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【与名师对话】2015高考数学一轮复习 5.4 数列求和课时作业 理(含解析)新人教A版必修5


【与名师对话】2015 高考数学一轮复习 5.4 数列求和课时作业 理 (含解析)新人教 A 版必修 5
一、选择题 1.等比数列{an}中,已知 a1+a2+a3=4,a2+a3+a4=-2,则 a3+a4+a5+a6+a7+a8 =( A. ) 21 19 B. 16 16 9 7 C. D. 8 8

解析:由于 q=

a2+a3+a4 -2 1 = =- , a1+a2+a3 4 2

? 1? 所以 a3+a4+a5=(a2+a3+a4)×?- ?=1, ? 2?
a6+a7+a8=(a3+a4+a5)×?- ?3=- , 2
7 于是 a3+a4+a5+a6+a7+a8= . 8 答案:D 2. (2012·大纲全国卷)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, a5=5, S5=15, 则数列? 的前 100 项和为( A. ) 101 D. 100
? ? ?anan+1?

? 1? ? ?

1 8

1 ?

100 99 99 B. C. 101 101 100

解析:由 S5=5a3 及 S5=15 得 a3=3, ∴d=

a5-a3
5-3

=1,a1=1,∴an=n,

1

anan+1 n?n+1? n n+1



1

? 1 ? 1 1 ?的前 = - ,所以数列? ?anan+1?

1 1 1 1 1 1 100 100 项和 T100=1- + - +…+ - =1- = ,故选 A. 2 2 3 100 101 101 101 答案:A 3.数列{an}的通项公式是 an= A.11 B.99 C.120 D.121 解析:∵an= 1 1

n+ n+1

,若前 n 项和为 10,则项数 n 为(

)

n+ n+1

= n+1- n,∴Sn=a1+a2+…+an=( 2-1)+( 3- 2)

+…+( n+1- n)= n+1-1.令 n+1-1=10,得 n=120. 答案:C 1 1 1 4.数列 1, , ,…, 的前 n 项和 Sn 等于( 1+2 1+2+3 1+2+3+…+n )

1

A.

3n-1 2n B. n+1 n+1 2

C.

3n n+1

D.

4n n+3

解析:an= 所以 Sn=

n?n+1?

1 ? ?1 =2? - ?, n n + 1? ?

1 1 1 1 ? ? 1 1 1 - + - 2?1- + - +…+ 2 2 3 n - 1 n n n + 1? ? ? =2?1-

? ?

1 ? 2n = . n+1? ? n+1

答案:B 5.(2013·云南昆明高三调研)公比不为 1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且-3a1, -a2,a3 成等差数列,若 a1=1,则 S4=( A.-20 B.0 C.7 D.40 )

解析:记等比数列{an}的公比为 q,其中 q≠1,依题意有-2a2=-3a1+a3,-2a1q=- 3a1 + a1q ≠0,即 q + 2q - 3 = 0 , (q + 3)(q - 1) = 0 ,又 q≠1,因此有 q =- 3 , S4 = 1×[1-?-3? ] =-20,选 A. 1+3 答案:A 6.(2013·山东青岛期中)已知函数 f(n)=n cos(nπ ),且 an=f(n),则 a1+a2+a3+… +a100=( )
2 4 2 2

A.0 B.100 C.5 050 D.10 200 解析:因为 f(n)=n cos(nπ ),所以 a1+a2+a3+…+a100=-1 +2 -3 +4 -…-99 +100 =(2 -1 )+(4 -3 )+…(100 -99 )=3+7+…+199= C. 答案:C 二、填空题 1 * 7.已知数列{an}对于任意 p,q∈N 有 apaq=ap+q,若 a1= ,则 S9=________. 2 解析:由题意得 an+1=ana1,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

50?3+199? =5 050,选 2

an+1 1 ?1?n-1 ?1?n =a1= ,an=a1? ? =? ? , an 2 ?2? ?2?

?1?9 511 因此 S9=1-? ? = . ?2? 512
511 答案: 512 8. 数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 a1=1, an+1=3Sn(n=1,2,3, …), 则 log4S10=________.
2

解析:∵an+1=3Sn,∴Sn+1-Sn=3Sn,∴Sn+1=4Sn,∴{Sn}是以 S1 为首项,公比为 4 的 等比数列,∴S10=4 答案:9 9.已知数列{an}(n∈N )中,a1=1,an+1= 解析:由 an+1=
* 10-1

=4 ,∴log4S10=log44 =9.

9

9

an ,则 an=________ 2an+1

an 1 1 得 =2+ ∴数列{an}的倒数成公差为 2 的等差数列,由此 2an+1 an+1 an

1 1 可求 =2n-1,∴an= . an 2n-1 答案: 1 2n-1

三、解答题 3+?-1? 10.(2013·青岛统一质检)已知 n∈N ,数列{dn}满足 dn= ,数列{an}满足 2
*

n

n an=d1+d2+d3+…+d2n;又知数列{bn}中,b1=2,且对任意正整数 m,n,bm n=bm.

