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高二学年第一次月考数学试题(理


高二学年第一次月考数学试题(理)
2015 年 10 月 7-8 日 第 I 卷(选择题)
一、选择题 1.直线 x=1 的倾斜角和斜率是 ( A 45°,1 B

) 错误!未找到引用源。,不存在

C 135°, -1 D 错误!未找到引用源。,不存在 2.求过点 P(2,3) ,并且在两轴上的截距互为相反数的直线方

程 ( ) A. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 5 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 或 3 x ? 2 y ? 0 D. x ? y ? 5 ? 0 或 3 x ? 2 y ? 0 ) 错误!未找

3.若直线 l1 : ax ? 3 y ? 1 ? 0 与 l2 : 2 x ? ( a ? 1) y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 的值是( A ?3 到引用源。D 错误!未找到引用源。B 2 C ?3或2 )

3或- 2

4.平行线 3 x ? 4 y ? 9 ? 0 和 6 x ? my ? 2 ? 0 的距离是(

8 5 11 C. 5
A.

B. 2 D.

7 5
)

5.原点和点 (2, ?1) 在直线 x ? y ? a ? 0 的两侧,则实数 a 的取值范围是( A. 0 ? a ? 1 B. 0 ? a ? 1 C. a ? 0 或 a ? 1 D. a ? 0 或 a ? 1

2 2 6.设 P, Q 分别为直线 x ? y ? 0 和圆 x ? ( y ? 6) ? 2 上的点,则 | PQ | 的最小值为(



A C

2 2 4 2

B D

3 2

4


7.过点 P (?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( A. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 B. 2 x ? y ? 5 ? 0 D. x ? 2 y ? 7 ? 0

8.已知圆心 ? 2, ?3? ,一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是( A. x ? y ? 4 x ? 6 y ? 8 ? 0
2 2



B. x ? y ? 4 x ? 6 y ? 8 ? 0
2 2

C. x ? y ? 4 x ? 6 y ? 0
2 2

D. x ? y ? 4 x ? 6 y ? 0
2 2

9.点 M( x 0 , y 0 )在圆 x ? y ? R 外,则直线 x 0 x ? y 0 y ? R 2 与圆的位置关系是(
2 2 2



A.相切

B. 相交

C.相离

D.不确定

? y 2 ? x2 ? 0 10.已知 P(x,y)为区域 ? 内的任意一点,当该区域的面积为 4 时,z=2x-y 的最 ?0 ? x ? a
大值是( A.6 ) B.0 C.2 D. 2 2 )

11.若圆 O1 : x 2 ? y 2 ? 1 与圆 O2 : ( x ? 3) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相交,则 r 的范围为( A. (1,2) B. (2,3)
y
2

C. (2,4)

D. (3,4)

12.设 F1 、 F2 是椭圆 x 2 ?

b2

? 1(0 ? b ? 1) 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点,

若 | AF1 |? 3 | F1 B | ,且 AF2 ? x 轴,则 b 2 ? ( A.
1 4

) C.
2 3

B.

1 3

D.

3 4

第 II 卷(非选择题)
二、填空题 13.若三点 A(-2,3) , B(3,-2) ,C(

1 ,m)共线,则 m 的值为______; 2
0

14. 由动点 P 向圆 x 2 ? y 2 ? 1 引两条切线 PA, PB , 切点分别为 A, B, ?APB ? 60 , 则动点 P 的轨迹方程为 。

?x ? y ? 1 ? 15.已知不等式组 ? x ? y ? ?1 ,表示的平面区域为 M,若直线 y ? kx ? 3k 与平面区域 M 有 ?y ? 0 ?
公共点,则 k 的取值范围是_____ 16.椭圆 C : _;

x2 y 2 若 F 关于直线 3 x ? y ? 0 的对称点 A 是 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , a 2 b2


椭圆 C 上的点,则椭圆 C 的离心率为_____ 三、解答题 17.写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)焦点在 x 轴上,a=6,e= (2)经过点 P(-3,0),Q(0-2) 18、求满足下列条件的直线的方程。

1 3

(1)经过两条直线 2x-3y+10=0 和 3x+4y-2=0 交点,且垂直于直线 3x-2y+4=0; (2) 经过两条直线 2x+y-8=0 和 x-2y+1=0 交点,且平行于直线 4x-3y-7=0;

19 .求经过两圆 x ? y ? 2 x ? 3 ? 0 与 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 的交点,且圆心在直线
2 2 2 2

2 x ? y ? 0 上的圆的方程.
20 已知圆 C : ( x ? a) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 (a ? 0) 及直线 l : x ? y ? 3 ? 0 . 当直线 l 被圆 C 截得的弦长 为 2 2 时, 求(1) a 的值; (2)求过点 (3,5) 并与圆 C 相切的切线方程.

x2 y 2 21. .如图,A,B,C 是椭圆 M: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的三点,其中点 A 是椭圆的右顶点, a b
BC 过椭圆 M 的中心,且满足 AC⊥BC,BC=2AC。

(1)求椭圆的离心率; (2)若 y 轴被△ABC 的外接圆所截得弦长为 9,求椭圆方程。 22.已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半 a 2 b2 2

径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P(4, 0) , M 、 N 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连结 PN 交椭圆 C 于 另一点 E ,求直线 PN 的斜率的取值范围; (3)在(2)的条件下,证明直线 ME 与 x 轴相交于定点。

理科参考答案
1B 13. 2B 3A 4B
2

5 B
2

6A

7A

8D

9B

10A 16.

