4 ?

B.两函数的图像均关于直线 x ? ? C.两个函数在区间 ? ?

?
4

对称

? ? ?? , ? 上都是单调递增函数 ? 4 4?

D.可以将函数②的图像向左平移

? 个单位得到函数①的图像 4

y 2 x2 10. 已知 F2、F1 是双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的上、下焦点,点 F2 关于渐近线的对称 a b
点恰好落在以 F 1 为圆心, OF 1 为半径的圆上,则双曲线的离心率为( )

2

A. 3

B.

3

C. 2

D. 2

11. 一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图,图中圆内有 一个以圆心为中心边长为 1 的正方形,则这个四面体的外接球的表面积是( )

A. ?

B. 3?

C. 4?

D. 6?

12.中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹 组成的圆形图案,充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美,给出定义:能够将圆

O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”,给出下列命题:

①对于任意一个圆 O ,其“优美函数“有无数个”; ②函数 f ? x ? ? ln x2 ? x 2 ? 1 可以是某个圆的“优美函数”; ③正弦函数 y ? sin x 可以同时是无数个圆的“优美函数”; ④函数 y ? f ? x ? 是“优美函数”的充要条件为函数 y ? f ? x ? 的图象是中心对称图形. 其中正确的命题是: ( A.①③ ) C. ②③ D.①④

?

?

B.①③④

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) ? ? ? ? ? ? ? 13.已知向量 a ? ?1, x ? , b ? ?1, x ? 1? ,若 a ? 2b ? a ,则 a ? 2b ? .

?

?

14.在 ?ABC 中, tan A ?

1 3 10 , cos B ? ,则 tan C ? 2 10



15. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2c cos B ? 2a ? b ,若 ?ABC 的面积

3

为S ?

3 c ,则 ab 的最小值为 2



16.椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的上、下顶点分别为 A1、A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值范 4 3


围是 ? ?2, ?1? ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是

三、解答题 (本题必作题 5 小题,共 60 分;选作题 2 小题,考生任作一题, 共 10 分.)
17.已知 f ? x ? ? 2sin

?
2

x ,集合 M ? x | f ? x ? ? 2, x ? 0 ,把 M 中的元素从小到大依次
*

?

?

排成一列,得到数列 ?an ? , n ? N (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)记 bn ?



1 1 ,设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 2 4 an ?1

18.已知国家某 5 A 级大型景区对拥挤等级与每日游客数量 n (单位:百人)的关系有如下规 定:当 n ??0,100? 时,拥挤等级为“优”;当 n ??100, 200? 时,拥挤等级为“良”;当

n ?? 200,300? 时,拥挤等级为“拥挤”;当 n ? 300 时,拥挤等级为“严重拥挤”.该景区对 6
月份的游客数量作出如图的统计数据:

(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表,求出 a , b 的值,并估计该景区 6 月份游客人 数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ;

4

游客数量(单位:百人) 天数 频率

?0,100? ?100, 200? ?200,300? ?300, 400?
a
b
10 4 1

1 3

2 15

1 30

(2)某人选择在 6 月 1 日至 6 月 5 日这 5 天中任选 2 天到该景区游玩,求他这 2 天遇到的 游客拥挤等级均为“优”的频率.

19.如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点.将

?AED、?DCF 分别沿 DE、DF 折起,使 A、C 两点重合于点 A? ,连结 EF , A?B .

(1)求异面直线 A?D 与 EF 所成角的大小; (2)求三棱锥 D ? A?EF 的体积.

20. 如图,抛物线 C : y 2 ? 2 px 的焦点为 F ,抛物线上一定点 Q ?1, 2 ? .

(1)求抛物线 C 的方程及准线 l 的方程; (2)过焦点 F 的直线(不经过 Q 点)与抛物线交于 A, B 两点,与准线 l 交于点 M ,记

QA, QB, QM 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ,问是否存在常数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ? k3 成立?若存在

? ,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

5

21.设函数 f ? x ?

1 ? a ? x 2 ? ax ? a ? . ? ex

(1)当 a ? 1 时,求曲线 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (2)当 x ? 0 时, f ? x ? 的最大值为 a ,求 a 的取值范围.

?

?

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程

? ?x ? ? 5 ? ? 在平面直角坐标系 xoy 中, 直线 l 的参数方程为 ? ? y? 5? ? ?

2 t 2 ( 为参数) , 以 O 为极点, t 2 t 2

x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为

? ? 4cos? .
(1)求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程; (2) 将曲线 C 上的所有点的横坐标缩短为原来的

1 , 再将所得到的曲线向左平移 1 个单位, 2

得到曲线 C1 ,求曲线 C1 上的点到直线 l 的距离的最小值.

