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离散型随机变量及其概率分布(理)(


一、选择题 1.甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为 0.6,乙被录取的概率为 0.7,两 人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为( A.0.12 C.0.46 [答案] D [解析] P=1-(1-0.6)×(1-0.7)=0.88. 2.(2014· 新课标全国Ⅱ理)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率 是 0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量 为优良的概率是( A.0.8 C.0.6 [答案] A [解析] 本题考查条件概率的求法. 设 A=“某一天的空气质量为优良”,B=“随后一天的空气质量为优良”,则 P(B|A)= P?A∩B? 0.6 = =0.8,故选 A. 0.75 P?A? ) B.0.75 D.0.45 B.0.42 D.0.88 )

3.一只不透明的布袋中装有编号为 1、2、3、4、5 的五个大小形状完全一样的小球,现 从袋中同时摸出 3 只小球,用随机变量 X 表示摸出的 3 只球中的最大号码数,则随机变量 X 的数学期望 E(X)=( 44 A. 5 7 C. 2 [答案] D 1 1 [解析] X 的取值有:3、4、5,P(X=3)= 3= , C5 10 C2 3 C2 3 3 4 P(X=4)= 3= ,P(X=5)= 3= , C5 10 C5 5 1 3 3 9 ∴E(X)=3× +4× +5× = . 10 10 5 2 4.(2014· 河南豫北六校联考)设 ξ 是服从二项分布 B(n,p)的随机变量,又 E(ξ)=15,D(ξ) 45 = ,则 n 与 p 的值分别为( 4 3 A.60, 4 ) 1 B.60, 4
-1-/8

) 83 B. 10 9 D. 2

3 C.50, 4 [答案] B

1 D.50, 4

45 1 [解析] 由 ξ~B(n,p),得 E(ξ)=np=15,D(ξ)=np(1-p)= ,∴p= ,n=60. 4 4 5.口袋中有 n(n∈N*)个白球,3 个红球.依次从口袋中任取一球,如果取到红球,那么 继续取球,且取出的红球不放回;如果取到白球,就停止取球.记取球的次数为 X.若 P(X=2) 7 = ,则 n 的值为( 30 A.5 C .7 [答案] C [解析] 由题意知 P(X=2)= ∵n∈N*,∴n=7,故选 C. 6.(2013· 长沙二模)若离散型随机变量 X 的分布列为: X P 则常数 c 的值为( 2 1 A. 或 3 3 1 C. 3 [答案] C [解析] 由分布列的性质知, 1 2 9c2-c+3-8c=1,∴c= 或 . 3 3 代入 0<9c2-c<1,0<3-8c<1, 2 经检验知,c= 不合题意,舍去.故选 C. 3 二、填空题 7.(2013· 温州调研)已知离散型随机变量 X 的分布列如下表,若 E(X)=0,D(X)=1,则 a =______,b=______. X P [答案] 5 12 1 4
-2-/8
1 A1 3n 7 6 3An = ,∴7n2-55n+42=0,∴n= 或 7, 2 = 7 An+3 ?n+3??n+2? 30

) B.6 D.8

0 9c -c
2

1 3-8c

) 2 B. 3 D.1

-1 a

0 b

1 c

2 1 12

1 [解析] ∵E(X)=0,∴-a+c+ =0,(1) 6 1 ∵D(X)=1,∴a+c+ =1,(2) 3 1 又由分布列的性质得,a+b+c+ =1,(3) 12 5 1 由(1)、(2)、(3)解得 a= ,b= . 12 4 8.(2014· 浙江嘉兴测试)某高校进行自主招生面试时的程序如下:共设 3 道题,每道题答 对给 10 分,答错倒扣 5 分(每道题都必须回答,但相互不影响).设某学生对每道题答对的概 3 率为 ,则该学生在面试时得分的期望为________. 4 [答案] 75 4

