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2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5节椭圆课件文


抓 基 础 · 自 主 学 习 明 考 向 · 题 型 突 破

第五节

椭圆

课 时 分 层 训 练

[考纲传真]

1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问

题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.3.理解数形结合 思想.4.了解椭圆的简单应用.

1.椭圆的定义 (1)我们把平面内到两个定点F1,F2的距离 之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的

集合叫作 椭圆 .这两定点F1,F2叫作椭圆的 焦点 ,两个焦点F1,F2间的距离叫 作椭圆的 焦距 .

(2)集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0. ①当2a>|F1F2|时,M点的轨迹为椭圆; ②当2a=|F1F2|时,M点的轨迹为线段F1F2; ③当2a<|F1F2|时,M点的轨迹不存在.

2.椭圆的标准方程和几何性质

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )

(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的 长半轴长,c为椭圆的半焦距).( ) ) )

(3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.(

(4)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.(

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√

1 2.(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于 2 ,则 C的方程是( ) x2 y2 B. 4 + =1 3 x2 y2 D. 4 + 3 =1

x2 y2 A. 3 + 4 =1 x2 y2 C. 4 + 2 =1

D [椭圆的焦点在x轴上,c=1. c 1 又离心率为a=2,故a=2,b2=a2-c2=4-1=3, x2 y2 故椭圆的方程为 4 + 3 =1.]

x2 y2 3.(2015· 广东高考)已知椭圆 25 + m2 =1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m= ( ) A.2 C.4 B.3 D.9

B [由左焦点为F1(-4,0)知c=4.又a=5,∴25-m2=16,解得m=3或-3.又 m>0,故m=3.]

4.(2016· 全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的 1 距离为其短轴长的4,则该椭圆的离心率为( 1 A.3 2 C.3 1 B.2 3 D.4 )

b B [如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|· |OF|=|AF|· |OB|,即bc=a·2 , c 1 所以e=a=2.]

x2 y2 5.椭圆 4 + 3 =1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A,B,当△FAB的 周长最大时,△FAB的面积是__________.
3 [直线x=m过右焦点(1,0)时,△FAB的周长最大,由椭圆定义知,其周长

为4a=8,即a=2, b2 2×3 此时,|AB|=2× a = 2 =3, 1 ∴S△FAB=2×2×3=3.]

椭圆的定义与标准方程

(1)如图851所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆 周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM 交于点P,则点P的轨迹是( A.椭圆 C.抛物线 ) B.双曲线 D.圆

2 y (2)设F1,F2分别是椭圆E:x2+ b2 =1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线

交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为__________.
3 2 (1)A (2)x +2y =1 [(1)由条件知|PM|=|PF|.
2

【导学号:66482393】

∴|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R>|OF|. ∴P点的轨迹是以O,F为焦点的椭圆.

(2)不妨设点A在第一象限,设半焦距为c, 则F1(-c,0),F2(c,0).

∵AF2⊥x轴,则A(c,b2)(其中c2=1-b2,0<b<1). → → 又|AF1|=3|F1B|,得AF1=3F1B,

设B(x0,y0),则(-2c,-b2)=3(x0+c,y0), 5c b2 ∴x0=- 3 且y0=- 3 ,
2 y 代入椭圆x2+b2=1,得25c2+b2=9,①

又c2=1-b2,② 2 联立①②,得b =3.
2

3 2 故椭圆E的方程为x +2y =1.]
2

[规律方法] 件.

1.(1)利用椭圆的定义定形状时,一定要注意常数2a>|F1F2|这一条

(2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时,常利用勾股定理、正(余)弦定 理、椭圆定义,但一定要注意|PF1|+|PF2|与|PF1|· |PF2|的整体代换. 2.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定位,再定 量,即首先确定焦点所在的位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组,若焦 点位置不确定,可把椭圆方程设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)的形式.

x2 y2 [变式训练1] (1)已知F1,F2是椭圆C: a2 + b2 =1(a>b>0)的两个焦点,P为椭 → ⊥PF →. 圆C上的一点,且PF 1 2 若△PF1F2的面积为9,则b=__________. (2)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C 于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为__________. 【导学号:66482394】

(1)3

x2 y2 (2) 4 + 3 =1

→ → [(1)由定义,|PF1|+|PF2|=2a,且PF ⊥ PF 1 2,

∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2, ∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2, ∴2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2,∴|PF1||PF2|=2b2. 1 1 ∴S△PF1F2=2|PF1||PF2|=2×2b2=9,因此b=3.

x2 y2 (2)依题意,设椭圆C:a2+b2=1(a>b>0). 过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|=3,
? 3? ∴点A?1,2?必在椭圆上, ? ?

1 9 ∴a2+4b2=1.① 又由c=1,得1+b2=a2.② 由①②联立,得b2=3,a2=4. x2 y2 故所求椭圆C的方程为 4 + 3 =1.]

