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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)选修1-2练习:2.2 第2课时 反证法]


第二章

2.2

第 2 课时

一、选择题 1.反证法是( )

A.从结论的反面出发,推出矛盾的证法 B.对其否命题的证明 C.对其逆命题的证明 D.分析法的证明方法 [答案] A [解析] 反证法是先否定结论,在此基础上,运用演绎推理,导出矛盾,从而肯定结论 的真实性. 2.(2013~2014 学年度河南新野高二阶段测试)用反证法证明“a+b+c>3,则 a、b、c 中至少有一个大于 1”时,“假设”应为( A.假设 a、b、c 中至少有一个小于 1 B.假设 a、b、c 中都小于等于 1 C.假设 a、b、c 至少有两个大于 1 D.假设 a、b、c 都小于 1 [答案] B [解析] “至少有一个”的反面是“一个也没有”,故“a、b、c 中至少有一个大于 1” 的反面是“a、b、c 中都小于等于 1.” 3.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( ) )

①结论相反判断,即假设;②原命题的条件;③公理、定理、定义等;④原结论. A.①② C.①②③ [答案] C [解析] 由反证法的定义可知为①②③. 4.“M 不是 N 的子集”的充分必要条件是( A.若 x∈M 则 x?N B.若 x∈N 则 x∈M C.存在 x1∈M?x1∈N,又存在 x2∈M?x2?N D.存在 x0∈M?x0?N [答案] D ) B.①②④ D.②③

[解析] 按定义, 若 M 是 N 的子集, 则集合 M 的任一个元素都是集合 N 的元素. 所以, 要使 M 不是 N 的子集,只需存在 x0∈M 但 x0?N.选 D. 5.(2014· 山东文)用反证法证明命题:“设 a、b 为实数,则方程 x3+ax+b=0 至少有 一个实根”时,要做的假设是( )

A.方程 x3+ax+b=0 没有实根 B.方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根 [答案] A [解析] “至少有一个”的反面是“一个也没有”,故选 A. 6. 用反证法证明命题“a、 b∈N, ab 可被 5 整除, 那么 a、 b 中至少有一个是 5 的倍数” 时,反设正确的是( )

A.a、b 都是 5 的倍数 B.a、b 都不是 5 的倍数 C.a 不是 5 的倍数 D.a、b 中有一个是 5 的倍数 [答案] B [解析] “至少有一个”的反面为“一个也没有”,即“都不是”. 二、填空题 7.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________. [答案] 存在一个三角形,其外角最多有一个钝角 [解析] “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”,“至少有两个”的否定是“最 多有一个”. 8.设正实数 a、b、c 满足 a+b+c=1,则 a、b、c 中至少有一个数不小于________. [答案] 1 3

1 [解析] 假设 a、b、c 都小于 ,则 a+b+c<1,“假设错误,故 a、b、c 中至少有一个 3 1 数不小于 .” 3 三、解答题 9.求证:当 x2+bx+c2=0 有两个不相等的非零实数根时,bc≠0. [证明] 假设 bc=0,则有三种情况出现: (1)若 b=0,c=0,方程变为 x2=0;x1=x2=0 是方程 x2+bx+c2=0 的根,这与已知方 程有两个不相等的实根矛盾.

(2)若 b=0,c≠0,方程变为 x2+c2=0,但当 c≠0 时 x2+c2≠0 与 x2+c2=0 矛盾. (3)若 b≠0,c=0,方程变为 x2+bx=0,方程的根为 x1=0,x2=-b,这与已知条件: 方程有两个非零实根矛盾. 综上所述,bc≠0.

