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2017届河南省天一大联考高三上学期阶段性测试(一)文数试题(解析版)


一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合 A ? {0,1, 2,3} , B ? {n | n ? 2 A. {1,2,3} 【答案】B
k ?1

, k ? A} ,则 A ? B ? (

) C. {1} D. {3}

B. {1,2}

考点:集合交集. 【易错点晴】集合的三要素是:确定性、互异性和无序性.研究一个集合,我们首先要看清楚它的研究对 象,是实数还是点的坐标还是其它的一些元素,这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式,我 们首先用十字相乘法分解因式,求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中,要注意分母不能为零.元 素与集合之间是属于和不属于的关系,集合与集合间有包含关系. 2.已知复数 z ? ?2i ? A. 4 【答案】B 【解析】 试题分析: z ? ?2i ? ?1 ? 4i ? (?i ) ? 4 ? 3i, z ? 5 . 考点:复数概念及运算. 3.半径为 3 ( ) B. 54 C. 88 D. 108

1 ? 4i ,则复数 z 的模为( i
B. 5

) C. 6 D. 7

36

?

的球的体积与一个长、宽分别为 6、4 的长方体的体积相等,则长方体的表面积为

A. 44 【答案】C 【解析】 试题分析:球的体积为

4 3 4 36 ? r ? ? ? ? 48 , 长 方 体 的 高 为 48 ? 6 ? 4 ? 2 , 故 表 面 积 为 3 3 ?

2 ? 6 ? 4 ? 4 ? 2 ? 6 ? 2 ? ? 88 .
考点:球与长方体. 4.设抛物线 C : y ? 4 x 的焦点为 F ,准线 l 与 x 轴的交点为 R ,过抛物线 C 上一点 P 作准线 l 的
2

垂线,垂足为 Q .若 ?QRF 的面积为 2,则点 P 的坐标为( A. (1,2)或(1,-2) C. (1,2) 【答案】A



B. (1,4)或(1,-4) D. (1,4)

考点:直线与圆锥曲线位置关系. 5.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0,? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

) 的图象如图所示,则(



A. f ( x) ? 2sin 3 x C. f ( x) ? 2sin(3 x + 【答案】D 【解析】 试题分析:由图可知 A ? 2 . f ? 0 ? ? 2sin ? ? 1, ? ? 考点:三角函数图象与性质.

B. f ( x) ? 2sin( x +

?
3

) )

?
6



D. f ( x) ? 2sin(2 x +

?
6

?
6

,f?

?? ?? ? ?? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2, ? ? 2 ,选 D. 6? ?6? ?6

6.以 ( a,1) 为圆心,且与两条直线 2 x ? y ? 4 ? 0 与 2 x ? y ? 6 ? 0 同时相切的圆的标准方程为( A. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 5
2 2



B. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 5
2 2

C. ( x ? 1) ? y ? 5
2 2

D. x ? ( y ? 1) ? 5
2 2

【答案】A

考点:直线与圆的位置关系. 7.满足不等式 m 2 ? 4m ? 12 ? 0 的实数 m 使关于 x 的一元二次方程 x 2 ? 4 x ? m 2 ? 0 有实数根的概 率是( A. ) B.

1 2

1 3

C.

1 4

D.

1 5

【答案】A 【解析】 试 题 分 析 : 由 m 2 ? 4m ? 12 ? 0 解 得 ?2 ? m ? 6 , 一 元 二 次 方 程 x 2 ? 4 x ? m 2 ? 0 有 实 数 根 ,

1 ? ? 16 ? 4m 2 ? 0, ?2 ? m ? 2 ,故概率为 . 2
考点:几何概型. 8.如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积为( )

A. 6 ? D. 4 ?

?
3

2? 3

B. 8 ?

?
3

C. 4 ?

2? 3

【答案】C 【解析】 试题分析:相当于一个圆锥和一个长方体,故体积为 ? ? 2 ? 2 ? 2 ?1 ? 4 ?