(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式; (2)将数列{bn}中的第 a1 项,第 a2 项,第 a3 项,……,第 an 项,……,删去后,剩余的 项按从小到大的顺序排成新数列{cn},求数列{cn}的前 2 013 项和. 3+?-1? 3×2n 解:(1)∵dn= ,∴an=d1+d2+d3+…+d2n= =3n 2 2 又由题知:令 m=1,则 b2=b1=2 ,b3=b1=2 ,…,bn=b1=2 若 bn=2 ,则 bn=2 ,bm=2 ,所以 bn=bm恒成立 若 bn≠2 ,当 m=1,bn=bm不成立,所以 bn=2 . (2)由题知将数列{bn}中的第 3 项、 第 6 项、 第 9 项……第 3 项删去后构成的新数列{cn} 中的奇数项与偶数项仍成等比数列,首项分别是 b1=2,b2=4 公比均是 8,
n n m n n n m nm n mn m n
2 2 3 3

n

n

n

T2 013=(c1+c3+c5+…+c2 013)+(c2+c4+c6+…+c2 012)
= 2×?1-8 1-8
1 007

? 4×?1-8 + 1-8

1 006

? 20×8 -6 = 7

1 006

11.(2013·山东烟台诊断)已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足:

a2·a4=65,a1+a5=18.
(1)若 1<i<21,a1,ai,a21 是某等比数列的连续三项,求 i 的值; (2)设 bn= ,是否存在一个最小的常数 m 使得 b1+b2+…+bn<m 对于任意的 ?2n+1?Sn 正整数 n 均成立,若存在,求出常数 m;若不存在,请说明理由. 解:(1){an}为等差数列,∵a1+a5=a2+a4=18, 又 a2·a4=65,∴a2,a4 是方程 x -18x+65=0 的两个根,
2

n

3

又公差 d>0,∴a2<a4,∴a2=5,a4=13. ∴?
?a1+d=5, ? ?a1+3d=13, ?

∴a1=1,d=4.∴an=4n-3. 由 1<i<21,a1,ai,a21 是某等比数列的连续三项,∴a1·a21=ai, 即 1·81=(4i-3) , 解得 i=3. (2)由(1)知,Sn=n·1+
2 2

n?n-1?
2

·4=2n -n,

2

1 ? 1 1? 1 - 所以 bn= = ? ?, ?2n-1??2n+1? 2?2n-1 2n+1?

b1+b2+…+bn=
1 1 ? 1? 1 1 1 n 1- + - +…+ - = ? ? 3 3 5 2 n - 1 2 n + 1 2? ? 2n+1

n 1 1 1 因为 = - < , 2n+1 2 2?2n+1? 2
1 所以存在 m= 使 b1+b2+…+bn<m 对于任意的正整数 n 均成立. 2 12.(2013·山西第三次四校联考)已知各项均为正数的数列{an}前 n 项和为 Sn,首项为

a1,且 ,an,Sn 成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;

1 2

bn ?1? 2 (2)若 an=? ?bn,设 Cn= ,求数列{Cn}的前 n 项和 Tn. an ?2?
1 解:(1)由题意知 2an=Sn+ ,an>0 2 1 1 当 n=1 时,2a1=a1+ ,∴a1= 2 2 1 1 当 n≥2 时,Sn=2an- ,Sn-1=2an-1- 2 2 两式相减得 an=Sn-Sn-1=2an-2an-1 整理得:

an =2 an-1

1 ∴数列{an}是以 为首项,2 为公比的等比数列. 2

an=a1·2n-1= ×2n-1=2n-2
(2)an=2-bn=2
2 2n-4

1 2

4

∴bn=4-2n,

bn 4-2n 16-8n Cn= = n-2 = n an 2 2 Tn= + 2+
8 2 0 2 -8 24-8n 16-8n ① 3 +…+ n-1 + n 2 2 2

1 8 0 24-8n 16-8n Tn= 2+ 3+…+ + n+1 ② n 2 2 2 2 2 1 ? 16-8n 1 ?1 1 ①-②得 Tn=4-8? 2+ 3+…+ n?- n+1 2? 2 2 ?2 2 1 ? 1? 2?1- n-1? 2 ? 2 ? 16-8n =4-8· - n+1 1 2 1- 2 1 ? 16-8n 4n ? =4-4?1- n-1?- n+1 = n . 2 2 ? 2 ? 8n ∴Tn= n . 2 [热点预测]

? ?ω ? 1? b=?cos 13. (2013·保定第一次模拟)已知向量 a=?sin? x?, ?, ? ? ? 2 ? 2? ?
数列{xn}. 1 (1)若 ω = ,求 x2; 2 (2)若函数 f(x)的最小正周期为 π ,求数列{xn}的前 100 项和 S100. 1 ?ω ? ?ω ? 1 1 解:f(x)=a·b=sin? x?cos? x?- = sin(ω x)- 4 ?2 ? ?2 ? 4 2 1 1 ?1 ? 1 (1)当 ω = 时,f(x)= sin? x?- 2 2 ?2 ? 4 π 5π 令 f(x)=0,得 x=4kπ + 或 x=4kπ + (k∈Z,x≥0) 3 3 5π 取 k=0,得 x2= . 3 1 1 (2)因为 f(x)最小正周期为 π ,则 ω =2,故 f(x)= sin(2x)- 2 4 π 5π 令 f(x)=0 得 x=kπ + 或 x=kπ + (k∈Z,x≥0) 12 12

?ω x?,-1?(ω >0, ?2 ? ? 2? ? ?

x≥0),函数 f(x)=a·b 的第 n(n∈N*)个零点记作 xn(从左向右依次计数),则所有 xn 组成

5

49 π? ? 5π ?? 49 ?? 所以 S100= ? ??kπ + ?+?kπ + ??= ? 12? ? 12 ?? k=0 k=0 ??

?2kπ +π ? ? 2? ? ?

π =2π (0+1+2+…+49)+50× =50×49π +25π =2 475π . 2

6


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