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上海市16区2013届高三二模数学(文)试题分类汇编4:平面向量 Word版含答案


上海市 16 区 2013 届高三二模数学(文)试题分类汇编 4:平面向量
一、选择题 1 . (上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二模)质量调研数学(文)试题)如图,△ ABC 是

边长为 1 的正三角形,点 P 在△ ABC 所在的平面内,且 | PA | ? | PB | ? | PC | ? a ( a
2 2 2

为常数).下列结论中,正确的是

A
P

B
第 18 题

C

A .当 0 ? a ? 1 时,满足条件的点 P 有且只有一个. B .当 a ? 1 时,满足条件的点 P 有三个.
C .当 a ? 1 时,满足条件的点 P 有无数个.

D .当 a 为任意正实数时,满足条件的点 P 是有限个.
2 (上海市浦东区 2013 年高考二模数学 . (文) 试题 ) 已知 a ? 3, b ? 4, (a ? b) ? (a ? 3b) ? 33,

则 a 与 b 的夹角为

( A)

?
6

( B)

?
3

(C )

2? 3

(D)

5? 6

二、填空题 3 . (上海市闸北区 2013 届高三第二学期期中考试数学(文)试卷)在平面直角坐标系 xOy 中,

以向量 a ? ?a1 , a 2 ? 与向量 b ? ?b1 , b2 ? 为邻边的平行四边形的面积为____.
4 . (上海市徐汇、松江、金山 2013 届高三 4 月学习能力诊断数学(文)试题)如图,有以下命

??? ???? ??? ??? ? ? ? 题成立:设点 P, Q 是线段 AB 的三等分点,则有 OP ? OQ ? OA ? OB .将此命题推广,
设 点

A1 ,

A2 ,

A3 ,

A4 , 是

A 线5 段

AB
??? ?



六 .







,



???? ???? ???? ???? ???? ? ? ? ? OA1 ? OA2 ? OA3 ? OA4 ? OA5 ?

? OA ? OB ?

??? ?

A P Q O B

第 13 题图
5 . (上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二模)质量调研数学(文)试题)若圆 C 的半径为

3,单位向量 e 所在的直线与圆相切于定点 A ,点 B 是圆上的动点,则 e ? AB 的最大值为 ___________
6 . (上海市闵行区 2013 届高三 4 月质量调研考试数学(文)试题) 已知 ?ABC 的重心为

?

? ??? ?

uuu uuu r r O , AC ? 6, BC ? 7, AB ? 8, 则 AO ? BC ? ____________.
7 . (上海市闵行区 2013 届高三 4 月质量调研考试数学(文)试题)已知 e1、 e2 是夹角为

r

r

? 的两 2

个单位向量,向量 a ? e1 ? 2e2 , b ? ke1 ? e 2 , 若 a // b ,则实数 k 的值为_____________.
8 .上海市黄浦区 2013 年 4 月高考 ( (二模) 模拟考试数学 (文) 试题) 在正△ ABC 中,若 AB ? 2 , ??? ???? ? 则 AB ? AC ? _____. 9 .( 上 海 市 虹 口 区 2013 届 高 三 ( 二 模 ) 数 学 ( 文 ) 试 卷 ) 在 ?ABC

r

r

r

r

r

r

r

r

中, AB ? 1 , AC ? 2 , ( AB ? AC ) ? AB ? 2 ,则 ?ABC 面积等于__________.
10 .( 上 海 市 长 宁 、 嘉 定 区 2013 年 高 考 二 模 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 向 量

a ? (?2,2), b ? (5, k ).若 | a ? b | 不超过 5,则 k 的取值范围是____________.
三、解答题 11. (上海市闸北区 2013 届高三第二学期期中考试数学(文)试卷)本题满分 14 分

? 已 知 a ? (c o s , s in? ) 和 b ? ( 2 ? sin ? , cos ? ) , ? ? (? ,2? ) , 且 | a ? b |?
sin ? 的值.
分,第(2)小题满分 9 分. 已知向量 m ? ?1,1? , 向量 n 与向量 m 的夹角为

8 2 5

,求

12. (上海市浦东区 2013 年高考二模数学(文)试题 )本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 5

??