1 3

2? . 3

考点:三视图. 9.执行如图所示的程序框图,如果输入的 P ? 2 , Q ? 1 ,则输出 M 的等于( )

A.19 D.37 【答案】B

B. 24

C.30

考点:算法与程序框图. 10.已知直线 l 与函数 f ( x) ? ln( ex) ? ln(1 ? x) 的图象交于 P , Q 两点,若点 R ( , m) 是线段 PQ 的中点,则实数 m 的值为( A. 2 【答案】C 【解析】 试题分析: 注意到 f ( ) ? ln( ) B. 1 C.

1 2

1 2

D.

1 4

1 2

e 1 1 ?1 ? ?1 ? 经计算得 f ? ? x ? ? f ? ? x ? ? 1 , 故函数 f ? x ? 关 ) ? ln(1 ? ) ? , 2 2 2 ?2 ? ?2 ?

于点 ?

1 ?1 1? , ? 对称,故 m ? . 2 ?2 2?

考点:函数图象与性质. 11.已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

1 ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x , x ? [0, ] .若 m 是使不等式 f ( x) ? a ? 2 3 2 3


m2 ? ?( 恒成立的 a 的最小值,则 cos 6
A.?

3 2

B.?

1 2

C.

3 2

D.

1 2

【答案】D

【解析】 试题分析:

f ( x) ?

? 1 1 3 1 ? cos 2 x 1 1 ? 3 1 ?? ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? cos 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? , ? ? 2 2 2 2 2 ? 2 2 6? ? ? 2

? 2? ? ? 5? 2 1 x ? [0, ], 2 x ? [0, ], 2 x ? ? [ , ] ,故最大值为 0 , a ? 2 ? 0, a ? 2 , cos ? ? . 3 3 6 6 6 6 2
考点:三角函数恒等变形. 【思路点晴】对于三角恒等变换,高考命题主要以公式的基本运用、计算为主,其中多以与角的范围、 三角函数的性质、三角形等知识结合考查,在三角恒等变换过程中,准确记忆公式、适当变换式子、有 效选取公式是解决问题的关键.应熟悉公式的逆用和变形应用,公式的正用是常见的,但逆用和变形应 用则往往容易被忽视,公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力, 只有熟悉了公式的逆用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用. 12.函数 f ( x) ? ln x 在点 P ( x0 , f ( x0 )) 处的切线 l 与函数 lg( x) ? e 的图象也相切,则满足条件的
x

切点 P 的个数有( A.0 个 个 【答案】C

) B.1 个 C.2 个 D.3

考点:函数导数与切线. 【思路点晴】两个函数的切线相同,我们就可以这样来操作,先在第一个函数中求得其切线方程,如本 题中的 y ?

x 1 ? ln x0 ? 1 ,得到斜率为 ,利用这个斜率,可以求得第二个函数的切点,从而求得其切 x0 x0 x 1 1 1 ? ln ? ,这两个切线方程应该是相等的,故它们的截距相等,根据两个截距相 x0 x0 x0 x0

线方程为 y ?

等,可以得到关于切点横坐标的一个方程,我们根据图象就可以知道这个切点的横坐标可以有两个.

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分. )
13.已知 | a |? 10 , a ? b?? 【答案】

?

? ?

? ? ? ? ? ? 5 30 ,且 (a -b)? (a ? b) ? ?15 ,则向量 a 与 b 的夹角为_________. 2

5? 6

考点:向量运算.

? x ? y ? 2 ? 0, ? 14.若 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ,则 z ? 3 x ? y 的最大值为__________. ? x ? y ? 2 ? 0, ?

【答案】 【解析】

10 3

试题分析:画出可行域如下图所示,由图可知目标函数在点 ?

10 ?2 4? , ? 取得最大值为 . 3 ?3 3?