一、选择题 1 1 1.设 a、b∈(0,+∞),则 a+ ,b+ ( b a A.都不大于 2 C.至少有一个不大于 2 [答案] D 1 1 1 1 1 [解析] 假设 a+ <2,b+ <2,则(a+ )+(b+ )<4①.又 a、b∈(0,+∞),所以 a+ + b a b a b 1 1 1 1 1 b+ =(a+ )+(b+ )≥2+2=4,这与①式相矛盾,故假设不成立,即 a+ ,b+ 至少有 a a b b a 一个不小于 2. 2.已知 x>0,y>0,x+y≤4,则有( 1 1 A. ≤ x+y 4 C. xy≥2 [答案] B 1 1 [解析] 由 x>0,y>0,x+y≤4 得 ≥ ,A 错;x+y≥2 xy,∴ xy≤2,C 错;xy≤4, x+y 4 1 1 ∴ ≥ ,D 错. xy 4 3. 已知数列{an}、 {bn}的通项公式分别为: an=an+2, bn=bn+1(a, b 是常数), 且 a>b, 那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是( A.0 个 C.2 个 [答案] A [解析] 假设存在序号和数值均相等的两项,即存在 n,使得 an=bn,但若 a>b,n∈N*, 恒有 a· n>b· n,从而 an+2>bn+1 恒成立.∴不存在 n,使得 an=bn.故应选 A. 4.如果两个数之和为正数,则这两个数( A.一个是正数,一个是负数 B.两个都是正数 ) B.1 个 D.无穷多个 ) ) 1 1 B. + ≥1 x y 1 D. ≥1 xy ) B.都不小于 2 D.至少有一个不小于 2

C.至少有一个是正数 D.两个都是负数 [答案] C [解析] 假设两个都是负数,其和必为负数. 二、填空题 5.(2013~2014 学年度潍坊高二检测)△ABC 中,若 AB=AC,P 是△ABC 内的一点, ∠ APB> ∠ APC , 求 证 : ∠ BAP< ∠ CAP. 用 反 证 法 证 明 时 的 假 设 为 ________________________________________. [答案] ∠BAP=∠CAP 或∠BAP>∠CAP [解析] 反证法对结论的否定是全面否定,∠BAP<∠CAP 的对立面是∠BAP=∠CAP

或∠BAP>∠CAP. 6.设 a、b 是两个实数,给出下列条件: ①a+b>1; ②a+b=2; ③a+b>2; ④a2+b2>2.其中能推出“a、 b 中至少有一个大于 1” 的条件是________(填序号). [答案] ③ 1 2 [解析] 若 a= ,b= ,则 a+b>1,但 a<1,b<1,故①不能推出. 2 3 若 a=b=1,则 a+b=2,故②推不出. 若 a=-2,b=-3,则 a2+b2>2,故④推不出. 对于③即 a+b>2,则 a,b 中至少有一个大于 1. 反证法:假设 a≤1 且 b≤1. 则 a+b≤2 与 a+b>2 矛盾. 因此假设不成立,故 a,b 中至少有一个大于 1. 三、解答题 1 1 1 7.已知:非实数 a,b,c 构成公差不为 0 的等差数列,求证: , , 不可能成等差数 a b c 列. 1 1 1 2 1 1 [证明] 假设 , , 成等差数列.则 = + . a b c b a c ∴2ac=bc+ab 又 a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c ∴把②代入①得 2ac=b(a+c)=b· 2b ∴b2=ac. 由②平方 4b2=(a+c)2. 把③代入 4ac=(a+c)2,∴(a-c)2=0.∴a=c. ③ ① ②

代入②得 b=a,∴a=b=c. ∴公差为 0,这与已知矛盾. 1 1 1 ∴ , , 不可能成等差数列. a b c 8.已知 a、b、c、d∈R,且 a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a、b、c、d 中至少有 一个是负数. [证明] 假设 a、b、c、d 都是非负数. ∵a+b=c+d=1,∴(a+b)(c+d)=1. 又(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc>ac+bd. ∴ac+bd<1.这与已知 ac+bd>1 矛盾, ∴a,b,c,d 中至少有一个是负数. x-2 9.已知函数 f(x)=ax+ (a>1), x+1 用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根. [证明] 假设存在 x0<0(x0≠-1),满足 f(x0)=0. x0-2 则 ax0=- ,且 0<ax0<1, x0+1 x0-2 所以 0<- <1, x0+1 1 即 <x0<2,这与假设 x0<0 相矛盾,故方程 f(x)=0 没有负数根. 2


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