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2017届高考数学二轮复习第2部分专题四立体几何课件文


类型一 类型二 类型三 限时规范训练 规范滚动训练

专题四

立体几何

必考点 空间位置关系证明与计算

类型一 [例 1]

学会踩点

(2016· 高考全国甲卷)(本题满分 12 分)如图, 菱形 ABCD 的

对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E,F 分别在 AD,CD 上,AE= CF,EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置.

(1)证明:AC⊥HD′; 5 (2)若 AB=5, AC=6, AE= , OD′=2 2, 求五棱锥 D′ABCFE 4 的体积.

解:(1)证明:由已知得 AC⊥BD,AD=CD. AE CF 又由 AE=CF 得 = ,故 AC∥EF.(2 分) AD CD 由此得 EF⊥HD,故 EF⊥HD′,所以 AC⊥HD′.(4 分) OH AE 1 (2)由 EF∥AC 得DO=AD=4. 由 AB=5,AC=6 得 DO=BO= AB2-AO2=4.

所以 OH=1,D′H=DH=3. 于是 OD′2+OH2=(2 2)2+12=9=D′H2, 故 OD′⊥OH.(8 分) 由(1)知,AC⊥HD′,又 AC⊥BD,BD∩HD′=H, 所以 AC⊥平面 BHD′,于是 AC⊥OD′.

又由 OD′⊥OH,AC∩OH=O,所以 OD′⊥平面 ABC.(10 分) EF DH 9 又由 = 得 EF= . AC DO 2 1 1 9 69 五边形 ABCFE 的面积 S=2×6×8-2×2×3= 4 .(11 分) 1 69 23 2 所以五棱锥 D′ABCFE 的体积 V=3× 4 ×2 2= 2 .(12 分)

评分细则:得分点及踩点说明 (1)第一问:必须有两个关键关系:AC∥EF 和 EF⊥HD′ 两者缺一各扣 2 分,若两者都没有,第一问为 0 分. (2)第二问:必须有 DO(BO)的求解过程,否则扣 1 分. (3)有 OH,D′H(DH)的长度求解,否则扣 1 分. (4)有勾股定理的特征得出 OD′⊥OH,无该点者扣 2 分. (5)AC⊥平面 BHD′的条件有三条,不全者扣 1 分. (6)必须有 OD′⊥平面 ABC,条件不全者扣 1 分,无该点者扣 2 分.

1.如图①,在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60° ,点 E,F 分别是边 CD,CB 的中点,AC∩EF=O.沿 EF 将△CEF 翻折到△ PEF,连接 PA,PB,PD,得到如图②的五棱锥 PABFED,且 PB = 10.

图①
(1)求证:BD⊥平面 POA; (2)求四棱锥 PBFED 的体积.

图②

解:(1)证明:∵点 E,F 分别是边 CD,CB 的中点, ∴BD∥EF. ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴BD⊥AC, ∴EF⊥AC, ∴翻折后 EF⊥AO,EF⊥PO, ∵AO?平面 POA,PO?平面 POA,AO∩PO=O,

∴EF⊥平面 POA, ∴BD⊥平面 POA. (2)设 AO∩BD=H,连接 BO, ∵ABCD 是菱形,∴AB=AD,∵∠DAB=60° , ∴△ABD 为等边三角形, ∴BD=4,BH=2,HA=2 3,HO=PO= 3, 在 Rt△BHO 中,BO= BH2+HO2= 7, 在△PBO 中,BO2+PO2=10=PB2,

∴PO⊥BO, ∵PO⊥EF,EF∩BO=O,EF?平面 BFED, BO?平面 BFED, ∴PO⊥平面 BFED, 1 又梯形 BFED 的面积为 S= (EF+BD)· HO=3 3, 2 1 1 ∴四棱锥 PBFED 的体积 V=3S· PO=3×3 3× 3=3.

类型二 [例 2]

学会审题

(2016· 高考全国乙卷)如图, 已知正三棱锥 PABC 的侧面是

直角三角形,PA=6,顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D,D 在平面 PAB 内的正投影为点 E,连接 PE 并延长交 AB 于点 G.

(1)证明:G 是 AB 的中点; (2)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由), 并求四面体 PDEF 的体积.

审题路线图

[规范解答]

(1)∵P 在平面 ABC 的正投影为 D,∴AB⊥PD

因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E,所以 AB⊥DE. 因为 PD∩DE=D,所以 AB⊥平面 PED,故 AB⊥PG. 又由已知可得,PA=PB,所以 G 是 AB 的中点.

(2)在平面 PAB 内,过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F,F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影. 理由如下:由已知可得 PB⊥PA,PB⊥PC,又 EF∥PB,所以 EF ⊥PA,EF⊥PC.又 PA∩PC=P,因此 EF⊥平面 PAC,即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影. 连接 CG,因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D,所以 D 是正三角 形 ABC 的中心.由(1)知,G 是 AB 的中点,所以 D 在 CG 上,故 2 CD= CG. 3

由题设可得 PC⊥平面 PAB,DE⊥平面 PAB,所以 DE∥PC,因此 2 1 PE= PG,DE= PC. 3 3 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA=6,可得 DE=2, PE=2 2. 在等腰直角三角形 EFP 中,可得 EF=PF=2, 1 1 4 所以四面体 PDEF 的体积 V=3×2×2×2×2=3.

