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2014高考数学(文)二轮专题突破课件(浙江专版)第1部分 专题1 第4讲 不等式


第四讲

不 等 式?选择、填空题型?

考点 不等式的性质

不等式的解法
基本不等式 简单的线性规划问题 不等式的综合应用

考情 1.不等式中的热点主要是线性规划知识、基本不等式及解不 等式,单纯对不等式的性质考查并不多. 2.解不等式主要涉及一元二次不等式、简单的分式不等式、 对数和指数不等式等,且经常与集合问题融合在一起,重在考查 等价转化能力和解不等式的基本方法,如2013年江西T6等. 3.基本不等式的考查重在对代数式的转化过程及适用条件, 等号成立的条件的检验,常用来求最值或求恒成立问题中参数的 取值范围,如2013年山东T12等. 4.线性规划是高考的热点题型,常考常新,主要涉及平面区 域问题、参数问题、线性及非线性目标函数的最值及范围问题等 ,难度为中等及中等以下,如2013年福建T6,北京T12等.

1 1.(2013· 江西高考)下列选项中,使不等式x< x <x2成立的 x的取值范围是 A.(-∞,-1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(1,+∞) ( )

1 2 解析:法一:取x=-2,知符合x< x <x ,即-2是此不等 式的解集中的一个元素,所以可排除选项B,C,D. ? 1 ?x<x, 法二:由题知? ?1<x2, ?x
?x<-1或0<x<1, ? 解得? ?x<0或x>1, ?

??x-1??x+1? <0, ? x 即? ?x-1??x2+x+1? ? >0, x ? 得x<-1.

答案:A

?x+y≤2, ? 2.(2013· 福建高考)若变量x,y满足约束条件 ?x≥1, ?y≥0, ? =2x+y的最大值和最小值分别为 A.4和3 B.4和2 C.3和2 解析:画出可行域(如图中阴影部
分),当y=-2x+z经过点B(2,0) 时,zmax=4;当y=-2x+z经过点 A(1,0)时,zmin=2.

则z

( D.2和0

)

答案:B

3.(2013· 山东高考)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0. z 则当xy取得最小值时,x+2y-z的最大值为 A.0 9 B.8 C.2 9 D.4 ( )

2 2 z x -3xy+4y x 4y 解析:xy= = y + x -3≥2 xy

x 4y y· -3=1,当 x

且仅当x=2y时等号成立,因此z=4y2-6y2+4y2=2y2,所 以x+2y-z=4y-2y2=-2(y-1)2+2≤2.

答案:C

?x≥0, ? 4.(2013· 北京高考)设D为不等式组 ?2x-y≤0, ?x+y-3≤0 ?

表示的平面区

域,区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为______.

解析:作出可行域,如图中阴影部分所示,则根据图形可 知,点B(1,0)到直线2x-y=0的距离最 |2×1-0| 2 5 小,d= = 5 <1,故最小距 22+1 2 5 离为 5 .

2 5 答案: 5

1.不等式的四个性质 注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求,如 (1)a>b,c>0?ac>bc,a>b,c<0?ac<bc. (2)a>b>0,c>d>0?ac>bd. (3)a>b>0?an>bn(n∈N,n≥1). (4)a>b>0? a> b(n∈N,n≥2). n n

2.六个重要的不等式 (1)|a|≥0,a2≥0(a∈R);(2)a2+b2≥2ab(a,b∈R);
?a+b?2 a+b ? (a,b∈R); (3) ≥ ab(a>0,b>0);(4)ab≤? 2 2 ? ?

(5)

a2+b2 a+b 2ab ≥ ≥ ab≥ (a>0,b>0); 2 2 a+b

(6)2(a2+b2)≥(a+b)2(a,b∈R,当 a=b 时等号成立). 3.判断二元一次不等式表示的平面区域的方法 在直线 Ax+By+C=0 的某一侧任取一点(x0,y0),通过 Ax0+By0 +C 的符号来判断 Ax+By+C>0(或 Ax+By+C<0)所表示的区域.

不等式的解法
[例 1] (1)已知函数
?x2-4x+3,x≤0, ? f(x)= ? ?-x2-2x+3,x>0, ?

则不等式 ( ) f(x) = ( )

f(a2-4)>f(3a)的解集为 A.(2,6)
?-x2+2x,x≤0, ? ? ?ln?x+1?,x>0. ?