考点:线性规划. 15.在 ?ABC 中,边 AB 的垂直平分线交边 AC 于 D ,若 C ? 面积为______. 【答案】 20 3 或 24 3

?
3

, BC ? 8 , BD ? 7 ,则 ?ABC 的

考点:解三角形. 【思路点晴】已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.已知两边 和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角,这是解题的难点,应引起 注意.要学会熟练运用几何性质,如本题中,线段垂直平分线上的点,到两段的距离相等.利用余弦定理 求边长,要注意有两个解的情况. 16.6 月 23 日 15 时前后,江苏盐城阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击,风力达 12 级.灾害发生后,有甲、乙、丙、丁 4 个轻型教授队从 A , B , C , D 四个不同的方向前往灾区.

已知下面四种说法都是正确的. (1)甲轻型教授队所在方向不是 C 方向,也不是 D 方向; (2)乙轻型教授队所在方向不是 A 方向,也不是 B 方向; (3)丙轻型教授队所在方向不是 A 方向,也不是 B 方向; (4)丁轻型教授队所在方向不是 A 方向,也不是 D 方向. 此外还可确定:如果丙所在方向不是 D 方向,那么甲所在方向就不是 A 方向.有下列判断: ①甲所在方向是 B 方向;②乙所在方向是 D 方向;③丙所在方向是 D 方向;④丁所在方向是 C 方向. 其中判断正确的序号是__________. 【答案】③

考点:合情推理与演绎推理. 【思路点晴】类比推理是由特殊到特殊的推理,是两类类似的对象之间的推理,其中一个对象具有某个 性质,则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后类比 推导类比对象的性质.类比推理时要尽量从本质上去类比,不要被表面现象迷惑,否则会犯机械类比的错 误.演绎推理是由一般到特殊的推理,数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的,只要采用的演绎推 理的大前提、小前提和推理形式是正确的,其结论一定是正确,一定要注意推理过程的正确性与完备性.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 12 分) 已知各项都为正数的等比数列 {an } 满足 5a1 ? 4a2 ? a3 ,且 a1a2 ? a3 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log 5 an ,且 S n 为数列 {bn } 的前 n 项和,求数列的 { 【答案】 (I) an ? 5n ; (II) ?n ? 【解析】 试题分析: (I)利用基本元的思想,将已知条件化为 a1 , q ,列方程组求得 a1 ? q ? 5 ,故 an ? 5n ; (II) 化

1 } 的前 n 项和 Tn . Sn

2n . n ?1

考点:数列的基本概念,裂项求和法. 18.(本小题满分 12 分) 某中学为了了解全校学生的上网情况,在全校采用随机抽样的方法抽取了 40 名学生(其中男女生人数 恰 好各占一半)进行问卷调查,并进行了统计,按男女分为两组,再将每组学生的月上网次数分为 5 组:

[0,5) , [5,10) , [10,15) , [15, 20) , [20, 25] ,得到如图所示的频率分布直方图:
(Ⅰ)写出 a 的值; (Ⅱ)求在抽取的 40 名学生中月上网次数不少于 15 次的学生人数; (Ⅲ)在抽取的 40 名学生中,从月上网次数不少于 20 次的学生中随机抽取 2 人 ,求至少抽到 1 名女 生 的概率.

【答案】 (I) 0.05 ; (II) 14 ; (III)

7 . 10

(Ⅲ)记“在抽取的 40 名学生中,从月上网次数不少于 20 次的学生中随机抽取 2 人,至少抽到 1 名女 生”为事件 A ,?????????????????????????????????????? (8 分) 在抽取的女生中,月上网次数不少于 20 次的学生频率为 0.02×5=0.1,人数为 0.1×20=2 人, 在抽取的男生中,月上网次数不少于 20 次的学生频率为 0.03×5=0.15,人数为 0.15×20=3 人, ???????????????????????????????????????????(10 分) 记这 2 名女生为 A1 , A2 ,这 3 名男生为 B1 , B2 , B3 , 则在抽取的 40 名学生中,从月上网次数不少于 20 次的学生中随机抽取 2 人,所有可能结果有 10 种,即

( A1 , A2 ) ,( A1 , B1 ) ,( A1 , B2 ) ,( A1 , B3 ) ,( A2 , B1 ) ,( A2 , B2 ) ,( A2 , B3 ) ,( B1 , B2 ) ,( B1 , B3 ) ,( B2 , B3 ) ,
而事件 A 包含的结果有 7 种, 它们是 ( A1 , A2 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A1 , B3 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A2 , B3 ) , 所以 P ( A) ?