2.(2016· 河北石家庄高三模拟)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为梯形,∠ABC=∠BAD=90° , BC=2 2,AP=AD=AB= 2,∠PAB=∠PAD=α.

(1)试在棱 PA 上确定一个点 E,使得 PC∥平面 BDE,并求出此时 AE 的值; EP (2)当 α=60° 时,求证:CD⊥平面 PBD.

解:(1)法一:连接 AC,BD 交于点 F,在平面 PCA 中作 EF∥PC 交 PA 于 E,连接 BE,DE,因为 PC?平面 BDE,EF?平面 BDE, 所以 PC∥平面 BDE, AF AD 1 因为 AD∥BC,所以FC=BC =2, AE AF 因为 EF∥PC,所以EP=FC, AE AF AD 1 所以 = = = . EP FC BC 2

AE 1 法二:在棱 PA 上取一点 E,使得EP=2. 连接 AC,BD 交于点 F,连接 EF,BE,DE, 因为 AD∥BC, AF AD 1 所以FC=BC =2, AE AF 所以EP=FC, 所以 EF∥PC, 因为 PC?平面 BDE,EF?平面 BDE, 所以 PC∥平面 BDE.

(2)证明:法一:取 BC 的中点 G,连接 DG,则四边形 ABGD 为 正方形. 连接 AG,BD 交于点 O,连接 PO, 因为 AP=AD=AB,∠PAB=∠PAD=60° , 所以△PAB 和△PAD 都是等边三角形, 因此 PA=PB=PD, 又因为 OD=OB, 所以△POB≌△POD, 所以∠POB=∠POD=90° ,

同理得△POA≌△POB,∠POA=90° , 所以 PO⊥平面 ABC. 所以 PO⊥CD. 由∠ABC=∠BAD=90° ,BC=2AD=2AB=2 2, 可得 BD=2,CD=2, 所以 BD2+CD2=BC2, 所以 BD⊥CD, 所以 CD⊥平面 PBD.

法二:取 BC 的中点 G,连接 DG,则四边形 ABGD 为正方形. 过 P 作 PO⊥平面 ABCD,垂足为 O, 连接 OA,OB,OD,OG. 因为 AP=AD=AB,∠PAB=∠PAD=60° , 所以△PAB 和△PAD 都是等边三角形,因此 PA=PB=PD, 所以 OA=OB=OD, 即点 O 为正方形 ABGD 对角线的交点, 所以 PO?平面 PBD.

又∠ABC=∠BAD=90° ,BC=2AD=2AB=2 2, 所以 BD⊥CD,又因为 PO⊥CD, 所以 CD⊥平面 PBD.

类型三 [ 例 3]

学会规范

(2016· 高考全国丙卷 )( 本题满分 12 分 ) 如图,四棱锥

PABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA =BC=4,M 为线段 AD 上一点,AM=2MD,N 为 PC 的中点.

(1)证明:MN∥平面 PAB; (2)求四面体 NBCM 的体积.

[考生不规范示例] 证明:(1)取 BP 的中点 T. ∴TN 綊 AM,∴MN∥AT,∴MN∥面 PAB.

(2)取 BC 的中点 E,∴AE= 32-22= 5, 1 1 1 4 ∴S△BMC=2×4× 5=2 5,V=3×2 5×2×4=3 5.

[规范解答]

2 (1)证明:由已知得 AM= AD=2.(2 分) 3

如图, 取 BP 的中点 T, 连接 AT, TN, 由 N 为 PC 中点知 TN∥BC, 1 TN= BC=2.(4 分) 2

又 AD∥BC,故 TN 綊 AM,

所以四边形 AMNT 为平行四边形,于是 MN∥AT. 因为 AT?平面 PAB,MN?平面 PAB, 所以 MN∥平面 PAB.(6 分)

(2)因为 PA⊥平面 ABCD,N 为 PC 的中点, 1 所以 N 到平面 ABCD 的距离为2PA.(8 分) 如图,取 BC 的中点 E,连接 AE. 由 AB=AC=3 得 AE⊥BC,AE= AB2-BE2= 5. 由 AM∥BC,得 M 到 BC 的距离为 5,(10 分) 1 ∴S△BCM= ×4× 5=2 5. 2 1 PA 1 1 ∴四面体 NBCM 的体积 VNBCM= ×S△BCM× 3 2 =3×2 5×2×4 4 5 = .(12 分) 3

[终极提升]——登高博见 (1)利用线面平行的判定定理进行证明, 即通过线线平行证明线面平行; (2)先求出点 N 到平面 BCM 的距离及△ BCM 的面积, 然后代入锥体的体积公式 求解.


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