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选修2-1:第三章空间向量与立体几何复习


第3章 空间向量与立体几何复习
中国人民大学附属中学

本章知识结构
空间向量 向量的加减法 空间向量的 基本定理 数乘向量 向量的数量积 空间向量的 坐标表示

向量的运算

两个向量平行、垂直 的条件
向量长度与夹角的公式

直线的 方向向量

平面的 法向量 平行 垂直

两条直线的位置关系 直线与平面的位置关系 两个平面的位置关系

所成的角

距离问题

? ? ? ? 共线向量定理: 对空间任意两个向量 a , b ( b ≠ 0 ), ? ? ? ? a ∥ b 的充要条件是存在实数?使 a =? b . ? 量 a 的直线,那么对任一点 O,点 P 在直线 l 上的充分 ? ??? ? ??? ? ? 条件是存在实数 t, 满足等式 OP = OA +t a . 其中向量 a ??? ? ??? ? ? 叫做直线 l 的方向向量,等式 OP = OA +t a 称为空间直 ??? ? ? 线的向量参数表示式,若在 l 上取 AB = a ,则等式可 ??? ? ??? ? ??? ? 化为 OP =(1– t ) OA +t OB .
推论: 如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向

1.共线向量

2.共面向量 称平行于同一平面的向量为共面向量.

?? 共面向量定理: 如果两个向量不共线, 则向量 p 与 ? ? 向量 a , b 共面的充要条件是存在实数对 x, y ,使 ? ? ? ? p ? xa ? yb .
推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要

???? ???? ???? 条件是存在有序实数对 x, y, 使 MP = x MA + y MB 或 ??? ? ???? ? ???? ???? 对空间任一点 O,有 OP = OM + x MA + y MB .

? ? ? 定理:如果三个向量 a , b , c 不共面,那么对空间 ?? 任一向量 p ,存在一个唯一的有序实数组 x, y , z, 使 ? ? ? ? ? p ? xa ? yb ? zc . ? ? ? 不共面的向量表示(生成) ,{ a , b , c }叫做空间的一 ? ? ? 个基底, a, b, c 都叫基向量.
推论:设 O,A,B,C 是不共面的四点,则对空 间任一点 P,都存在唯一的三个有序实数 x, y , z,使 该定理表明:在空间,任意一个向量都可以由三个

3.空间向量基本定理

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP = x OA + y OB + z OC .

? ? 空间两个向量非零向量 a, b 的夹角定义与平面 ? ? ? ? 向量类似,但记作< a, b >,通常规定 0 ? < a, b > ? ?. ? ? 空间两个非零向量 a, b 的数量积定义与平面向
量也类似,但表达形式略有不同.

4. 两个向量的数量积

? ? ? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos ? a, b ? ? ? ? ? ? 当< a, b >= 时,称向量 a 与 b 互相垂直,记作 2 ? ? a ?b .
空间两个向量的数量积有类似于平面向量数量积

的性质与运算律.

5.空间向量的坐标运算 与平面向量的坐标运算类似,引入空间向量 的坐标运算. 取空间的一个基底的三个基向量互相垂直, 且长都为 1,则这个基底叫单位正交基底,常常 用{ i ,j ,k }表示;

? ? 设 a = ( a1 , a 2 , a 3) , b = ( b1 , b 2 , b 3), 则有 ? ? b1 , a 2± b2 , a 3± b 3 ); a ±b = ( a1± ? ? a = ( ?a1 , ?a 2 , ?a 3) (? ? R) ; ? ? a ? b = a1b 1 + a 2b2 + a 3b 3 ; ? ? a1 a2 a3 a ∥ b ? a1 = ?b 1 , a 2= ?b2 , a 3 = ?b 3(? ?R), 或 = = ; b1 b2 b3 ? ? a ? b ? a1b 1 + a 2b2 + a 3b 3 = 0 ? 2 2 2 | a | = a1 ? a2 ? a3 ; ? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b cos< a , b > = ? ? = . 2 2 2 2 | a || b | a12 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b2

7. 直线的方向向量与平面的法向量

??? ? 直线 l 上不同两点 A,B 间所得的向量 AB 是
直线 l 的一个方向向量。 垂直于平面的向量称为平面的法向量, 即若向

? ? 量 a ⊥平面?, 则 a 称为?的法向量.