7 .???????????????????????????????????( 12 10

分)考点:频率分布直方图,古典概型. 19.(本小题满分 12 分) 如图,已知等边 ?ABC 中, E , F 分别为 AB , AC 边的中点, M 为 EF 的中点, N 为 BC 边上一 点, 且 CN ?

1 BC ,将 ?AEF 沿 EF 折到 ?A ' EF 的位置,使平面 A ' EF ? 平面 EFCB . 4

(Ⅰ)求证:平面 A ' MN ? 平面 A ' BF ; (Ⅱ)设 BF ? MN ? G ,求三棱锥 A '? BGN 的体积.

【答案】 (I)证明见解析; (II)

9 . 8

考点:立体几何证明面面垂直与求体积. 20.(本小题满分 12 分)

已知椭圆 E : 为 4.

x2 y 2 且长轴长 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点, a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若 A 是椭圆 E 的左顶点,经过左焦点 F 的直线 l 与椭圆 E 交于 C , D 两点,求 ?OAD 与 ?OAC 的 面积之差的绝对值的最大值.( O 为坐标原点) 【答案】 (I) 【解析】 试题分析: (I)依题意 2a ? 4 , a ? 2 .根据等边三角形,求得 c ? 1 ,b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 1 ? 3 ,故椭圆 E

x2 y 2 3 (II) . ? ? 1; 4 3 2

x2 y 2 的方程为 (II)设 ?OAD 的面积为 S1 , ?OAC 的面积为 S 2 .当直线 l 斜率不存在时,直线 ? ? 1; 4 3
方 程 为 x ? ?1 , ?OAD , ?OAC 面 积 相 等 , | S1 ? S 2 |? 0 . 当 直 线 l 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 方 程 为

y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 联立直线的方程和椭圆的方程,写出根与系数关系,由此求得 | S1 ? S 2 |?
利用基本不等式可求得其最大值为 试题解析: (Ⅰ)由题意得

6|k | , 3 ? 4k 2

3 . 2

c 1 ? ,又 2a ? 4 ,则 a ? 2 ,所以 c ? 1 . a 2

又 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 1 ? 3 ,故椭圆 E 的方程为 分)

x2 y 2 ? ? 1 .?????????????????(4 4 3

解法二:设直线 l 的方程为 x ? k ' y ? 1 ,与椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 联立得: (3k '2 ? 4) y 2 ? 6k ' y ? 9 ? 0 . 4 3

???????????????????????????????????????????(6 分) ∴ y1 ? y2 ? 分) ∴ | S1 ? S 2 |?

6k ' ,?????????????????????????????????(8 3k '2 ? 4 1 6| k '| , ? 2? || y1 | ? | y2 ||?| y1 ? y2 |? 2 3k '2 ? 4

当 k ' ? 0 时, | S1 ? S 2 |? 0 . 当 k ' ? 0 时, | S1 ? S 2 |??

6 3| k '| ? 4 | k '|

? 2

6 6 4 3 | k ' |? | k '|

?

2 3 3 (当且仅当 k ' ? ? 时等号成立). 3 2

所以 | S1 ? S 2 | 的最大值为 分)

3 .?????????????????????????????(12 2

考点:直线与圆锥曲线位置关系. 【方法点晴】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系,以及考查逻辑思维能力、分析 与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想.长轴长是 2a ,焦点和短轴端点构 成等边三角形,这个已知条件我们需要用到等边三角形的几何性质来做,也就是角度为 第一问就可以求出来了.第二问要先讨论斜率是否存在. 21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? 2ax) ln x ? bx , a, b ? R .
2 2

?
6

,并且 c ?

a , 2

(Ⅰ)当 a ? 1 , b ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 b ? 2 时,若对任意 x ? [1, ??) ,不等式 2 f ( x) ? 3 x ? a 恒成立.求实数 a 的取值范围.
2

【答案】 (I) x ? y ? 1 ? 0 ; (II) (??,1) .