?

??

3?

4 ? (1)求向量 n ; ? ? ? ? ? C ? (2)若向量 n 与 q ? (1, 0) 共线,向量 p ? ? 2 cos 2 , cos A ? ,其中 A 、 C 为 ?ABC 的内 2 ? ? ? ? ? 角,且 A 、 B 、 C 依次成等差数列,求 n ? p 的取值范围.

,且 m ? n ? ?1 .

?? ?

上海市 16 区 2013 届高三二模数学(文)试题分类汇编 4:平面向量参考答案 一、选择题 1. 2.

C

C;

二、填空题 3. 4. 5. 6.

a1b2 ? a 2 b1 ;

5 2 3

;

?
?

28 3
1 2

;

7. 8. 9.

;

2;

3 2

;

10. [?2 , 6] 三、解答题 11. a ? b ? (cos ? ? sin ? ?

2 , cos ? ? sin ? )
2 ) 2 ? (cos ? ? sin ? ) 2

| a ? b |?
?

(cos ? ? sin ? ?

4 ? 2 2 (cos ? ? sin ? )

?? ? ? 2 1 ? cos? ? ? ? . 4? ?
由 | a ? b |?

8 2 5

,得 cos? ? ?

? ?

??

7 . ?? 4 ? 25

?? ?? 24 ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? ? ? ? . 4? 4? 25 ? ?
? ?? ?? ? ?? ? 31 2 17 2 ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? cos ? cos? ? ? ? sin ? ? 或 4 4? 4? 4 4? 4 50 50 ? ? ?
? ? ? ? ? 2? ,
? sin ? ? ? 31 2 50 .

另解:? a ? b ? ( 2 ? sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? )

?

?

? ?2 128 ? a ? b ? ( 2 ? sin ? ? cos ? ) 2 ? (sin ? ? cos ? ) 2 ? 4 ? 2 2(sin ? ? cos ? ) ? 25
? sin ? ? cos ? ? ?
2

7 2 25



由 (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2 sin ? cos ? ?

98 625

,得 2 sin ? cos ? ?

527 625

? 0,

3 ? ? ? (? , ? ) 2
? sin ? ? cos ? ? ? 1 ? 2 sin ? cos ? ? ? 24 2 25


由①、②得 sin ? ? ?

31 2 50

12.解:(1)设 n ? ( x, y ) .由 m ? n ? ?1 ,得 x ? y ? ?1 ①

?

?? ?

又向量 n 与向量 m 的夹角为

?

??

3? 4

,得 x ? y ? 1 ②
2 2

由①、②解得 ?

? x ? ?1 ?y ? 0

或?

?x ? 0 ? y ? ?1

,? n ? (?1, 0) 或 n ? (0, ?1)

?

?

(2)向量 n 与 q ? (1, 0) 共线知 n ? (?1, 0) ; 由 2B ? A ? C 知 B ?

?

?

?

?
3

,

A?C ?

2? 3

, 0? A?

2? 3

? ? ? ? C ? n ? p ? ? ?1 ? 2 cos 2 , cos A ? ? ? cos C , cos A ? , 2 ? ?
? ? 2 ? 1 ? cos 2 A 1 ? cos 2C ? n ? p ? cos 2 C ? cos 2 A ? ? 2 2

? 1?

1? 1 ?? ? 4? ?? ? ?cos 2 A ? cos ? 3 ? 2 A ? ? ? 1 ? 2 cos ? 2 A ? 3 ? 2? ? ?? ? ?
2? 3 ,

?0 ? A ?

?
3

? 2A ?

?
3

?

5?

?? 1 ? , ??1 ? cos ? 2 A ? ? ? , 3 3? 2 ?



1

? ? 2 ?1 5 ? ? ?? 5 ? ? 1 ? cos ? 2 A ? ? ? ,即 n ? p ? ? , ? , 2 3? 4 ? ?2 4 ?

? ? ? 2 5? ? ? n? p ?? , ? ? 2 2 ? ?


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