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2013届华师一附中高一上学期课外基础训练题(六)---对数函数


高一上学期课外基础训练题(六)
一.选择题
1. 设 f ( x) ? lg

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为 2? x 2 x
B. (?4, ?1) ? (1, 4) D. (?4, ?2) ? (2, 4)

(

)

A. (?4, 0) ? (0, 4) C. (?2, ?1) ? (1, 2)

2. 函数 f(x)(x∈R)的图象如图 2-3-2,则函数 g(x)=f(logax)(0<a<1)的单调减区间是

(

)

? 1? A. ?0, ? ? 2?

B.

? a ,1? ? a,
a ?1

?1 ? C.(-∝,0)∪ ? ,?? ? ?2 ?

D.

?
( )

3. 设函数 f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则 a+b 等于 A.6 B.5 C.4 D.3

4.函数 y=3

x 2 ?1

(-1≤x<0)的反函数是

( B.y=- 1? log3 x (x≥ D.y=- 1? log3 x (

)

A.y= 1? log3 x (x≥ C.y= 1? log3 x (

1 ) 3

1 ) 3

1 <x≤1) 3

1 <x≤1) 3

5.已知 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? lg x. 设 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 则 ( (A) a ? b ? c (B) b ? a ? c (C) c ? b ? a (D) c ? a ? b )

6 5

3 2

5 2

6.已知 f ( x) ? ?

?(3 ? a) x ? 4a, x<1, 是(- ? ,+ ? )上的增函数,那么 a 的取值范围是 ?log a x, x ? 1
(B)(- ? ,3) (C)[

(

)

(A)(1,+ ? )

3 ,3) 5

(D)(1,3)

1

二.填空题
7.方程 log3(1-2· x)=2x+1 的解 x 等于______________. 3

8.函数f(x)=loga(-x2+log2ax)的定义域为(0,

1 ),则a的取值范围是______________. 2

?2 ? x , x ? (??,1] 1 9.设函数 f(x)= ? ,则满足 f(x)= 的 x 值为______________. 4 ?log 81 , x ? (1,?? )

10.若函数 f(x)=loga(2-logax)在[

1 ,4]上单调递减,则正实数 a 的取值范围是______________. 4

11.设函数 f(x)=lg(x2+ax-a-1),给出下述命题: ① f(x)有最小值; ② 当 a=0 时,f(x)的值域为 R; ③ 当 a>0 时,f(x)在区间[2,+∞ ) 上有反函数; ④ 若 f(x)在区间[2,+∞ ) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 a≥-4. 则其中正确的命题是______________.(要求:把正确命题的序号都填上)

12. 已知偶函数 y ? f (x) 满足条件 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) , 且当 x ? [?1,0] 时,f ( x ) ? 3 ?
x

4 , fo 则 ( lg 9

1 3

5)

的值等于______________.

三.解答题
13. 已知函数 y ? log2 ( x 2 ? 2) 的定义域为[a, b],值域为[1, log214],求 a, b 的值。

14. 已知函数 f ( x) ? lg[(a ? 1) x ? (a ? 1) x ? 1] 。
2 2

(1)若 f (x) 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若 f (x) 的值域为 R,求实数 a 的取值范围。

2

15. 已知函数 x,y 满足 x≥1,y≥1

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loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0 且 a≠1),求 loga(xy)的取值范围

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16.设函数 f ( x) ? lg

1 ? 2 x ? ? ? (n ? 1) x ? n x a ,其中 a 是实数,n 是自然数,且 n ? 2 ,若 f(x)当 n

x ? (??,1] 时有意义,求 a 的取值范围。

17.设 a>0, a≠1 为常数,函数 f(x)=loga

x?5 。 x?5

(1)讨论函数 f(x)在区间(-∞, -5)内的单调性,并给予证明; (2)设 g(x)=1+loga(x-3),如果方程 f(x)=g(x)有实根,求 a 的取值范围。

18. 已知实数 t 满足关系式 loga

t y ? loga 3 (a>0 且 a≠1) 3 a a x (1) 令 t=a ,求 y=f(x)的表达式; (2) 若 x∈(0,2 ] 时,y 有最小值 8,求 a 和 x 的值
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(参考答案见下页)

3

一.选择题
1. 解:f(x)的定义域是(-2,2) ,故应有-2?

x 2 ?2 且-2? ?2 解得-4?x?-1 或 1?x?4 故选 B 2 x
1 , 2

2. 解:y=logax(0<a<1)在(0<+∝)上是减函数,根据复合函数的单调性及图象知,当 0≤logax≤ 即 a ≤x≤1 时,g(x)为减函数,其单调区间为[ a ,1],∴应选 B. 3. 解:函数 f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图象过点(2,8), 则?

