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湖北省部分重点中学2014届高三第二次联考文数


参考答案及评分标准
一、选择题: 1.C 2.B 3.A 二、填空题: 11. 4.A 5.C 6.A 7.D 8.B 9.A 10.A

7 25

12. ? ?1,0?

13.1

14.0

15. 31

16.20 17. ? ; ?

? 1 2? , ? 2 3? ?

三、解答题: 18、 (1) f ( x) ? sin x(2 cos
2

?
2

? 1) ? cos x sin ? ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? ) 3? ? ,?? ? 2k? ? 2 2

Q x ? ? 处取得最小值,? x ? ? ? 2k? ?
又 Q ? ? ? 0, ? ? ,?? ?

?
2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6分)

(2) Q f ( x) ? cos x, f ( A) ?

? 3 3 , cos A ? ,由于 A ? ? 0, ? ? ,所以 A ? 6 2 2

在 ?ABC 中由正弦定理得

a b 1 2 2 ? ? ,即 ,? sin B ? , . . . . . . . (9 分) sin A sin B 0.5 sin B 2
或B ?

Q B ? ? 0, ? ? ,? B ?

?
4

3? ? 7? 3? ? ,当 B ? 时, C ? ;当 B ? 时, C ? 4 4 12 4 12

?C ?

7? ? ,或C ? 12 12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (12 分)

19、 (1) Q B1O ? 平面 ABCD, CD ? 平面 ABCD,

? B1O ? CD ,又 CD ? AD,AD I B1O =O ? CD ? 平面 AB1D ,又 AB1 ? 平面 AB1D
,又 AB1 ? B1C ,且 B1C I CD ? C ? AB 1 ? CD

? AB1 ? 平面 B1CD ,又 AB1 ? 平面 AB1C

? 平面 AB1C ? 平面 B1CD

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (7 分)

(2)由于 AB1 ? 平面 B1CD , B1D ? 平面 ABCD,所以 AB1 ? B1D



Rt ?AB1D





B1 D ? AD 2 ? AB12 ? 2







B1O ? AD ? AB1 ? B1D



B1O ?

AB1 ? B1 D AD

?

6 3







1 1 1 6 2 VB1 ? ABC ? S?ABC ? B1O ? ? ?1? 3 ? ? 3 3 2 3 6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (13 分) 20、 (1)由 an ? an?1 ? 2 ? 3
n?1

(1) (2)

对一切正整数 n 都成立,得

?2 n ? 2 ,an?1 ? an ? 2 ? n3

(1)除以(2)得 n ? 2 ,

an ?1 ?3 an

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6分)

(2)由(1)中的结论知 ?an ? 的奇数项和偶数项分别从小到大构成公比为 3 的等比数列,其中 a2n?1 ? 1? 3n?1, a2n ? 2 ? 3n?1 由已知有, b2n?1 ? log3
a2 n?1

? n ?1, b2n ? a2n ? 2 ? 3n?1

? ?bn ? 的前 2n 项和 S2n ? (b1 ? b3 ????? b2 n?1 ) ? (b2 ? b4 ????? b2 n )
=

0 ? n ?1 1 ? 3n (n ? 1) n n ? ? 3 ?1 . ? n ? 2? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (13 分) 2 2 1? 3
1 ,故 2

2 2 2 21、 (1) f ?( x) ? 2x ? 2x ? a ,由题意知方程 2 x ? 2 x ? a ? 0 在 ? ?1,0? 上有两不等实根,设 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? a ,其图象的对称轴为直线 x ? ?



? ? g (?1) ? a ? 0 ? 1 g (0) ? a ? 0 ,解得 0 ? a ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 分) ? 2 ? 1 1 ? g (? ) ? ? (?1) ? a ? 0 ? 2 2
( a ? ?2 x ? 2 x
2

构造 g ( x) ? ?2 x ? 2 x 利用图象解照样给分)
2

2 2 2 (2)由题意知 x2 是方程 2 x ? 2 x ? a ? 0 的大根,从而 x2 ? ? ? , 0 ? 且有 2 x2 ? 2 x2 ? a ? 0 ,即 a ? ?2x2 ? 2x2 ,这样 f ( x2 ) ?

? 1 ? 2

? ?

2 3 2 x2 ? x2 ? ax2 ? 1 3

?

2 3 4 3 2 2 x2 ? x2 ? (?2 x2 2 ? 2 x2 ) x2 ? 1 ? ? x2 ? x2 ?1 3 3
设 ? ( x) ? ?

