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安徽省合肥一中2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题


合肥一中 2015-2016 学年第一学期高一期末试卷 数学试题
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. A ? {?4, 2a ? 1, a 2 } , B ? {a ? 5,1 ? a,9}, 且 A ? B ? {9} ,则 a 的值是( A. a ? 3 2. 函数 y ? B. a ? ?3 C. a ? ?3 ) D. a ? 5或a ? ?3 )

log 2 ?4 x ? 1?
3 4

1

的定义域为(

A. (0, )

1 2

B. ( , ? ?)

C. ( , ? ?)

1 2

?3 ? D.? ,1? ?4 ?
)

3. 若方程 x 2 ? mx ? 3 ? 0 的两根满足一根大于 1,一根小于 1,则 m 的取值范围是( A. (2, ? ?)
1

B. (0, 2)
1

C. (4, ? ?)

D. (0,4) ) D. b ? a ? c )

4.设 a ? 0.5 2 , b ? 0.8 2 , c ? log 2 0.5 ,则( A. c ? b ? a B. c ? a ? b

C. a ? b ? c

5. 为了得到函数 y ? sin(3 x ?

? ) 的图象,只需把函数 y ? sin 3 x 的图象( 3
B.向左平移 D.向左平移

A.向右平移 C.向右平移

? ?
9 3

个单位长度 个单位长度

? ?
9 3

个单位长度 个单位长度

7π sin cosπ 10 ? ? 6. 给出下列各函数值:① sin 100 ? ;② cos(?100 ) ;③ tan(?100 ) ;④ .其中符号为负 17π tan 9 的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 7.设 D 为 ?ABC 所在平面内一点 BC ? 3CD ,则( )

??? ?

??? ?

4 1 AB + AC 3 3 1 4 C. AD = - AB + AC 3 3
A. AD = 8. 已知 ? ? R, sin ? ? 2 cos ? ? A. -

B. AD ?

? 4 ???? 1 ??? AB ? AC 3 3 ??????? ? ???? 4 ??? ? 1 D. AD ? AB ? AC 3 3
) D. -

????

10 ,则 tan 2? ? ( 2
C.

3 3 或4 5

B. ?

3 4

3 4

3 5

1

9. 设 0 ? a ? 1 ,实数 x, y 满足 | x | ? log a y 1 0 x B 0 x y

1 ? 0 ,则 y 关于 x 的函数的图像形状大致是( y
y y



1

0

1 x D

0

1

x

A

C

10.若函数 f ( x) ? log a (2 x 2 ? x) (a ? 0, a ? 1) 在区间 (0, ) 内恒有 f ( x) ? 0 ,则 f ( x) 的单调递增 区间为( )

1 2

1 1 C. (0,+?) D. ( ??,? ) ,??) 4 4 ? b ?2 ? x , x ? 2, 11. 已知函数 f ? x ? ? ? 函数 g ( x) ? ? f (2 ? x) ,其中 b ? R ,若函数 2 2 ? ?? x ? 2 ? , x ? 2, y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是( )
A. ( ??,? ) B. (? A. ( ,??)

1 2

7 8

B. ( ,2)

7 4

C. ( ,1)

7 8

D. ( ,4)

7 2

12. 设向量 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 4 , a ? b ? 0 .以 a , b , a ? b 的模 为边长构成三角形,则 它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 ( ) .

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

17? 的正弦线和余弦线,则给出的以下不等式: 18 ① MP ? OM ? 0 ;② MP ? 0 ? OM ; ③ OM ? MP ? 0 ;④ OM ? 0 ? MP ,
13. 设 MP 和 OM 分别是角 其中正确的是______________________。 14.设函数 f ( x) ?

2x ( x ? R) ,若用 [m] 表示不超过实数 m 的最大整数,则函数 1 ? 2x

1 1 y ? [ f ( x) ? ] ? [ f (? x) ? ] 的值域为____________. 2 2
15.在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,0) 和点 B (?3,4) ,若点 C 在 ?AOB 的平分线上且 | OC 则 OC

|? 2 ,

? ______________.
2

16. 设函数 f ( x) ? x ? ax ? a ? 3 ,g ( x) ? x ? a 若不存在 使 得 f ( x0 ) ? 0 与 g ( x0 ) ? 0 同时 ...x0 ? R , 成立,则实数 a 的取值范围是 .

三、解答题(本题共 6 小题)

? ? ? 2 3 17. (本小题满分10分)已知? ?( ,? ),且 sin + cos = , 2 2 2 3 (1)求 cos ?的值;
3 ? (2) sin(? ? ? ) ? ? ,? ?(0, )求 sin ?的值。 5 2
18.(本题 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? 大值点和最小值点分别为 (? , 2) 和 (4? , ?2) . (1)试求 f ( x) 的解析式; (2)将 y ? f ( x) 图象上所有点 的横坐标缩短到原来的 正方向平移

?
2

) 的图象在 y 轴右侧的第一个最

? 个单位,得到函数 y ? g ( x ) 的图象.写出函数 y ? g ( x ) 的解析式. 3
??? ? ? ???? ?

1 (纵坐标不变) ,然后再将新的图象向 x 轴 4

19.(本题 12 分) 如图在长方形 ABCD 中,AB ? a, AD ? b, N 是 CD 的中点,M 是线段 AB 上的点,

? ? a ? 2, b ? 1 .
(1)若 M 是 AB 的中点,求证: AN 与 CM 共线; (2)在线段 AB 上是否存在点 M ,使得 BD 与 CM 垂直?若不存在 请说明理由,若存在请求出 M 点的位置; (3)若动点 P 在长方形 ABCD 上运动,试求 AP ? AB 的最大值及取得最大值时 P 点的位置。 20.(本题 12 分) (A 题宏志班做) 已知函数 f ? x ? ? log 2

????

