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4.1幂函数的性质与图像教案


幂函数的性质与图像
【教学目标】 知识和技能:理解幂函数的概念,掌握幂函数的性质与图像并能 简单应用。 过程和方法:通过研究性质培养学生分析归纳的思维能力,体会 从特殊到一般的研究问题 的数学方法和数形结合的数学思想。 情感、态度和价值观:培养学生积极探究、合作交流的学习品质,激发学 生的学习兴趣和 探究热情。 【教学重点】幂函数的性质与图像 【教学难点】幂函数性质与图像特征的归纳 【教学过程】 一. 问题引入 (1)一人购买了每斤 1 元的蔬菜 a 斤,则她需要支付 b=_____元 (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积 S=______ (3)如果立方体的边长为 a,那么立方体的体积 V=_______ (4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么这个正方形的边长 a=______ (5)如果一人 ts 内骑车行进了 1km,那么他骑车的平均速度 v=_______ 分析上述问题所代表的函数有什么共同特征? 上述问题中涉及的函数都是形如 y ? x k 的函数,引出幂函数的定义。 二. 幂函数定义 一般地,函数 y ? x k (k 为常数,k∈Q)叫做幂函数(power function) 注意: (1)幂函数的解析式必须是 y ? x 的形式,系数必须是 1,没有其他项
k

(2)定义域与 k 的值有关系 概念巩固:判断下列函数是否为幂函数?
? 3 1 (1) y ? 2 x, (2) y ? x, (3) y ? , (4) y ? 2 , (5) y ? 3x 2 , (6) y ? x 4 , (7) y ? x 2 ? x 2 x x 3 1

三. 幂函数的性质与图像 1.先研究五个常用幂函数的性质和图像

(1) y ? x, (2) y ? x 2 , (3) y ? x3 , (4) y ? x 2 , (5) y ? x ?1
(1)、(2)、(5)函数分别是已经学习过的正比例函数、二次函数和反比例函数;复习巩固其函 数图象和性质 重点列表、描点、连线后研究(3)、(4)两个幂函数的图象与性质

1

x
f ( x) ? x
2

…… ……

-2 -8

-1 -1

0 0

1 1

2 8

3 27

…… ……

g ( x) ? x 2

1

……

/

/

0

1

√2

√3

……

2.观察五个函数在同一坐标系中的图象,以及总结后的表格归纳共同性质特点

四、巩固提高 1、利用单调性判断下列各值的大小 (1)5.20.8 与 5.30.8 (2)0.20.3 与 0.30.3 (3)2.5-1.2 与 2.7-1.2 2、右图曲线是幂函数 y=xn 在第一象限的图象,已知 n 取±2,±1/2 四个值,则相应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 n 值依次为( ) (A)-2,-1/2,1/2,2 (B)2,1/2,-1/2,-2 (C)-1/2,-2,2,1/2 (D)2,1/2,-2,-1/2

五、课堂总结 幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性,随常数 k 的不同而不同 1、所有幂函数(0,+∞)上都有定义, 并且图像都通过点(1,1) 经过第一象限,不经过第四象限 2、在第一象限内, k>0,在(0,+∞)上为增函数; k<0,在(0,+∞)上为减函数 3、从图象的类型来说,分为直线型、抛物线型、双曲线型 k>0,为抛物线型,图象均过(0,0)点 k=0,为直线型,图象是除去(0,1)点的一条直线 k<0,为双曲线型,图象不过(0,0)点


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