? log a (2 ? b) ? 1 ? 2?b ? a ,∴ ? , a ? 3 或 a ? ?2 (舍),b=1,∴a+b=4,选 C. 8 ? b ? a2 ?log a (8 ? b) ? 2 ?
x 2 ?1

4. 解: y=3 由 的值域为(

解关于 x 的方程, x=± 1? log3 y , ∵x<0, ∴x=- 1? log3 y 。 得 又-1≤x<0, ∴函数 y=3

x 2 ?1

1 1 , 3 ] ,故反函数为 y=- 1? log3 y ( <x≤1). 答案:D 3 3 6 5 4 5 4 5

5. 解:已知 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? lg x. 设 a ? f ( ) ? f (? ) ? ? f ( ) ,

3 1 1 5 1 b ? f ( ) ? f (? ) ? ? f ( ) , c ? f ( ) ? f ( ) <0,∴ c ? a ? b ,选 D. 2 2 2 2 2
6. 解:依题意,有 a?1 且 3-a?0,解得 1?a?3, 又当 x?1 时, (3-a)x-4a?3-5a, x?1 时, ax?0, 当 log 所以 3-5a?0 解得 a?

3 ,所以 1?a?3 故选 D 5

二.填空题

1 ? 1 ? ? 1 ?0 ? t ? 2 ?1 ? 2 ? 3 x ? 0 0 ? 3x ? t? ? ? ? ?? 7. 解: ? 得 3x=t∴ ? , 2 ?? 2 x 2 x ?1 1 2 ?1 ? 2 ? 3 ? 3 ?3 ? 3 2 x ? 2 ? 3 x ? 1 ? 0 ?3t ? 2t ? 1 ? 0 ?t ? 或 ? 1 ? ? ? 3 ?
∴t=

1 1 ,∴3x= ,∴x=-1。 3 3

1 )内恒成立,作y=x2及y=log2ax的图象,由图及对数函数 2 1 1 1 的图象与底数的关系可知: ≤2a<1,即 ≤a< 。 16 2 32
8. 解:由题意-x2+log2ax>0,即x2<log2ax在(0, 9. 解:当 x∈(-∞,1 ] ,值域应为[

1 1 ,+∞) ,当 x∈(1,+∞)时值域应为(0,+∞) ,∴y= , 2 4

1 1 y∈(0,+∞) ,∴此时 x∈(1,+∞) ,∴log81x= ,x=81 4 =3 4

10. 解:令 t=2-logax,则当 a>1 时,y=logat 在(0, +∞)上单调递增,t=2-logax 在[ ∴f(x)=loga(2-logax)在[

1 ,4]上单调递减, 4
4

2o g l 1 1 , 4]上单调递减, t=2-logax 在[ , 又 4]上恒大于 0, ∴2-loga4>0, 即 4 4 o g l

a ?1 >0, 4 a
4

∴log4a>

1 1 1 或 log4a<0(舍) ,∴a>2;同理当 0<a<1 时,有 0<a< 。答案:0<a< 或 a>2。 2 2 2

11. 解:①错误,∵x2+ax-a-1=0 的判别式△=a2+4a+4=(a+2)2≥0,∴值域为 R,故②正确,又 ∵x2+ax-a-1=(x+

a 2 a2 )-a-1,一根为 1,一根为-(a+1), ∴③正确。当 a=-4,1≤x≤3 时, 2 4

x2+ax-a-1≤0,故④是错误的。答案:②③ 12. 解:? f ( x ? 2) ? f [(x ? 1)?] ? f [(x ? 1) ? 1] ? f ( x) ,? 2 是 f (x) 的一个周期,

5 5 5 5 ? f (log1 5) ? f (log1 5 ? 2) ? f (log1 ) ? f (? log1 ) ? f (log3 ) ,? ?1 ? log 3 ? 0 , 9 9 9 9 3 3 3 3
log3 5 4 ∴ f (log3 ) ? 3 9 ? ? 1 . 9 9 5

三.解答题
13. 解:要使函数有意义,则 x 2 ? 2 ? 0 ,∴ x ? 2 或 x ? ? 2 。∵由题意知定义域为[a, b],∴ a ? 2 或
b?? 2

① 当 a ? 2 时, u ? x 2 ? 2 ↗, y ? log2 u ↗, y ? log2 ( x 2 ? 2) 在[a, b]上为单调增, y ? [ f (a) , 令 ∴ ∴ 故
f (b)] ? [1 , log214],∴

f (a ) ? 1 f (b) ? log2 14

,∴

a?2 b?4

.