B.(-1,4)

C.(1,4)

D.(-3,5)

(2)(2013·新 课 标 全 国 卷 Ⅰ ) 已 知 函 数 若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是 B.(-∞,1] D.[-2,0]

A.(-∞,0] C.[-2,1]

[自主解答]

(1)作出函数f(x)的图像,如

图所示,则函数f(x)在R上是单调递减的.由 f(a2-4)>f(3a),可得a2-4<3a,整理得a2-3a -4<0,即(a+1)(a-4)<0,解得-1<a<4.所 以不等式的解集为(-1,4).

(2)当 x≤0 时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤0,所以 |f(x)|≥ax 化简为 x2-2x≥ax,即 x2≥(a+2)x,因为 x≤0,所 以 a+2≥x 恒成立, 所以 a≥-2; x>0 时, 当 f(x)=ln(x+1)>0, 所以|f(x)|≥ax 化简为 ln(x+1)>ax 恒成立,由函数图像可知 a≤0,综上,当-2≤a≤0 时,不等式|f(x)|≥ax 恒成立.

[答案]

(1)B

(2)D

在本例(2)的条件下,求不等式f(x)+3≥0的解集.

解:当x≤0时,-x2+2x+3≥0,即x2-2x-3≤0, 解之得-1≤x≤3,又因为x≤0,所以-1≤x≤0. 当x>0时,ln(x+1)+3≥0,即ln(x+1)≥-3, 解之得x≥e 3-1,又因为x>0,所以x>0. 综上,不等式f(x)+3≥0的解集为{x|x≥-1}.


——————————规律· 总结————————————
不等式的求解技巧 (1)对于一元二次不等式,应先化为一般形式ax2+bx+ c>0(a≠0),再求相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最 后根据相应二次函数图像与x轴的位置关系,确定一元二次不等式 的解集. (2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把他们等 价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解. (3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类,关键是 找到对参数进行讨论的原因.确定好分类标准,有理有据、层次 清楚地求解.

————————————————————————

1.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1),若x<0时,有ax>1,则不
? 1? 等式f?1-x?>1的解集为 ? ? ? 1 ? ? A.?1-a,+∞? ? ? ? ? 1 ? ? C.?-∞,1-a? ? ? ? ? 1? B.?1,a? ? ? ? 1 ? ? D.?1,1-a? ? ? ?

(

)

解析:依题意得0<a<1,于是由f

? 1? ?1- ? x? ?

>1,得loga

? 1? ?1- ? x? ?

? 1? 1 1 >logaa,即0<1- x <a,由此解得1<x< ,因此不等式f ?1-x? 1-a ? ? ? 1 ? ? >1的解集是?1,1-a?. ? ? ?

答案:D

2.关于x的不等式组

?x2-x-2>0, ? ? 2 ?2x +?2k+5?x+5k<0 ?

的整数解的集合为

{-2},则实数k的取值范围是________.
解析:由x2-x-2>0可解得x>2或x<-1, 又由2x2+(2k+5)x+5k<0可得(2x+5)(x+k)<0, 5 ? ?-k>- , 2 如图所示,由已知条件可得? ?-2<-k≤3, ? 解得-3≤k<2.

答案:[-3,2)

简单的线性规划问题
?x-y+1≥0, ? (1)设x,y满足约束条件 ?x+y-1≥0, ?x≤3, ?

[例2] 最小值是

则z=2x-3y的

( B.-6 D.-3

)

A.-7 C.-5

(2)(2013· 山东高考)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组 ?2x-y-2≥0, ? ?x+2y-1≥0, ?3x+y-8≤0 ? 小值为 A.2 1 C.-3 B.1 1 D.-2

所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最

(

)

[自主解答]

(1)由约束条件作出

可行域如图中阴影区域.将z=2x-3y 2 z 2 化为y= 3 x- 3 ,作出直线y= 3 x并平移 使之经过可行域,易知直线经过点 C(3,4)时,z取得最小值,则zmin=2×3 -3×4=-6.

(2)已知的不等式组表示的平面 区域如图中阴影所示,显然当点M 与点A重合时直线OM的斜率最小, 由直线方程x+2y-1=0和3x+y-8 =0,解得A(3,-1),故OM斜率的 1 最小值为-3.