? ? ? ? 1. 设 a ? ( x, 4,3) 、b ? (3, 2, z) , 且 a // b , 则 xz
等于( B ) A.-4 C.-9 B. 9

64 D. 9

? ? 2.已知 a ? (0, ?1,1) 、 b ? (1, 2, ?1) , ? ? 则 a 与 b 的夹角为( D )
A. 30 C. 90
? ?

B. 60

? ?

D. 150

3.M、N 分别是正方体的棱 AA1 与 BB1 的中点, 则 CM 与 D1 N 所成角的余弦值是(

A)

4 5 A. 9
C.1

2 5 B. 3 3 5 D. 4

4.△ABC在平面α内,点P在α外, PC⊥ α 且∠BPA=90°,则∠BCA是( C ) A.直角 B.锐角 C.钝角 D.直角或锐角

5.从一点 P 引三条射线 PA、P B、PC,且两两 成 90 且 PA : PB : PC ? 1: 2 : 3 则二面角 P - AC-B 的正切值为( B ) A. 3 5
?

2 10 B. 3 3 5 D. 2

14 C. 6

6. 长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, AA1=AB=2, AD=1, 点 E、F、G 分别是 DD1、AB 、CC1 的中点,则异 面直线 A1E 与 GF 所成的角是( D )

15 A. arccos 5 10 C. arccos 5

? B. 4
? D. 2

7.长方体的一条对角线与两组平行平面所
成的角都是30°,则长方体的这条对角线 45° 与另一组平行的平面所成的角是________. 8.正四棱锥的下底面边长为4cm,侧面与 底面所成的二面角的大小为60°,则这个 棱锥的侧面积是_________ 。 32

9. 已知长方体 ABCD ? A 点 M 为 CC1 的 1B 1C1D 1 中,

???? ???? ???? ? ??? ? ??? ? ???? ? 中点, AN ? 2 NC 若 NM ? xAB ? yAD ? zCC1 ,
则 x=

1 3

, y=

1 3

,z=

1 2



??? ? ??? ? 10.在 ? ABC 中 AB ? (2, 4, 0), BC ? (-1, 3, 45° 。 0),则 ?ABC =_________

11 .在 棱 长为 a 的 正方 体 ABCD ?ABC D1 1 1 1 中,E 为 AC1 的中点 (1) 求 AB1 与平面 ACC1 A 1 所成的角; (2) 求二面角 B1 ? A 1 E ? A 的大小;

30° 60°

12.如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面 是直角三角形, AC⊥CB,∠ABC=45°, 侧面A1ABB1是边长为a的菱形且垂直于底 CB的中点; (1) 求证:EF//平面A1ACC1; (2) 求EF与侧面A1ABB1所成的角.

面ABC,∠A1AB=60°,E、F分别是AB1、

(1) 求证:EF//平面A1ACC1;

(2) 求EF与侧面A1ABB1所成的角.

(2) 30°

13.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底 面边长为1. (1)求证:平面BB1C1C⊥平面A1DCB1; (2)当AA1的长度是多少时,二面角D- A1C-A的大小为60°.
AA1=1

14.如图,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1, 点,过A1、B、M三点的平面A1BMN交 C1D1于点N。 (1) 求证:EM∥A1B1C1D1;

1 AA1= AB,点E、M分别为A1B,C1C的中 2

(2) 求二面角B—A1N—B1正切值。

(1) 求证:EM∥A1B1C1D1;

5 (2) 求二面角B—A1N—B1正切值。 4

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