② 当 b ? ? 2 时,同理可得 a ? ?4 , b ? ?2 . 综上可得: a ? ?4 , b ? ?2 或 a ? 2 , b ? 4 为所求。
2 14. 解: (1)依题意, (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,当 a ? 1 ? 0 时的充要条件是

5 ?a 2 ? 1 ? 0 ?? ? (a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 1) ? 0 ,解得 a ? ?1或a ? ;又当 a ? ?1 时,有 1 ? 0 恒成立.? a 的取值范围是 3 ? 5 (?? ,?1] ? ( ,?? ) 。 3
(2)依题意,只要 t ? (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 1能取到(0, ? ? )内的所有值,则 f (x) 的值域为 R,
2 5 5 ? ?a ? 1 ? 0 ,∴ 1 ? a ? .又 a 2 ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 时, t ? 2 x ? 1 ,符合题意.? a 的取值范围为 [1, ] . ?? ? 0 3 3 ?

15. 解 由已知等式得 loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax-1)2+(logay-1)2=4, 令 u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0),k=u+v 在直角坐标系 uOv 内, 圆弧(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0)与平行直线系 v=-u+k 有公共点,分两类讨论
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(1) 当 u≥0,v≥0 时,即 a>1 时,结合判别式法与代点法得 1+ 3 ≤k≤2(1+ 2 ); (2)当 u≤0,v≤0,即 0<a<1 时,同理得到 2(1- 2 )≤k≤1- 3
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5

综上,当 a>1 时,logaxy 的最大值为 2+2 2 ,最小值为 1+ 3 ; 当 0<a<1 时,logaxy 的最大值为 1- 3 ,最小值为 2-2 2
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16. 解:使函数 f(x)=lg

1 ? 2 x ? ? ? (n ? 1) x ? n x a 有意义的 x 的集合满足: n


x ?? 1 ? x ? 2 ? x ? n ?1? ? 1 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n a ? 0 ,即 a ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? g ( x) , ? n ? ? ?? n ? ? n ? ? ?

x

x

x

? i ?1? 因 f (x) 的定义域是 (??,1] ,故对于一切 x ? ?? ?,1? ,①式恒成立。由函数 h( x) ? ? ? , (i ? 1,2,?, n) ? n ?
x

在 x ? ?? ?,1? 上是减函数知函数 g (x) 在 x ? ?? ?,1? 上是增函数。故 g (x) 在 x ? ?? ?,1? 上的最大值是

1 2 n ?1 1? n 1? n g (1) ? ?( ? ? ? ? )? ,?? ) 。 。故所求范围是( n n n 2 2 x?5 x?5 17. 解: (1)当 a>1 时,f(x)=loga 在(-∞, -5)上是增函数;当 0<a<1 时,f(x)=loga 在 x?5 x?5
(-∞, -5)上是减函数。

x?5 =1+loga(x-3)有大于 5 的实根,即方程 x?5 x?5 t x?5 a(x-3)= 有大于 5 的实根,而 a[(x-5)+2]= ,设 t=x-5,则 a(t+2)= 有正根。 x ? 5 ? 10 t ? 10 x?5
(2)若 g(x)=1+loga(x-3),且 f(x)=g(x)有实根,则 loga=

1 (t ? 2)( t ? 10) 20 3? 5 ? ?t? ? 12 ? 4 5 ? 12 。从而解得 0<a≤ 。 a t t 16
18. 解 (1)由 loga
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t y x ? logt 3 得 logat-3=logty-3logta,由 t=a 知 x=logat,代入上式得 3 a a
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x-3=

2 loga y 3 ? ,∴logay=x2-3x+3,即 y=a x ?3x ?3 (x≠0) x x 3 3 (2)令 u=x2-3x+3=(x- )2+ (x≠0),则 y=au 2 4 3 3 ① 若 0<a<1,要使 y=au 有最小值 8,则 u=(x- )2+ 在(0,2 ] 上应有最大值,但 u 在(0,2 ] 上不 2 4
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存在最大值

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② 若 a>1,要使 y=au 有最小值 8,则 u=(x-
3 3

3 2 3 3 ) + ,x∈(0,2 ] 应有最小值, ∴当 x= 时, 2 4 2
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umin=

3 3 ,ymin= a 4 ,由 a 4 =8 得 a=16 ∴所求 a=16,x= 4 2
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