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高三数学棱锥1


一、棱锥的概念和性质
我们常见的帐篷或金字塔等一些物体,都 给我们以顶尖底平的形象

定义: 如果一个多面体的一个面是多边形,其余 各面是有一个公共顶点的三角形,那么这 个多面体叫做棱锥

如果一个多面体的一个面是多边形,其余各面是有 一个公共顶点的三角形,那么这个多面体叫做棱锥

1、这个多边形叫做棱锥的底面,其余各面叫 做棱锥的侧面 2、相邻侧面的公共边 叫做棱锥的侧棱 3、各侧面的公共 顶点叫做棱锥的 顶点,顶点到底面 的距离叫做棱锥的高

S

D
E O C

A

B

二、棱锥的表示法 1 .用顶点及底面各顶点字母表示棱锥, 如:棱锥S-ABC

2.用顶点及底面一对角线字母表示, 如:棱锥S-AC
S S


A B C A B C D

三、棱锥的分类
按底面多边形的边数分类可分 为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

三棱锥

四棱锥

五棱锥

四、棱锥的性质
定理:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么 截面和底面相似,并且它们的面积的比等于截得的 棱锥的高与原棱锥的高的平方比

证明:因为截面平行于底面,所以A’B’//AB,B’C’//BC, C’D’//CD,……。 ∴∠A’B’C’=∠ABC,∠B’C’D’=∠BCD ……。 又因为过SA、SH的平面与截面和底面分别交于A’H’ 和AH ∴A’H’//AH S
SA’ SH’ A’B’ 由此得 AB = SA = SH SH’ … B’C’ = 同理 BC SH B’C’ SH’ A’B’ ∴ AB = BC = … = SH

A’ E

E’

A

D’ H’ C’ 因此截面A’B’C’D’E’∽底面ABCDE B’ A’B’2 S A’B’C’D’E’ SH’2 D ∴ SABCDE = AB2 = SH2 H C

B

五、特殊的棱锥-正棱锥
定义:如果一个棱锥的底面是正多边形,并 且顶点在底面的射影是底面中心,这样的棱 锥叫正棱锥
(正多边形的外接圆(内切圆)圆心叫正多边形中心)

正三棱锥

正五棱锥

正棱锥的性质
(1)、各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。 各等腰三角形底边上的高相等,叫做正棱锥的斜高 (2)、正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影 组成 一个直角三角形;正棱锥的高、侧棱、侧棱在 底面内的射影也组成一个直角三角形。 S

(3)、正棱锥侧棱 与底面所成的角 都相 等,侧面与底面所成 的二面角都相等
F A E









练习:判断正误: (1)正棱锥的侧面是正三角形; (2)正棱锥的侧面是等腰三角形; (3)底面是正多边形的棱锥是正棱锥; (4)正棱锥的各侧面与底面所成的二面角都相等; (5)侧棱都相等的棱锥是正棱锥; (6)有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何 体是棱锥

例1、已知正三棱锥S – ABC的高SO=h,斜高 SM= l, 求经过SO的中点且平行底面的截面△A’B’C’的面积 解:连结OM、OA。在Rt△SOM中, OM= √l 2 - h 2 因为棱锥S – ABC是正棱锥 所以点O是正三角形ABC的中心 S AB=2AM=2?OM ?t a n 600 =2√3 ? √ l 2 - h 2 3 2 3 2 - h 2) S△ABC = AB = × 4 × 3 ( l 4 4 A’ C’ 根据棱锥截面的性质,有 O’ B’ S △A’B’C’ = 1 S△ABC 4 A C O 3 3 2 S △A’B’C’ = (l - h 2) M B 过高的中点且平行于底面的截面叫做中截面
4

例 2 、正四棱锥 S-ABCD 中 , 高为 a, 底面 边长为2a, 求: (1)、底面与侧面所成的二面角 (2)、点B到侧棱SC的距离 (3)、相邻两个侧面所成的二面角
S E

D

A

O

B

H

C

〖课堂小结〗
(1)棱锥的概念 (2)棱锥 “平行于底面的截面”的性质 (3)正棱锥的概念及性质

(4)对于正棱锥要熟悉两个直角三角形

〖课后作业〗 P62 习题9.9

7、8、9、10

3、下列说法是否正确



(1) 底面是正多边形的棱锥是正棱 锥 (2) 底面是正多边形 , 各侧面都是等 腰三角形的棱锥是正棱锥 (3) 底面是正多边形 , 各侧棱与底面 所成的角相等的棱锥是正棱锥 (4)顶点在底面的射影为底面多边 形的外心的棱锥是正棱锥

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