23.选修 4-5:不等式选讲 设 f ? x ? ? x ?1 ? x ? 1 . (1)求 f ? x ? ? x ? 2 的解集; (2)若不等式 f ? x ? ?

a ? 1 ? 2a ? 1 a

对任意实数 a ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范围.

6

数学(文科)参考答案
一、选择题
1-5: CDDBC 6-10: CCBCC 11、12:BA

二、填空题
13.

2

14.

-1

15. 12

16. ? , ? ?8 4 ?

?3 3?

三、解答题
17.(1)∵ f ? x ? ? 2 ,∴

?
2

x ? k? ?

?
2

, x ? 2k ? 1, k ? Z ,

* 又∵ x ? 0 ,∴ an ? 2n ? 1 n ? N ;

?

?

(2)∵ bn ?

1 1 ? ?n ? N* ? , 2 an?1 ? 2n ? 1?2
2

bn ?

1

? 2n ? 1?

?

1 1 1?1 1 ? ? 2 ? ? ? ?, 4n ? 4n ? 1 4n ? 4n 4 ? n n ? 1 ?
2

∴ Tn ? b1 ? ? ? bn ?? ∴ Tn ?

1? 1 1 1 1 1 ? 1 1 1 ? , ?1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 4? 2 2 3 n n ? 1 ? 4 4 ? n ? 1? 4

1 得证. 4

18.解: (1)游客人数在 ?0,100? 范围内的天数共有 15 天, 故 a ? 15, b ?

15 1 ? , 30 2 1 1 2 1 ? 150 ? ? 250 ? ? 350 ? ? 120 ; 2 3 15 30

游客人数的平均数为 50 ?

(2) 从 5 天中任选两天的选择方法有: ?1,2? , ?1,3? , ?1,4? , ?1,5? , ?2,3? , ?2,4?, ?2,5?, ?3,4? ,

?3,5? , ? 4,5? ,共 10 种,其中游客等级均为“优”的有 ?1,4?, ?1,5 ?, ?4,5 ? ,共 3 种,故所求
概率为

3 . 10

? ?AE ? AD ,? 19.解: (1) 在正方形 ABCD 中, 因为有 AD ? AE, CD ? CF , 则 AD
又 A?E ? A?F ? A? , A?E, A?F ? 平面 A?EF ,所以 A?D ? 平面 A?EF .

AF ??



而 EF ? 平面 A?EF ,所以 A?D ? EF ,所以异面直线 A?D 与 EF 所成角的大小为 90° ; (2)因为正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点,所以在
7

Rt ?BEF 中,
BE ? BF ? 1 ,∴ EF ? 2 ,
而 A?E ? A?F ? 1 ,
2 2 2 ∴ A?E ? A?F ? EF ,∴ A?E ? A?F ,

1 1 ? 1? 1 ? , 2 2 由(1)得 A?D ? 平面 A?EF ,且 A?D ? 2 ,
∴ S? A?EF ? ∴ VD ? A?EF ?

1 1 1 1 S?A?EF A?D ? ? ? 2 ? . 3 3 2 3

20.解: (1)把 Q ?1, 2 ? 代入 y 2 ? 2 px ,得 2 p ? 4 ,所以抛物线方程为 y 2 ? 4 x , 准线 l 的方程为 x ? ?1 . (2)由条件可设直线 AB 的方程为 y ? k ? x ?1? ,k ? 0 .由抛物线准线 l : x ? ?1 ,可知

M ? ?1, ?2k ? ,又 Q ?1, 2? ,所以 k3 ?

2 ? 2k ? k ?1 , 1?1

把直线 AB 的方程 y ? k ? x ?1? ,代入抛物线方程 y 2 ? 4 x ,并整理,可得

k 2 x 2 ? 2 ? k 2 ? 2 ? x ? k 2 ? 0 ,设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?
又 Q ?1, 2 ? ,故 k1 ?

2k 2 ? 4 , x1 x2 ? 1 , k2

2 ? y1 2 ? y2 .因为 A, F , B 三点共线,所以 k AF ? kBF ? k , , k2 ? 1 ? x1 1 ? x2



y1 y ? 2 ?k, x1 ? 1 x2 ? 1

所以 k1 ? k2 ?

2 ? y1 2 ? y2 2kx1 x2 ? ? 2k ? 2?? x1 ? x2 ? ? 2k ? 4 ? ? ? 2 ? k ? 1? , 1 ? x1 1 ? x2 x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1

即存在常数 ? ? 2 ,使得 k1 ? k2 ? 2k3 成立. 21.解: (1)当 a ? 1 时, f ? x ? ?

?x ?1 x?2 1 , f ?1? ? 0, f ? ? x ? ? x , f ? ?1? ? ? , x e e e

所以曲线 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 x ? ey ? 1 ? 0 ; (2) f ? ? x ?