[解析] 由题得,该学生有可能答对 0,1,2,3 道,所以得分可能为-15,0,15,30.根据独立试 验同时发生的概率计算公式可得,得分 ξ 可能为-15,0,15,30 对应的概率分别为 P(ξ=-15)= 3 30 1 3 C3 (1- )3· ( )= , 4 4 64 3231 9 P(ξ=0)=C2 , 3(1- ) ( ) = 4 4 64 3 1 3 2 27 P(ξ=15)=C1 ( )= , 3(1- ) · 4 4 64 3 0 3 3 27 P(ξ=30)=C0 . 3(1- ) ( ) = 4 4 64 1 9 27 27 75 所以期望为 E(ξ)=(-15)× +0× +15× +30× = . 64 64 64 64 4 三、解答题 9.(2015· 河南八校一联)现有 4 个人去参加娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加 者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏, 掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ξ=|X-Y|,求随机变量 ξ 的分布列与数学期望 E(ξ). 1 2 [解析] 依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 ,去参加乙游戏的概率为 . 3 3 1 2 - 设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4),则 P(Ai)=Ci4( )i( )4 i. 3 3 1222 8 (1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P(A2)=C2 . 4( ) ( ) = 3 3 27
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(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B,则 B=A3 132 4 1 4 1 ∪A4,由于 A3 与 A4 互斥,故 P(B)=P(A3)+P(A4)=C3 4( ) ( )+C4( ) = . 3 3 3 9 1 所以,这 4 个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 . 9 (3)ξ 的所有可能取值为 0,2,4.由于 A1 与 A3 互斥,A0 与 A4 互斥,故 8 40 P(ξ=0)=P(A2)= ,P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)= , 27 81 17 P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)= . 81 所以 ξ 的分布列是 ξ P 0 8 27 2 40 81 4 17 81

8 40 17 148 随机变量 ξ 的数学期望 E(ξ)=0× +2× +4× = . 27 81 81 81

一、解答题 10.(2014· 唐山二模)甲向靶子 A 射击两次,乙向靶子 B 射击一次.甲每次射击命中靶子 的概率为 0.8,命中得 5 分;乙命中靶子的概率为 0.5,命中得 10 分. (1)求甲、乙二人共命中一次目标的概率; (2)设 X 为二人得分之和,求 X 的分布列和期望. [解析] (1)记事件“甲、乙二人共命中一次”为 A,则
2 P(A)=C1 20.8×0.2×0.5+0.2 ×0.5=0.18.

(2)X 的可能取值为 0,5,10,15,20. P(X=0)=0.22×0.5=0.02,P(X=5)=C1 20.8×0.2×0.5=0.16, P(X=10)=0.82×0.5+0.22×0.5=0.34,P(X=15)=C1 20.8×0.2×0.5=0.16, P(X=20)=0.82×0.5=0.32. X 的分布列为 X P X 的期望为 E(X)=0×0.02+5×0.16+10×0.34+15×0.16+20×0.32=13. 11.(2014· 天津六校二联)一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球,球的编号分别为 1,2,3,4,5,6. (1)若从袋中每次随机抽取 1 个球,有放回的抽取 2 次,求取出的两个球编号之和为 6 的
-4-/8

0 0.02

5 0.16

10 0.34

15 0.16

20 0.32

概率; (2)若从袋中每次随机抽取 2 个球,有放回的抽取 3 次,求恰有 2 次抽到 6 号球的概率; (3)若一次从袋中随机抽取 3 个球,记球的最大编号为 X,求随机变量 X 的分布列及期望. [解析] (1)设先后两次从袋中取出球的编号为 m,n, 则两次取球的编号的一切可能结果(m,n)有 6×6=36 种, 其中和为 6 的结果有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),共 5 种, 5 则所求概率为 . 36 C1 5 1 (2)每次从袋中随机抽取 2 个球,抽到编号为 6 的球的概率 p= 2= . C6 3 所以,3 次抽取中,恰有 2 次抽到 6 号球的概率为 1 2 2 2 2 C3 p (1-p)=3×( )2( )= . 3 3 9 (3)随机变量 X 所有可能的取值为 3,4,5,6. C3 1 3 P(X=3)= 3= , C6 20 C2 3 3 P(X=4)= 3= , C6 20 C2 6 3 4 P(X=5)= 3= = , C6 20 10 C2 10 1 5 P(X=6)= 3= = . C6 20 2 所以,随机变量 X 的分布列为: X P 3 1 20 4 3 20 5 3 10 6 1 2

1 3 3 1 21 E(X)=3× +4× +5× +6× = . 20 20 10 2 4 12.(2013· 天津滨海区五校联考)甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的 6 3 道题中随机抽出 3 道题进行测试,在备选的 6 道题中,甲答对其中每道题的概率都是 ,乙只 5 能答对其中的 3 道题.答对一题加 10 分,答错一题(不答视为答错)得 0 分. (1)求乙得分的分布列和数学期望; (2)规定: 每个人至少得 20 分才能通过测试, 求甲、 乙两人中至少有一人通过测试的概率. [解析] (1)设乙的得分为 X,X 的可能值有 0,10,20,30,
1 C3 1 C2 9 3 3C3 P(X=0)= 3= ,P(X=10)= 3 = , C6 20 C6 20 2 C1 9 C3 1 3C3 3 P(X=20)= 3 = ,P(X=30)= 3= , C6 20 C6 20