???? ?

??? ?

???? ?

??? ? ??? ?

x ?1 , g ? x ? ? 2ax ? 1 ? a ,又 x ?1

h ? x? ? f ? x? ? g ? x?
(1) a ? 1 时,求证: h ? x ? 在 x ? ?1, ?? ? 上单调递增,并证明函数 h ? x ? 在定义域内有两个零点; (2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? log 2 g ? x ? 有两个不等实数根,求 a 的取值范围。

20.(本题 12 分) (B 题全省班做) 设 f ( x) ? x ? ax ? 2 .当 x ? ?1, ?? ? 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数
2

a 的取值范围.

21. (本题 12 分)(A 题宏志班做) 我国加入 WTO 后,根据达成的协议,若干年内某产品 关税与市场供应量 P 的关系允许近似的满足: y ? P ( x) ? 2 率,且 t ? [0, ) , x 为市场价格, b 、 k 为正常数) ,当 t ? (1)根据图象 求 b 、 k 的值; (2)若市场需求量为 Q ,它近似满足 Q ( x) ? 2
11? x 2

(1? kt )( x ? b )2

(其中 t 为关税的税

1 2

1 时的市场供应量曲线如图: 8

.当 P ? Q 时的市

场价格称为市场平衡价格.为使市场平衡价格控制在不低于 9 元,求税 率 t 的最小值.

21. (本题 12 分)(B 题全省班做) 《中华人民共和国个人所得税》规定,公民全月工资 所得不超过 3500 元的部分不必纳税, 超过 3500 元的部分为全月应纳税所得额。 此项税款按 下表分 段累计计算: 全月应纳税所得额 不超过 1500 元的部分 超过 15 00 元至 4500 元的部分 超过 4500 元至 9000 元的部分 税率(%) 3 10 20

某人一月份的工资为 8660 元,那么他当月应缴纳的个人所得税是多少元? 22. (本题 12 分) (宏志班全做,全省班做前两问) (本题 12 分)已知函数

f ( x) ? x | 2a ? x | ?2 x , a ? R .
(1)若 a ? 0 ,判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并加以证明; (2)若函数 f ( x) 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3) 若存在实数 a ? ? ?2, 2? , 使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a ) ? 0 有三个不相等的实数 根,求实数 t 的取值范围.

合肥一六八中学 2015-2016 学年第一学期高一期末试卷 数学试题答案 一、选择题答案(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 B 2 C 3 C 4 B 5 A 6 B 7 C 8 B 9 A 10 A 11 D 12 B

二、填空题答案(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13 . ④_. 14.

{0, 1}

. 15. (

2 5 4 5 , ) 16. a ? ? ?3, 6? 5 5

三、解答题(本题共 6 小题) 17.(本题 10 分)

(1) cos ? ? ? (2)

2 2 3

2 2 4 ? 5 15

18.(本题 12 分)

x ? (1) f ( x) ? 2 sin( ? ) 3 6 4 5? (2) g ( x) ? 2 sin( x ? ) 3 18
19.(本题 12 分) (2) M ( ,0) (3) 最大值为4,此时P在BC上 20.(本题 12 分) (A 题宏志班做) (1) h ? x ? ? log 2

3 2

x ?1 ? 2x x ?1
x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? 2 ? x1 ? x2 ? x1 x2 ? x2 ? x1 ? 1

任取 1 ? x1 ? x2 , h ? x1 ? ? h ? x2 ? ? log 2

1 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0, 0 ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? x1 x2 ? x2 ? x1 ? 1 ,
有 h ? x1 ? ? h ? x2 ? ? 0 , h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数;

1 1 5 ?5? h ? 2 ? ? log 2 ? 4 ? 0, h ? ? ? log 2 ? ? 0 , 又 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数, h ? x ? 在 3 9 2 ?4?

5? ?5 ? ? ? , 2 ? 上有一个零点; h ? x ? 为奇函数, h ? x ? 在 ? ?2, ? ? 上有一个零点,综上 h ? x ? 有两 4? ?4 ? ?
个零点; (2) f ? x ? ? log 2 g ? x ? 有两个零点等价于 根;

x ?1 ? 2ax ? 1 ? a 在 ? ??, ?1? ? ?1, ?? ? 上有两个 x ?1

2 2x ? x ?1 ? ?1 ? a ? 0 a??
2

20.(本题 12 分) (B 题全省班做) a ? 2 2 21. (本题 12 分)(A 题宏志班做)

(1) ?

?k ? 6 ?b ? 5

x 1 2 ? 1 ? 22 ? x ? 1 ? [ 17 ? ] ……………… 10 分 (2) 1 ? 6t ? 2 2 2 ( x ? 5) 2 ( x ? 5) 2 ( x ? 5) x?5 11 ?
1 1 ( x ? 9) ,? m ? (0, ] , x?5 4 1 1 设 f (m) ? 17 m 2 ? m, m ? (0, ] ,对称轴为 m ? 4 34 1 13 1 1 13 ,所以,当 m ? 时 , 1 ? 6t 取 到 最 大 值 : ? ,即 ? f ( x) max ? f ( ) ? 4 16 4 2 16 1 13 19 , 解 得 : t ? , 即 税 率 的 最 小 值 为 1 ? 6t ? ? 2 16 192 19 . ……………… 15 分 192 19 答:税率 t 的最小值为 . 192
令m ? 21. (本题 12 分)(B 题全省班做) 477 元 22. (本题 12 分) (宏志班全做,全省班做前两问) (本题 12 分) (1)奇函数 (2) ?1 ? a ? 1 时,函数 y ? f ( x) 在 R 上是增函数; (3) 1 ? t ?

9 . 8


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