?

?

? a ? 1? x ? a ? a ? 1? x 2 ? ? 2 ? a ? x ? 2a ? ? ? ? x ? 2? , ? ??
ex ex

8

令 f ? ? x ? ? 0 得 x1 ?

a ? a ? 1? , x2 ? 2 , 1? a

①当 a ? 1 时, f ? x ? 在 ? 0, 2? 递减,在 ?2, ??? 递增, 当 x ??? 时, f ? x ? ? 0 ,

f ? x ?max ? f ? 0? ? a ;
②当

a 2 a ? ? a ? ? ? 2 即 ? a ? 1 时, f ? x ? 在 ?0, 2? 和 ? 递增, , ?? ? 递减, f ? x ? 在 ? 2, 1? a 3 ?1 ? a ? ? 1? a ? ?

2 a ? a ? f? ? ? a ? a 解得 0 ? a ? 1 ,所以 ? a ? 1 ; 3 ? 1? a ? e1?a
③当

a 2 ? 2 即 a ? 时, f ? x ? 在 ?0, ??? 递减, f ? x ?max ? f ? 0? ? a ; 1? a 3 a 2 a ? ? ? a ? ? 2, 即 0 ? a ? 时, f ? x ? 在 ?0, 和 ?2, ??? 递减, 在? , 2? 递增, ? 1? a 3 ? 1? a ? ?1 ? a ? 4 ? 5a 4 4 2 ? a ,解得 a ? 2 ?a? ; ,所以 2 2 e e ?5 e ?5 3

④当 0 ?

f ? 2? ?
⑤当

a ? 0 ,即 a ? 0 时, f ? x ? 在 ?0, 2? 递增, f ? x ? ? f ? 0? ? a 不合题意, 1? a

综上所述: a 的取值范围为 ? 第(2)问另解: ∵ f ? 0? ? a ,

? 4 ? , ?? ? . 2 ?e ? 5 ?

∴ f ? x ? 当 x ? 0 时的最大值为 a ,等价于 f ? x ? ? a 对于 x ? 0 恒成立, 可化为 a ?

x2 对于 x ? 0 恒成立, ex ? x2 ? x ? 1

x ? x ? 2 ? ?1 ? e x ? x2 令 g ? x? ? x ,则 g ? ? x ? ? , 2 x 2 e ? x2 ? x ?1 ? e ? x ? x ? 1?
于是 g ? x ? 在 ? 0, 2? 上递增,在 ? 2, ??? 上递减, ∴ g max ? x ? ? g ? 2 ? ?

4 4 ,∴ a 的取值范围是 a ? 2 . e ?5 e ?5
2
2

2 2 2 22.解: (1)曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 x ,即 ? x ? 2 ? ? y ? 4 ,

直线 l 的普通方程为 x ? y ? 2 5 ? 0 ;
9

(2)将曲线 C 上的所有点的横坐标缩短为原来的

1 2 2 ,得 ? 2 x ? 2 ? ? y ? 4 ,即 2

? x ? 1?

2

?

y2 ? 1, 4
2

再将所得曲线向左平移 1 个单位,得曲线 C1 : x ?

y2 ?1, 4

则曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ( ? 为参数). ? y ? 2sin ?

设曲线 C1 上任一点 P ? cos? ,2sin ? ? , 则点 P 到直线 l 的距离 d ?

cos ? ? 2sin ? ? 2 5 2

?

2 5 ? 5 sin ?? ? ? ? 2

?

10 (其中 2

1 tan ? ? ? ) , 2
所以点 P 到直线 l 的距离的最小值为 23.解: (1)由 f ? x ? ? x ? 2 得:

10 . 2

x?2?0 x?2?0 x?2?0 ? ? ? ? ? ? x ? ?1 ?1 ? x ? 1 x ?1 或? 或? , ? ?1 ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ?1 ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 1 ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ?
解得 0 ? x ? 2 , 所以 f ? x ? ? x ? 2 的解集为 ?x | 0 ? x ? 2? ; (2)

a ? 1 ? 2a ? 1 a

? 1?

1 1 1 1 ? 2 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 , a a a a

当且仅当 ?1 ?

? ?

1 ?? 1? ?? 2 ? ? ? 0 时,取等号, a ?? a?

由不等式 f ? x ? ?

a ? 1 ? 2a ? 1 a

对任意实数 a ? 0 恒成立,

可得 x ?1 ? x ? 1 ? 3,解得: x ? ?

3 3 或x? . 2 2

故实数 x 的取值范围是 ? ??, ? ? ? ? , ?? ? . 2 2

? ?

3? ?

?3 ?

? ?

10


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