椭圆的几何性质

x2 y2 (2016· 全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点,F是椭圆C: a2 + b2 =1(a>b>0) 的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直 线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为 ( ) 1 A.3 2 C.3 1 B.2 3 D.4

y0 A [法一:设点M(-c,y0),OE的中点为N,则直线AM的斜率k= ,从 a-c y0 ay0 而直线AM的方程为y= (x+a),令x=0,得点E的纵坐标yE= . a-c a-c ay0 同理,OE的中点N的纵坐标yN= . a+c 2 1 ∵2yN=yE,∴ = ,即2a-2c=a+c, a+c a-c c 1 ∴e=a=3.

法二:如图,设OE的中点为N,由题意知 |AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a.

∵PF∥y轴, |MF| |AF| a-c |MF| |BF| a+c ∴ |OE| =|AO|= a ,|ON|=|OB|= a . a-c a+c |MF| |MF| 又 |OE| =2|ON|,即 a = 2a , c 1 ∴a=3c,故e=a=3.]

[规律方法]

1.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析.

2.求椭圆离心率的主要方法有:(1)直接求出a,c的值,利用离心率公式直 接求解.(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,转 化为含有e的方程(或不等式)求解.

x2 y2 [变式训练2] (2015· 福建高考)已知椭圆E: a2 + b2 =1(a>b>0)的右焦点为F, 短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4, 4 点M到直线l的距离不小于5,则椭圆E的离心率的取值范围是(
? A.? ?0, ? ? C.? ? ?

)

3? ? 2? ?

? 3? B.?0,4? ? ? ?3 ? D.?4,1? ? ?

? 3 ? , 1 ? 2 ?

A [根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A,B两点到椭圆左、右焦点的距离 |3×0-4×b| 4 为4a=2(|AF|+|BF|)=8,所以a=2.又d= 2 2 ≥ 5 ,所以1≤b<2,所以e= 3 +?-4? c a= b2 1-a2= b2 3 1- 4 .因为1≤b<2,所以0<e≤ 2 ,故选A.]

直线与椭圆的位置关系

?角度1 由位置关系研究椭圆的方程与性质 x2 y2 已知椭圆E: a2 + b2 =1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点 c (c,0),(0,b)的直线的距离为2.

(1)求椭圆E的离心率; 5 (2)如图852,AB是圆M:(x+2) +(y-1) = 2 的一条直径,若椭圆E经过A,
2 2

B两点,求椭圆E的方程.
[解] (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的 bc bc 距离d= 2 2= a ,3分 b +c 1 由d=2c,得a=2b=2 3 c a -c ,解得离心率a= 2 .
2 2

5分

(2)由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.① 依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|= 10. 易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1, 代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 8k?2k+1? 4?2k+1?2-4b2 则x1+x2=- ,x1x2= . 1+4k2 1+4k2 8分

8k?2k+1? 1 由x1+x2=-4,得- =-4,解得k=2. 1+4k2 从而x1x2=8-2b2. 于是|AB|= 10分

?1? 1+?2?2|x1-x2| ? ?

5 = 2 ?x1+x2?2-4x1x2= 10?b2-2?. 由|AB|= 10,得 10?b2-2?= 10,解得b2=3. x2 y2 故椭圆E的方程为12+ 3 =1. 12分

?角度2 由位置关系研究直线的性质 x2 y2 2 (2015· 全国卷Ⅱ)已知椭圆C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,点 (2, 2)在C上. (1)求C的方程; (2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中 点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

a2-b2 2 4 2 [解] (1)由题意有 a = 2 ,a2+b2=1, 解得a2=8,b2=4. 3分 5分

x2 y 2 所以C的方程为 8 + 4 =1.

(2)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). x2 y2 将y=kx+b代入 8 + 4 =1,得 (2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0. 9分

7分

x1+x2 -2kb b 故xM= 2 = 2 ,y =k· xM+b= 2 . 2k +1 M 2k +1 1 yM 于是直线OM的斜率kOM=x =-2k, M 1 即kOM· k=-2. 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值. 12分

[规律方法] 1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直 线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程解决相 关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单. 2.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] =
? 1? ?1+ 2?[?y1+y2?2-4y1y2](k为直线斜率). k? ?

[思想与方法] 1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性,正确理解、掌握定义是关键,应注 意定义中的常数大于|F1F2|,避免了动点轨迹是线段或不存在的情况. 2.求椭圆方程的方法,除了直接根据定义外,常用待定系数法.当椭圆的 x2 y2 焦点位置不明确而无法确定其标准方程时,设方程为 m + n =1(m>0,n>0,且 m≠n)可以避免讨论和烦琐的计算,也可以设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且 A≠B),这种形式在解题中更简便.

3.讨论椭圆的几何性质时,离心率问题是重点,常用方法: c (1)求得a,c的值,直接代入公式e=a求得; (2)列出关于a,b,c的齐次方程(或不等式),然后根据b2=a2-c2,消去b,转 化成关于e的方程(或不等式)求解.

[易错与防范] 1.判断两种标准方程的方法是比较标准形式中x2与y2的分母大小. x2 y 2 2.注意椭圆的范围,在设椭圆 a2 + b2 =1(a>b>0)上点的坐标为P(x,y)时,则 |x|≤a,这往往在求与点P有关的最值问题中用到,也是容易被忽视而导致求最值 错误的原因. 3.椭圆上任意一点M到焦点F的最大距离为a+c,最小距离为a-c.


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