11C 12C

1 2

14. x ? y ? 2

15. ? ? , 0 ? 3
2

? 1 ?
2

? ?

3 ?1

17(1)

36

x

2

y ?

2

32

?1

(2) x

9

y ?

4

?1

18(1)2X+3y-2=0
2 2

(2) 4X-3y-6=0

19. 3 x ? 3 y ? 2 x ? 4 y ? 21 ? 0 . 20(1) a ? 1 ; (2) 5 x ? 12 y ? 45 ? 0 或 x ? 3

6 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

y
f ? x? = x + 3

O
–1 –2 –3 –4

1

2

3

4

5

x

( 1 ) 依 题 意 可 得 圆 心 C (a,2), 半径r ? 2 , 则 圆 心 到 直 线 l : x ? y ? 3 ? 0 的 距 离

d?

a?2?3 1 ? (?1)
2 2

?

a ?1 2

,由勾股定理可知 d 2 ? (

2 2 2 ) ? r 2 ,代入化简得 a ? 1 ? 2 ,解 2

得 a ? 1或a ? ?3 ,又 a ? 0 ,所以 a ? 1 ; (2)由(1)知圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 ,
2 2

又 (3,5) 在圆外,? ①当切线方程的斜率存

在时,设方程为 y ? 5 ? k ( x ? 3) ,由圆心到切线的距离 d ? r ? 2 可解得 k ?

5 ,? 切线 12

方程为 5 x ? 12 y ? 45 ? 0 ……9 分,②当过 (3,5) 斜率不存在,易知直线 x ? 3 与圆相切,综 合①②可知切线方程为 5 x ? 12 y ? 45 ? 0 或 x ? 3 . 21:

(1)因为 BC 过椭圆 M 的中心,所以 BC ? 2OC ? 2OB ,又 AC ? BC , BC ? 2 AC ,所以

?OAC 是以角 C 为直角的等腰直角三角形,
a a ( )2 (? )2 a a a a 10 ? 1 ,则 a 2 ? 3b 2 , 则 A(a, 0), C ( , ? ), B( ? , ), AB ? a ,所以 2 2 ? 2 2 a b 2 2 2 2 2
所以 c 2 ? 2b 2 , e ?

6 ; 3
a a 4 4

(2) ?ABC 的外接圆圆心为 AB 中点 P ( , ) ,半径为

10 a, 4

a 5 2 a 4 8 5a a 5a a 令 x?0, y? 或 y ? ? ,所以 (也可以由垂径定理得 ? (? ) ? 9 , 得 a ? 6 , 4 4 4 4
则 ?ABC 的外接圆为: ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ?

a 4

(

x2 y 2 10 2 a 2 9 ?1. a ) ? ( ) ? 得 a ? 6 )所以所求的椭圆方程为 ? 4 4 2 36 12

22.:

c2 a 2 ? b2 3 c 3 2 ? ,即 a 2 ? 4b 2 ,又因为 b ? ,所以 e2 ? 2 ? ? ? 1, 2 a a 4 a 2 1?1 x2 所以 a 2 ? 4, b 2 ? 1 ,故椭圆 C 的方程为 C : ? y 2 ? 1 .………4 分 4 ⑵由题意知直线 PN 的斜率存在,设直线 PN 的方程为 y ? k ( x ? 4) ①
解:⑴由题意知 e ?

? y ? k ( x ? 4) ? 联立 ? x 2 消去 y 得: (4k 2 ? 1) x 2 ? 32k 2 x ? 4(16k 2 ? 1) ? 0 ,……..6 分 2 ? ? y ?1 ?4
由 ? ? (32k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 1)(64k 2 ? 4) ? 0 得 12k 2 ? 1 ? 0 ,……….7 分 又 k ? 0 不合题意, 所以直线 PN 的斜率的取值范围是 ?
3 3 .……….9 分 ? k ? 0 或0 ? k ? 6 6 y2 ? y1 ( x ? x2 ) x2 ? x1

⑶设点 N ( x1 , y1 ) , E ( x2 , y2 ) ,则 M ( x1 , ? y1 ) ,直线 ME 的方程为 y ? y2 ? 令 y ? 0 , 得 x ? x2 ?
x? 2 x1 x2 ? 4( x1 ? x 2 ) . x1 ? x2 ? 8

y2 ( x2 ? x1 ) , 将 y1 ? k ( x1 ? 4) , y2 ? k ( x2 ? 4) 代 入 整 理 , 得 y2 ? y1

②…………….12 分

32k 2 64k 2 ? 4 , x1 x2 ? 代入②整理,得 x ? 1 , 2 4k ? 1 4k 2 ? 1 所以直线 ME 与 x 轴相交于定点 (1, 0) .……….14 分
由得① x1 ? x2 ?


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