[答案]

(1)B

(2)C

在本例(2)的条件下, ①z=x-2y的最大值和最小值分别是________. ②若P(1,2),则|PM|的最大值和最小值分别是________.
解析:①由例(2)知A(3,-1),B(2,2),C(1,0)由图可知z=x-2y 在A处取得最大值5,在B处取得最小值-2. ②由图知过P作BC的垂线,垂足在线段BC上,又|PA|= 22+32= 13,|PB|=1,|PC|=2, |2×1-2-2| 2 5 P到直线2x-y-2=0的距离d= = 5 <1, 2 2 +1

2 5 2 5 故|PM|的最大值为 13,最小值为 5 . 答案:①5,-2 ② 13, 5

——————————规律· 总结————————————

解决线性规划问题应关注三点 (1)首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何意义, 找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注 意作图一定要准确,整点问题要验证解决. (2)画可行域时应注意区域是否包含边界. (3)对目标函数z=Ax+By中B的符号,一定要注意B的正负与 z的最值的对应,要结合图形分析.
————————————————————————

?x≥1, ? 3.已知a>0,x,y满足约束条件 ?x+y≤3, ?y≥a?x-3?, ? 最小值为1,则a= 1 A.4 1 B.2 C.1

若z=2x+y的

( D.2

)

解析:由已知约束条件,作出可行域如 图中△ABC内部及边界部分,由目标函 数z=2x+y的几何意义为直线l:y=- 2x+z在y轴上的截距,知当直线l过可行 域内的点B(1,-2a)时,目标函数z= 2x+y的最小值为1,则2-2a=1,a= 1 2.

答案:B

?2x-y+1>0, ? 4.设关于x,y的不等式组 ?x+m<0, ?y-m>0 ?

表示的平面区域内

存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2.求得m的取值范围是 (
? 4? A.?-∞,3? ? ? ? 2? C.?-∞,-3? ? ? ? 1? B.?-∞,3? ? ? ? 5? D.?-∞,-3? ? ?

)

解析:问题等价于直线x-2y=2与不等式 组所表示的平面区域存在公共点,由于点 (-m,m)不可能在第一和第三象限,而直 线x-2y=2经过第一、三、四象限,则点 (-m,m)只能在第四象限,可得m<0,不 等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,要使直线x-2y =2与阴影部分有公共点,则点(-m,m)在直线x-2y-2=0的 下方,由于坐标原点使得x-2y-2<0,故-m-2m-2>0,即 2 m<-3.

答案:C

基本不等式的应用
[例3] m 3 (1)(2013· 威海模拟)已知a>0,b>0,若不等式 - 3a+b a ( C.9 D.3 )

1 -b≤0恒成立,则m的最大值为 A.4 B.16

(2)已知a>0,b>0,c>0,且ab=1,a2+b2+c2=4,则ab+bc +ac的最大值为 A.1+2 2 C.3 B. 3 D.4 ( )

(3)(2013· 郑州模拟)已知x,y∈(0,+∞),2 (m>0)的最小值为3,则m的值为 A.3 C.5
[自主解答]

x-3

?1?y 1 m ? ? ,若 + =2 x y ? ?

(

)

B.4 D.6
m 3 1 (1)因为a>0,b>0,则由 - a - b ≤0恒成 3a+b

?3 1? 3b 3a 3b 3a 立,得m≤ ?a+b? (3a+b)=10+ a + b 恒成立.因为 a + b ≥2 ? ?

3b 3a 3b 3a a · =6,当且仅当a=b时等号成立,所以10+ a + b ≥16, b 所以m≤16,即m的最大值为16.

(2)依题意,4-c2=a2+b2≥2ab=2,0<c2≤2,c2(a+b)2= c2(6-c2)=-(c2-3)2+9≤8,c(a+b)≤2 2 ,因此ab+bc+ac =1+c(a+b)≤1+2 立). (3)由2
x-3

2 (当且仅当a=b=1,c=

2 时等号成

?1? y ?1 m? 1 m 1 1 = ?2? 得x+y=3,则 x + y = 3 (x+y) ?x+ y ? = 3 ? ? ? ?

? y mx? 1 ?1+m+ + ?≥ (1+m+2 x y ? 3 ?

m),

1 ∴3(1+m+2 m)=3,即( m+1)2=9,解得m=4.

