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抛物线的几何性质的应用2


2.4.2抛物线的简单几 何性质的应用

一、复习
(一) 抛物线的定义
平面内与一个 定 点F和一条 定 直线l(l不经 过点F)的距离 相等 的点的轨迹叫做抛物线. 其中:F叫做抛物线的 焦 点,l叫做抛物线的 准 线.

(二) 抛物线的标准方程

一、复习
(一) 抛物线的定义
平面内与一个 定 点F和一条 定 直线l(l不经 过点F)的距离 相等 的点的轨迹叫做抛物线. 其中:F叫做抛物线的 焦 点,l叫做抛物线的 准 线.

(二) 抛物线的标准方程
(1)开口向右 y2 = 2px (p>0) (2)开口向左 y2 = -2px (2 p> ) =0 -2py (3)开口向上 x2 = 2py (p>0) (4)开口向下 x ( p >0 ) 其中p的几何意义为焦点到准线的距离.

已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经 例题 过点M(2, 4 ),求抛物线的准线方程。 1 解:抛物线关于x轴对称,顶点在原点,并且经过M( 2, 4 ), 所以可设它的标准方程为y2=2px(p>0) ∴ 42 =2p· 2 ∵点M在抛物线上, 即 p=4 所求方程为y2=8x。 ∴抛物线的准线方程为x=-2.

M(2,

4)

已知顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,并且经过点 变式 。 练习 M(2, 4 ),则抛物线的准线方程为 分析:可设它的标准方程为y2=2px(p>0) 或x2=2py(p>0)

例题 2

已知抛物线 y 2

? 4x

,过焦点F且垂直于对称轴的直线

交抛物线于A、B两点,求

AB


y
A

o

F

x

B

例题2 变式

已知斜率为1的直线l经过抛物线 y ? 4 x 的焦点F,且与抛物线交于A、B两点,求线 段AB的长?
2
y A F O B x

例题2 变式

已知斜率为1的直线l经过抛物线 y ? 4 x 的焦点F,且与抛物线交于A、B两点,求线 段AB的长?
2

提示(解法一:联立方程组求解A、B两点坐标, 利用两点距离公式即可。) (解法二:利用抛物线定义可将|AB|的长度 转化为A、B两点到准线的距离和,然后用 韦达定理求解。)

引申

直线l经过抛物线y ? 2 px( p ? 0)的焦点交
2

抛物线于A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )两点, 则线段
AB的长度为

(用含x1 , x2 , p的式子表达 ).

总结
1、 掌握抛物线的几何性质;在分析和解决问题 时,注意画草图来帮助我们分析.

2、 过焦点的弦称为焦点弦;解决焦点弦问题 要注意数形结合,等价转化等思想方法.

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