4 3 1 1? ? ? 1 ? x ? x 2 ? 1 , ? ?( x) ? ?4 x2 ? 2 x =0,解得 x1 ? ? , x2 ? 0 ,由 x ? ? ??, ? ? , ? ?( x) ? 0 ; x ? ? ? , 0 ? , ? ?( x) ? 0 ; x ? ? 0, ??? , 3 2 2? ? ? 2 ?

? ?( x) ? 0 知,
? ( x) ? ? x3 ? x 2 ? 1 在 (? , 0) 单调递增,又 Q ? ? x2 ? 0 ,从而 ? ( x2 ) ? ? (? ) ?
即 f ( x2 ) ?

4 3

1 2

1 2

1 2

11 , 12

11 成立。 12
2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (13 分)

(2)另解:由题意知 x2 是方程 2 x ? 2 x ? a ? 0 的大根,从而 x2 ? ? ? , 0 ? ,由于 0 ? a ?

? 1 ? 2

? ?

1 2

ax2 ?

1 2 3 2 3 1 2 2 x2 , f ( x2 ) ? x2 ? x2 ? ax2 ? 1 ? x2 ? x2 ? x2 ? 1 , 2 3 3 2 2 3 1 1 1 ? 1 ? x ? x 2 ? x ? 1 , x ? ? ? , 0 ? , h?( x) ? 2 x 2 ? 2 x ? 1 ? 2( x ? ) 2 ? ? 0 3 2 2 2 ? 2 ?

设 h( x ) ?

h(x)在 ? ?

1 11 11 ? 1 ? . . . . . . . . . . . . . . . (13 分) , 0 ? 递增, h( x) ? h(? ) ? ,即 f ( x2 ) ? 成立。 2 12 12 ? 2 ?
2 2 y0 y 2 ? 1 ,即 y02 ? 3( x0 ?1) 。由于点 M 为 x 轴上方的一点, tan ?MAF ? kMA , tan ?MFA ? ?kMF ? 0 3 2 ? x0

22、 (1)设 M 点坐标为 ? x0 , y0 ? ,则有 x0 ?

tan 2?MAF ?

2kMA 2 tan ?MAF ? 2 1 ? tan ?MAF 1 ? kMA2

y0 x0 ? 1 2( x 0 ? 1) y 0 ? ? y0 2 ( x0 ? 1) 2 ? y0 2 1? ( ) x0 ? 1 2

?

2( x0 ? 1) y0 2 y0 y0 = ? 2 2 ( x0 ? 1) ? 3( x0 ? 1) 4 ? 2 x0 2 ? x0

又 ? MFA 、 2?MAF ? ? 0, ? ? ,且由正切函数的性质,有 ?MFA ? 2?MAF . . . . . (5 分) (2) 设直线 CD 的方程为 y ? 2 x ? m ,代入 x ?
2

y2 ? 1中得 3

x 2 ? 4mx ? m2 ? 3 ? 0

(1)

由于方程(1)有两不等正根,设 C、D 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,

?? ? 16m 2 ? 4(m 2 ? 3) ? 0 ? x1 ? x2 ? ?4m ? 0 则有 ? ,解得 m ? ?1 ? x ? x ? m2 ? 3 ? 0 1 2 ?
又 因 为 线 段 CD 的 中 点 M

? ?2m, ?3m?







线

y?

1 ? x 2

?上 b









?3m ? m ? b



b ? ?4 m ? b ? 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)

(3) 假如四点 C、 A、 D、 F 共圆, 则圆心在直线 x ?

1 3 1 1 1 2 3 1? ?1 2 及直线 y ? ? x ? b 上, 圆心坐标为 ? , b ? ? , 又由于圆的半径为 , 由 ( ? 1) ? (b ? ) ? , 2 2 2 4? 2 4 2 ?2

得b ?

1 ?CAF ? 300 0 ,从而圆心恰在 x 轴上,所以 AF 为外接圆的直径,??ACF ? 900 , 又由 ?CFA ? 2?CAF 知 ,同理 ?DAF ? 30 ,由双曲线的 4 3 的圆。 2

对称性, CD ? AF ,这与 kCD ? 2 不符,故假设错误,四点 C、A、D、F 不可能共圆于半径为 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (14 分) ( 3 ) 另 解: 假 如 四点 C 、 A 、 D 、 F 共 圆 , 则 圆 心 在 直线 x ?

1 3 1 1? ?1 及 直 线 y ? ? x ? b 上 ,圆 心 坐 标为 ? , b ? ? , 又 由 于 圆的 半 径 为 , 由 2 2 2 4? ?2

1 3 1 1 3 ( ? 1)2 ? (b ? )2 ? ,得 b ? ,与(2)的结论 b ? 4 不符,故假设错误,四点 C、A、D、F 不可能共圆于半径为 的圆。 4 2 2 4 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (14 分)


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