[答案]

(1)B

(2)A

(3)B

——————————规律· 总结————————————

利用基本不等式求函数的最值应关注的三个方面 (1)形式:一般地,分子、分母有一个一次、一个二次的分式 结构的函数以及含有两个变量的函数,特别适合用基本不等式求 最值. ?2?条件:利用基本不等式求最值需满足“正”?即条件要求 中字母为正数?、“定”?不等式的另一边必须为定值?、“等”?等 号取得的条件?的条件才能应用,否则会出现错误. ??3?方法:使用基本不等式时,一般通过“拆、拼、凑”的技 b 巧把求最值的函数或代数式化为ax+ x ??ab>0?的形式,常用的方法 是变量分离法和配凑法. ————————————————————————

5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a>0, 8 2 b>0)对称,则a+b的最小值是 ( )

A.4 B.6 C.8 D.9 解析:由圆的对称性可得,直线2ax-by+8=0必过圆心(-
8 2 4?a+b? a+b 4b a 2,4),所以a+b=2.所以 a + b = a + b = a + b +5≥2 4b a 4b a · +5=9,由 a = b ,则a2=4b2,又由a+b=2,故当且 a b 4 2 仅当a=3,b=3时取等号. 答案:D

6.已知a>b>0,则a2+

16 的最小值是________. b?a-b?

?b+a-b? a2 ?2 解析:因为a>b>0,所以b(a-b)≤ ? ? ? = 4 ,当且仅当a 2 ? ?

=2b时等号成立. 16 16 64 2 2 所以a + ≥a + a2 =a + a2 ≥2 b?a-b? 4
2

64 a · 2 =16,当且仅当 a
2

a=2 2时,后一个等号成立. 因此当a=2 2,b= 2时,a2+ 16 取得最小值16. b?a-b?

答案:16

课题4 [典例]

不等式中参数取值范围的求解

(2013· 新课标全国卷Ⅱ)若存在正数x使2x(x- ( B.(-2,+∞) D.(-1,+∞) )

a)<1成立,则a的取值范围是 A.(-∞,+∞) C.(0,+∞)

[考题揭秘]

本题主要考查不等式的“能成立”问题,意在

考查考生的转化与化归思想、数形结合思想的应用与运算求解 能力. [审题过程] 立. 第二步:审结论.求参数a的取值范围.
?1?x 第三步:建联系.原不等式可化为x-a<?2? 求解. ? ?

第一步:审条件.存在x>0,使2x(x-a)<1成

[规范解答]

不等式2

x

?1?x (x-a)<1可变形为x-a<?2? . ? ?

??①

?1?x 设f(x)=x-a,g(x)=?2? . ? ?

?????????????②

在同一平面直角坐标系内作出直线f(x) =x-a与g(x)=
?1? x ? ? 的图像.由题意,在 ?2?

(0,+∞)上,直线有一部分在曲线的下 方.??????????????③ 由图可知,有-a<1,所以a>-1. ?????????④

[答案]

D

[模型归纳] 利用数形结合法解决此类问题的模型示意图如下:

[变式训练] 1 1.(2012· 新课标全国卷)当0<x≤ 2 时,4x<logax,则a的取值范围

? 2 ? C.(1, 2) ,1? 2 ? 1 解析:法一:∵0<x≤2,∴1<4x≤2,
x

( 2? ? 2? ?
? B.? ? ?

)

? A.?0, ? ?

D.( 2,2)

1 ∴logax>4 >1,∴0<a<1,排除答案 C,D;取 a=2,
1 1 1 2 =2,log 1 =1, x=2,则有 4 22

显然 4x<logax 不成立,排除答案 A.

法二:在同一坐标系下作出 y=4x 与 y=logax 的图像,如图,当
?1 ? y=logax 的图像过点?2,2?时, 可求得 ? ?

2 a= 2 , 由对数函数的图像

2 知 2 <a<1.

答案:B

2.若不等式logax>sin 则a的取值范围为
? π? A.?0,4? ? ?

? π? 2x(a>0,a≠1)对任意x∈ ?0,4? 都成立, ? ?

(
?π π? C.?4,2? ? ?

)

?π ? B.?4,1? ? ?

D.(0,1)

解析:记y1=logax,y2=sin

2x,原不等式

相当于y1>y2.作出两个函数的图像,如图所
?π ? π ? ,1? 时,a= , 示,知当y1=logax过点A 4 4 ? ? ? π? π 所以当 4 <a<1时,对任意x∈ ?0,4? 都有 ? ?

y1>y2.

答案:B

预测演练提能


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