-5-/8

乙得分的分布列为: X P 0 1 20 10 9 20 20 9 20 30 1 20

1 9 9 1 EX=0× +10× +20× +30× =15, 20 20 20 20 所以乙得分的数学期望为 15. 1 9 1 (2)乙通过测试的概率为 + = , 20 20 2 3 3 22 81 甲通过测试的概率为( )3+C2 , 3( ) = 5 5 5 125 1 81 22 甲、乙都没通过测试的概率为(1- )· (1- )= , 2 125 125 因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为 1- 22 103 = . 125 125

13.实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试,在本次考核中只有 合格和优秀两个等次,若考核为合格,则授予 10 分降分资格;考核优秀,授予 20 分降分资 2 2 1 格.假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为 、 、 ,他们考核所得的等次相互独立. 3 3 2 (1)求在这次考核中,甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率. (2)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量 ξ,求随机变量 ξ 的分布 列和数学期望 E(ξ). [解析] (1)记“甲考核为优秀”为事件 A, “乙考核为优秀”为事件 B, “丙考核为优秀” 为事件 C,“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件 E. - - - 则事件 A、B、C 是相互独立事件,事件 A B C 与事件 E 是对立事件,于是 P(E)=1- 1 1 1 17 - - - P( A B C )=1- × × = . 3 3 2 18 (2)ξ 的所有可能取值为 30,40,50,60. - - - 1 1 1 1 P(ξ=30)=P( A B C )= × × = , 3 3 2 18 2 1 1 1 2 1 1 1 1 5 - - - - - - P(ξ=40)=P(A B C )+P( A B C )+P( A B C)= × × + × × + × × = , 3 3 2 3 3 2 3 3 2 18 8 - - - P(ξ=50)=P(AB C )+P(A B C)+P( A BC)= , 18 4 P(ξ=60)=P(ABC)= . 18 所以 ξ 的分布列为 ξ 30 40 50 60

-6-/8

P

1 18

5 18

8 18

4 18

1 5 8 4 145 E(ξ)=30× +40× +50× +60× = . 18 18 18 18 3 [点评] 1.求复杂事件的概率的一般步骤: (1)列出题中涉及的各事件,并且用适当的符号表示; (2)理清各事件之间的关系,列出关系式; (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算. 2.直接计算符合条件的事件的概率较繁时,可先间接地计算对立事件的概率,再求出符 合条件的事件的概率. 14.(2013· 北京海淀期末)某公司准备将 100 万元资金投入代理销售业务,现有 A,B 两个 项目可供选择: (1)投资 A 项目一年后获得的利润 X1(万元)的概率分布列如下表所示: X1 P 且 X1 的数学期望 E(X1)=12; (2)投资 B 项目一年后获得的利润 X2(万元)与 B 项目产品价格的调整有关,B 项目产品价 格根据销售情况在 4 月和 8 月决定是否需要调整,两次调整相互独立且在 4 月和 8 月进行价 格调整的概率分别为 p(0<p<1)和 1-p.经专家测算评估: B 项目产品价格一年内调整次数 X(次) 与 X2 的关系如下表所示: X(次) X2(万元) (1)求 a,b 的值; (2)求 X2 的分布列; (3)若 E(X1)<E(X2),则选择投资 B 项目,求此时 p 的取值范围.
? ?a+0.4+b=1, [解析] (1)由题意得? ?11a+12×0.4+17b=12, ?

11 a

12 0.4

17 b

0 4.12

1 11.76

2 20.40

解得 a=0.5,b=0.1. (2)X2 的可能取值为 4.12,11.76,20.40. P(X2=4.12)=(1-p)[1-(1-p)]=p(1-p), P(X2=11.76)=p[1-(1-p)]+(1-p)(1-p) =p2+(1-p)2, P(X2=20.40)=p(1-p). 所以 X2 的分布列为

-7-/8

X2 P (3)由(2)可得

4.12 p(1-p)

11.76 p2+(1-p)2

20.40 p(1-p)

E(X2)=4.12p(1-p)+11.76[p2+(1-p)2]+20.40p(1-p)=-p2+p+11.76. 因为 E(X1)<E(X2),所以 12<-p2+p+11.76, 所以 0.4<p<0.6. 当选择投资 B 项目时,p 的取值范围是(0.4,0.6).

-8-/8


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