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福建省师大附中2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题


福建师大附中 2015-2016 学年第一学期模块考试卷 高一数学必修 2
(满分:150 分,时间:120 分钟) 说明:请将答案填写在答卷纸上,考 试结束后只交答案卷. 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 1. 已知直线方程 y - 3 = 3( x - 4) ,则这条直线的倾斜角是( A. 150
?

) D. 30
?

B. 120

?

C. 60

?

2. 在空间直角坐标系中,点 P(1,3, 6) 关于 x 轴对称的点的坐标是( A. (1,3, ?6) B. (?1,3, ?6) C. (?1, ?3,6)



D. (1, ?3, ?6) )

3.已知 α ,β 是平面,m,n 是直线.下列命题中不 正确的是( . A.若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α C.若 m⊥α ,m⊥β ,则 α ∥β

B.若 m∥α ,α ∩β = n,则 m∥n D.若 m⊥α ,m ? β ,则 α ⊥β )

4.已知 l1 : mx ? y ? 2 ? 0, l2 : (m ? 1) x ? 2my ? 1 ? 0, 若 l1 ? l2 则 m=(

A.m=0 B.m=1 C.m=0 或 m=1 D.m=0 或 m= ?1 5. 正方体 ABCD - A ' B ' C ' D ' 中, AB 的中点为 M , DD' 的中点为 N , 异面直线 B' M 与 CN 所成的角是( ) A. 0
?

B. 90

?

C. 45

?

D. 60

?

6.若长方体的一个顶点上三条棱长分别是 1 、1、2,且它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的体积是 ( ) A. 6?
2

B. 6?
2

C. 3?

D. 12? )

7.圆(x﹣1) +(y﹣2) =1 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称的圆的方程为( A. ( x ? 4)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 C. (x+2) +(y+4) =1
2 2

B. ( x ? 4)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 D. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1

8.已知实数 x, y 满足 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 12) 2 ? 25, 那么 x 2 ? y 2 的最小值为( A.5 B. 8 C. 13 D.18



9.如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC ? 2 ,

AA1 ? 1 ,则 BC1 与平面 BB1 D1 D 所成角的正弦值为(



D1

C1

A1
D

B1
B

C
1

A

3 6 15 C. 5
A.

2 5 5 10 D. 5
B.
2

10.已知点 A(-2,0), B(0,4) ,点 P 在圆 C : (x - 3) + y-4 ( A.0 ) B.1 C.2

(

)2 = 5 ,则使∠APB = 900 的点
D.3

P 的个数为

11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球 (半径为r ) 组成一个几何体, 该几何体的三视图 中的正视图和 俯视图如图所示,若该几何体的表面积为 64 ? 80?,则r ? ( A. 1 B. 2 C. 4 ) D. 8

12. 已知点 M (a, b) , (ab ? 0) 是圆 O : x2 ? y 2 ? r 2 内一点,直线 m 是以点 M 为中点的弦所在直线,直 线 n 的方程是 ax ? by ? r 2 ,那么( A. m / / n 且 n 与圆 O 相离 C. m 与 n 重合且 n 与圆 O 相离 ) B. m / / n 且 n 与圆 O 相交 D. m ? n 且 n 与圆 O 相交

二、填空题: (本大题 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答卷上) 13.不论 k 为何值,直线 (2k ? 1) x ? (k ? 2) y ? (k ? 4) ? 0 恒过的一个定点是__________. 14.在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,二面角 C1 ? BD ? C 的正切值为 15.点 P(4,-2)与圆 x 2+y 2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是 16.若直线 x ? y ? k 与曲线 y ? 1 ? x 2 恰有一个公共点,则 k 的取值范围是 . . .

17.已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 内的射影为 △ ABC 的中心,则

AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于



18. 若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 0与l2 : x ? y ? 6 ? 0 所截得的线段的长为 2 3 , 则 m 的倾斜角可以 是 ① 15
?

② 45

?

③ 60

?

④ 105

?

⑤ 120

?

⑥ 165

?

2

其中正确答案的序号是

. (写出所有正确答案的序号)

三、解答题: (本大题共 5 题,满分 60 分) 19. (本小题满分 12 分) 如图 , 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标为 A( ? 1, 4) , B( ? 2,?1) , C (2 ,3) . (1)求平行四边形 ABCD 的顶点 D 的坐标; (2)在 ? ACD 中,求 CD 边上的高线所在直线方程; (3)求 ?ACD 的面积.
A

y

C

O B

x

20. (本小题满分 13 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 A B C D是 边 长 为

a 的 正 方 形 , 侧 面 PAD ? 底 面 A B C D, 且
P E D F A B C

P A ? P D?