方法二:令 p ( x) ? (2 x ? 4ax) ln x +x ? a , x ? [1, ??) ,
2 2

则 p ( x) ? (2 x ? 4ax) ln x +x ? a ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,所以 p (1) ? 1 ? a ? 0 ,
2 2

所以 a ? 1 . 又 p '( x) ? (4 x ? 4a ) ln x +(2x ? 4a )+2x ? 4( x ? a )(ln x ? 1)( x ? 1) , 显然当 a ? 1 时, p '( x) ? 0 ,则函数 p ( x) 在 [1, ??) 上单调递增,所以 p ( x) min ? p (1) ? 1 ? a ? 0 ,所以

a ?1.
综上可知 a 的取值范围为 (??,1) .

考点:函数导数与不等式. 【方法点晴】本题考查导致与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题,以及逻辑思维能力、等 价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体 现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式,然后构造新函数,利 用导数研究新函数的单调性和最值来解决,当然要注意分类讨论思想的应用.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请 写清题号.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, PQ 为 ? O 的切线,切点为 Q ,割线 PEF 过圆心 O ,且 QM ? QN . (Ⅰ)求证: PF ? QN ? PQ?NF ; (Ⅱ)若 QP ? QF ? 3 ,求 PF 的长.

【答案】 (I)证明见解析; (II) 3 .

所以 ?PNF ? ?PMQ ,?????????????????????????????????(4 分) 所以 分) (Ⅱ)因为 QP ? QF ? 3 ,所以 ?PFQ ? ?QPF .????????????????????(6 分) 又 ?PFQ ? ?QPF ? ?PQE ? ?EQF ? 180 , ?EQF ? 90 ,???????????????(7
? ?

PF NF NF ,即 PF ? ? ? QN ? PQ?NF .??????????????????????(5 PQ MQ NQ

分) 所以 ?PFQ ? ?QPF ? 30 , ?PQF ? 120 ,???????????????????????(8
? ?

分) 由余弦定理,得 PF ? QF 2 ? QP 2 ? 2QF ? QP cos ?PQF ? 3 .???????????????(10 分) 考点:几何证明选讲. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos ? ? 2sin ? ,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 5 ? t cos ? , ( t 为参数).若 ? y ? t sin ? .

直 线 l 与圆 C 相交于不同的两点 P , Q . (Ⅰ)写出圆 C 的直角坐标方程,并求圆心的坐标与半径; (Ⅱ)若弦长 | PQ |? 4 ,求直线 l 的斜率. 【答案】 (I) ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5 ; (II) k ? 0 或 k ?
2 2

3 . 4

配方,得 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5 ,所以圆心为 (2, ?1) ,半径为 5 .??????????????(5
2 2

分) (Ⅱ)由直线 l 的参数方程知直线过定点 M (5, 0) , 则由题意,知直线 l 的斜率一定存在,因此不妨设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 5) .?????????(7 分) 因为 | PQ |? 4 ,所以 5 ? ( 分) 考点:坐标系与参数方程. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f ( x) ?| x | ? | x ? 10 | .

|1 ? 3k | k ?1
2

) 2 ? 4 ,解得 k ? 0 或 k ?

3 .???????????????(10 4

(Ⅰ)求 f ( x) ? x ? 15 的解集 M ; (Ⅱ)当 a, b ? M 时,求证 5 | a ? b |?| ab ? 25 | . 【答案】 (I) ?5 ? x ? 5 ; (II)证明见解析.

考点:不等式选讲.


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