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高一数学集合知识点讲解总结(包含课后练习及答案)


高一数学集合知识点总结
一.知识归纳: 1.集合的有关概念。 1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元 素 注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面 几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性(a?A 和 a?A,二者必居其一)、互异性(若 a?A,b?A,则 a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就 必须符号条件 2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类:有限集,无限集,空集。 4)常用数集:N,Z,Q,R,N* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集:若对 x∈A 都有 x∈B,则 A B(或 A B); 2)真子集:A B 且存在 x0∈B 但 x0 A;记为 A B(或 ,且 ) 3)交集:A∩B={x| x∈A 且 x∈B} 4)并集:A∪B={x| x∈A 或 x∈B} 5)补集:CUA={x| x A 但 x∈U} 注意:①? A,若 A≠?,则? A ; ②若 , ,则 ; ③若 且 ,则 A=B(等集)

3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的 符号:(1) 与 、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。 4.有关子集的几个等价关系 ①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB; ④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。 5.交、并集运算的性质 ①A∩A=A,A∩? = ?,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪? =A,A∪B=B∪A; ③Cu (A∪B)= CuA∩CuB,Cu (A∩B)= CuA∪CuB; 6. 有限子集的个数: 设集合 A 的元素个数是 n, A 有 2n 个子集, 则 2n-1 个非空子集, 2n-2 个非空真子集。 二.例题讲解: 【例 1】已知集合 M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z},则 M,N,P 满足 关系 A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M 分析一:从判断元素的共性与区别入手。 解答一:对于集合 M:{x|x= ,m∈Z};对于集合 N:{x|x= ,n∈Z} 对于集合 P:{x|x= ,p∈Z},由于 3(n-1)+1 和 3p+1 都表示被 3 除余 1 的数,而 6m+1 表示被 6 除余 1 的数,所以 M N=P,故选 B。 分析二:简单列举集合中的元素。 解答二:M={…, ,…},N={…, , , ,…},P={…, , ,…},这时不要急于判断 三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。 = ∈N, ∈N,∴M N,又 = M,∴M N, = P,∴N P 又 ∈N,∴P N,故 P=N,所以选 B。

点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路 一,但思路二易人手。 变式:设集合 , ,则( B ) A.M=N B.M N C.N M D. 解: 当 时,2k+1 是奇数,k+2 是整数,选 B 【例 2】定义集合 A*B={x|x∈A 且 x B},若 A={1,3,5,7},B={2,3,5},则 A*B 的子集个 数为 A)1 B)2 C)3 D)4 分析:确定集合 A*B 子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合 A={a 1,a2,…,an}有子集 2n 个来求解。 解答: ∵A*B={x|x∈A 且 x B}, ∴A*B={1,7}, 有两个元素, A*B 的子集共有 22 个。 故 选 D。 变式 1:已知非空集合 M {1,2,3,4,5},且若 a∈M,则 6?a∈M,那么集合 M 的个数为 A)5 个 B)6 个 C)7 个 D)8 个 变式 2:已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合 A. 解:由已知,集合中必须含有元素 a,b. 集合 A 可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}. 评析 本题集合 A 的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有 个 . 【例 3】已知集合 A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且 A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求 实数 p,q,r 的值。 解答:∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3. ∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A ∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程 x2+px+q=0 的两根为-2 和 1,

∴ ∴ 变式: 已知集合 A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且 A∩B={2},A∪B=B, 求实数 b,c, m 的值. 解:∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5 ∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴ 又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4 ∴b=-4,c=4,m=-5 【例 4】已知集合 A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合 B 满足:A∪B={x|x>-2},且 A∩B={x |1 分析:先化简集合 A,然后由 A∪B 和 A∩B 分别确定数轴上哪些元素属于 B,哪些元素 不属于 B。 解答:A={x|-21}。由 A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B,而(-∞,-2)∩B=ф 。 综合以上各式有 B={x|-1≤x≤5} 变式 1:若 A={x|x3+2x2-8x>0},B={x|x2+ax+b≤0},已知 A∪B={x|x>-4},A∩B=Φ ,求 a,b。(答案:a=-2,b=0) 点评: 在解有关不等式解集一类集合问题, 应注意用数形结合的方法, 作出数轴来解之。 变式 2: M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}, M∩N=N, 设 若 求所有满足条件的 a 的集合。 解答:M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M ①当 时,ax-1=0 无解,∴a=0 ② 综①②得:所求集合为{-1,0, } 【例 5】已知集合 ,函数 y=log2(ax2-2x+2)的定义域为 Q,若 P∩Q≠Φ ,求实数 a 的 取值范围。 分析:先将原问题转化为不等式 ax2-2x+2>0 在 有解,再利用参数分离求解。 解答:(1)若 , 在 内有有解

令 当 时, 所以 a>-4,所以 a 的取值范围是 变式:若关于 x 的方程 有实根,求实数 a 的取值范围。 解答: 点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论, 怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。 三.随堂演练 选择题 1. 下列八个关系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0} ⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正确的个数 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 2.集合{1,2,3}的真子集共有 (A)5 个 (B)6 个 (C)7 个 (D)8 个 3.集合 A={x } B={ } C={ }又 则有 (A)(a+b) A (B) (a+b) B (C)(a+b) C (D) (a+b) A、B、C 任一个 4.设 A、B 是全集 U 的两个子集,且 A B,则下列式子成立的是 (A)CUA CUB (B)CUA CUB=U (C)A CUB= (D)CUA B= 5.已知集合 A={ }, B={ }则 A = (A)R (B){ } (C){ } (D){ } 6.下列语句:(1)0 与{0}表示同一个集合; (2)由 1,2,3 组成的集合可表示为

{1,2,3}或{3,2,1}; (3)方程(x-1)2(x-2)2=0 的所有解的集合可表示为 {1, 1,2}; (4)集合{ }是有限集,正确的是 (A)只有(1)和(4) (B)只有(2)和(3) (C)只有(2) (D)以上语句都不对 7.设 S、T 是两个非空集合,且 S T,T S,令 X=S 那么 S∪X= (A)X (B)T (C)Φ (D)S 8 设一元二次方程 ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式 ,则不等式 ax2+bx+c 0 的解集为 (A)R (B) (C){ } (D){ } 填空题 9.在直角坐标系中,坐标轴上的点的集合可表示为 10.若 A={1,4,x},B={1,x2}且 A B=B,则 x= 11.若 A={x } B={x },全集 U=R,则 A = 12.若方程 8x2+(k+1)x+k-7=0 有两个负根,则 k 的取值范围是 13 设集合 A={ },B={x },且 A B,则实数 k 的取值范围是。 14.设全集 U={x 为小于 20 的非负奇数},若 A (CUB)={3,7,15},(CUA) B={13, 17,19},又(CUA) (CUB)= ,则 A B= 解答题 15(8 分)已知集合 A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1}, 若 A B={-3},求实数 a。 16(12 分)设 A= , B= , 其中 x R,如果 A B=B,求实数 a 的取值范围。 四.习题答案 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8

C C B C B C D D 填空题 9.{(x,y) } 10.0, 11.{x ,或 x 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11} 解答题 15.a=-1 16.提示:A={0,-4},又 A B=B,所以 B A (Ⅰ)B= 时, 4(a+1)2-4(a2-1)<0,得 a<-1 (Ⅱ)B={0}或 B={-4}时, 0 得 a=-1 (Ⅲ)B={0,-4}, 解得 a=1 综上所述实数 a=1 或 a -1


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