2 ,设 E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. AD 2

(1) 求证: EF //平面 PAD ; (2) 求证:面 PAB ? 平面 PDC ; (3) 求二面角 B ? PD ? C 的正切值. 21.(本小题满分 10 分)

一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥.在正常水位时,拱圈最高点距水面 8m ,拱圈内水面 宽 32m ,船只在水面以上部分高 6.5m ,船顶部宽 8m ,故通行无 阻,如下图所示. (1) 建立适当平面直角坐标系,求正常水位时圆弧所在的圆的方程; (2)近日水位暴涨了 2 m ,船已经不能通过桥洞了.船员必须加重船载,降低船身在水 高度,试问:船身至少降低多少米才能通过桥洞?(精确到 0.1m , 6 ? 2.45 ) 面以上的

8 8 32

C

C1 B1 A1

B A

3

22. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, CA ? CB , AB ? AA1 , ?BAA1 ? 60? . (1)证明: AB ? A1C ; (2)若 AB ? CB ? 2 , A1C ?

6 ,求三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积.

23. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 16 和圆 C2 : ( x ? 7)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 , (1)求过点 (4, 6) 的圆 C1 的切线方程; (2)设 P 为坐标平面上的点,且满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2 ,它们分别与圆 C1 和 圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长是直线 l2 被圆 C2 截得的弦长的 2 倍. 试求所有满足条件的点 P 的 坐标.

4

福建师大附中 2015-2016 学年第一学期期末考答卷 高一数学 总分

一、 选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 二、填空题: (本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

得分 12

得分 13. . 14. .15. .

16. . 17. 三、解答题:(本题共 5 小题,共 60 分) 19.(本题满分 12 分)

. 18.

. 得分
y
A C

O B

x

5

19.

6

20.(本题满分 13 分)

得分

P E D F A B C

7

21. (本题满分 10 分)

得分

8 8 32

8

22.(本题满分 12 分)

C

C1 B1 A1

B A

23.(本题满分 13 分)

9

福建师大附中 2015-2016 学年第一学期模块考试卷解答 高一数学必修 2 一 、 选 择 题 : CDBCB,BABDB, CA 二 、 填 空 题 : 16. ?1 ? k ? 1或k ? 13. (2,3) 14 .

2 15. ( x ? 2)2+(y ? 1)2= 1

2

17.

2 3

18. ④或⑥

三、解答题: (本大题共 5 题,满分 60 分) 19.解: (1) 设AC 边中点为 M , 则M点坐标为(

1 7 ,) 1分 2 2 ………

设点 D 坐标为(x,y),由已知得 M 为线段 BD 中点,有

?? 2 ? x 1 ? ? ? 2 2 ? ? ?1? y ? 7 ? 2 ? 2
所以 D(3,8)

解得 ?

?x ? 3 ?y ? 8
…………………4 分

(2) ? 直线kCD ? 3 ? 2 ? 5 ……………………5 分 所以 CD 边上的高线所在直线的斜率为 ? 5 …………………6 分 故 CD 边上的高线所 在直线的方程为 y ? 4 ? ? 5 ( x ? 1) ,即为 x ? 5 y ? 19 ? 0 ………8 分 (3)? C (2,3), D(3,8)

8?3

1

1

?| CD |? (2 ? 3) 2 ? (3 ? 8) 2 ? 26
由 C,D 两点得直线 CD 的方程为: 5x ? y ? 7 ? 0 ……………………10 分

? A到直线CD的距离d ( A, CD) ?

| ?5 ? 4 ? 7 | 16 ? 26 26 ………………11 分

? S?ABC ?

1 1 16 | CD | ?d ( A, CD) ? ? 26 ? ?8 2 2 26 …………………………12 分

20. (本小题满分 13 分) (1)证明: ABCD 为平行四边形 连结 AC ? BD ? F , F 为 AC 中点,

P E M D F A B C

E 为 PC 中点∴在 ?CPA 中, EF // PA
且 PA ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD ∴ EF // 平面PAD ………4 分

10

(2)证明:? 面 PAD ? 面 ABCD

,平面 PAD ? 面 ABCD ? AD

又? ABCD 为正方形? CD ? AD ,且 CD ? 平面 ABCD

? CD ? 平面 PAD
又 PA ? PD ?

∴ CD ? PA

2 AD ? ?PAD 是等腰直角三角形, 2

? PA ? PD
又 CD ? PD ? D ,且 CD 、 PD ? 面 ABCD

? PA ? 面 PDC ? 面 PAB ? 面 PDC

又? PA ? 面 PAB ………8 分

(3) 解:设 PD 的中点为 M ,连结 EM , MF ,则 EM ? PD , 由(2)知 EF ? 面 PDC

? EF ? PD ? PD ? 面 EFM

? PD ? MF ,

? ?EMF 是二面角 B ? PD ? C 的平面角
在 Rt ?FEM 中, EF ?

1 2 PA ? a 2 4

1 1 EM ? CD ? a 2 2

2 a EF 2 tan ?EMF ? ? 4 ? 1 EM 2 a 2

故所求二面角的正切值为

2 2

………13 分

21.(本小题满分 10 分) 21.(1)解:在正常水位时,设水面与桥横截面的交线为 x 轴,过拱圈最高点且与水面垂直的直线为 y 轴, 建立平面直角坐标系,如图所示,则 A,B,D 三点的坐标分别为(-16,0) , (16,0) , (0,8) .又圆心 C 在 y 轴上,故可设 C(0, b). 因为|CD|=|CB|,所以 8 ? b ? 162 ? b2 ,解得 b ? ?12 .所以圆拱所在圆的方程为:

x2 ? ( y ? 12)2 ? (8 ? 12)2 ? 202 =400
(2)当 x=4 时,求得 y≈7.6, 即桥拱宽为 8m 的地方距正常水位时的水面约 7.60m,
11

距涨水后的水面约 5.6m,因为船高 6.5m,顶宽 8m, 所以船身至少降低 6.5-5.6=0.9(m)以上,船才能顺利通过桥洞.

C

C1 B1 A1

B
22. (本小题满分 12 分

A

(1)取 AB 的中点 O,连接 OC 、 OA1 、 A 1B ,因为 CA=CB,所以 OC ? AB ,由于 AB=A A1,∠BA A1=60 ,故 ?AA, B 为等边三角形,所以 OA 1 ⊥AB.
0

因为 OC ? OA 1 =O,所以 AB ? 平面 OA 1 C.又 A 1 C ? 平面 OA 1 C,故 AB ? A 1 C. (2)由题设知

?ABC与?AA1B都是边长为2的等边三角形,

? AA1 B都是边长为2的等边三角形,所以

OC ? OA1 ? 3, 又A1C ? 6,则OA1 ? OC 2 =A1C2,故OA1 ? OC , 又 ? OA1 ? AB
因为OC ? AB ? O, 所以OA1 ? 平面ABC,OA1为棱柱ABC -A1B1C1的高, 又?ABC的面积S? ABC ? 3,故三棱柱ABC-A1 B1C1的体积V =S? ABC ? OA1 ? 3.
23. (本小题满分 13 分) 解: (1)若切线的斜率存在,可设切线的方程为 y ? 6 ? k ? x ? 4? , 则圆心 C1 到切线的距离 d ?

4k ? 6 1? k 2

? 4 ,解得 k ?

5 所以切线的方程为: 5x ? 12 y ? 52 ? 0 ; 12

若切线的斜率不存在,则切线方程为 x ? 4 ,符合题意. 综上所述,过 P 点的圆 C1 的切线方程为 5x ? 12 y ? 52 ? 0 或 x ? 4 . (2)设点 P (a, b) 满足条件, 不妨设直线 l1 的方程为: y ? b ? k ( x ? a)(k ? 0) ,即 ……4 分

1 kx ? y ? b ? ak ? 0(k ? 0) , 则直线 l2 的方程为: y ? b ? ? ( x ? a ) ,即 x ? ky ? bk ? a ? 0 .因为圆 C1 的 k
半径是圆 C2 的半径的 2 倍,及直线 l1 被圆 C1 截得的弦长是直线 l2 被圆 C2 截得的弦长的 2 倍,所以圆 C1 的圆 心 到 直 线 l1 的 距 离 是 圆 C2 的 圆 心 到 直 线 l2 的 距 离 的 2 倍 , 即

12

b ? ak 1? k 2
整理得

? 2?

7 ? 4k ? bk ? a 1? k 2

……8 分

ak ? b ? 2a ?14 ? (2b ? 8)k

从而 ak ? b ? 2a ? 14 ? (2b ? 8)k 或 b ? ak ? 2a ? 14 ? (2b ? 8)k , 即 (a ? 2b ? 8)k ? 2a ? b ? 14 或 (a ? 2b ? 8)k ? ?2a ? b ? 14 , 因为 k 的取 值有无穷多个,所以 ?

?a ? 2b ? 8 ? 0 ?a ? 2b ? 8 ? 0 或? , ?2a ? b ? 14 ? 0 ??2a ? b ? 14 ? 0

……11 分

解得 ?

?a ? 4 或 ?b ? 6

36 ? a? ? 36 2 ? 5 , ) .经检验点 P1 和点 P2 满足题目条件. ,这样点 P 只可能是点 P ? 2( 1 (4,6) 或点 P 5 5 ?b ? 2 ? 5 ?

……13 分

13


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