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2013届新高考全案 人教版数学(课外学生练与悟):10-4


第 10 章

第4讲

一、选择题 1.过点(0,2)与抛物线 y2=8x 只有一个公共点的直线有( A.1 条 C.3 条 B .2 条 D.无数条 )

[解析] 易知 y 轴与抛物线切于原点满足条件,直线 y=2 与抛物线对称轴平行也满足条件,另外画出 图形,易知有一条直线与抛物线切于 x 轴上方,故这样的直线有 3 条. [答案] C 2. 直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点, 与抛物线交于 A, B 两点, 若|AB|=8, 那么直线 l 的倾斜角是( A.30° 或 60° C.45° 或 60° [解析] B.30° 或 150° D.45° 或 135° )

2 ? ?y =4x, ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 x=my+1,则由 得 y2-4my-4=0,得|y1 ?x=my+1 ?

-y2|=4 m2+1∴|AB|= 1+m2· 4· m2+1=8 ∴m=± 1,故选 D. [答案] D 3.抛物线 y2=4x 过焦点的弦的中点的轨迹方程是( A.y2=x-1 1 C.y2=x- 2 )

B.y2=2(x-1) D.y2=2x-1

[解析] 焦点 F(1,0),设弦的端点 A(x1,y1),B(x2,y2),中点 P(x,y),则 y12=4x1,y22=4x2,作差得 y1-y2 y y (y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)①,将 y1+y2=2y, = 代入①式得 2y· =4,即 y2=2(x-1). x1-x2 x-1 x-1 [答案] B 4.设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l 的斜率 的取值范围是( 1 1 A.[- , ] 2 2 ) B.[-2,2]

C.[-1,1]

D.[-4,4]

[解析] 由题意 Q(-2,0), 设 l 的方程为 y=k(x+2), 代入 y2=8x 得 k2x2+4(k2-2)x+4k2=0, ∴Δ=16(k2 -2)2-16k4≥0,即 k2≤1,∴-1≤k≤1. [答案] C 8 3 5.两条渐近线为 x+2y=0,x-2y=0,则截 x-y-3=0 所得弦长为 的双曲线方程为( 3 x2 A. -y2=1 4 y2 C.x2- =1 4 x2 B. -y2=1 2 y2 D.x2- =1 2 )

x2 [解析] 设双曲线为 -y2=λ∴x2-4y2=4λ 4 把 y=x-3 代入得 3x2-24x+36+4λ=0 36+4λ ∴x1+x2=8,x1x2= 3 8 由|AB|= 2 ?x1+x2?2-4x1x2= 3 3 x2 2 ∴方程为 -y =1. 4 [答案] A x2 x2 6.(2009· 深圳一模)设平面区域 D 是由双曲线 y2- =1 的两条渐近线和椭圆 +y2=1 的右准线所围 4 2 成三角形的边界及内部.若点(x,y)∈D,则目标函数 z=x+y 的最大值为( A.1 B.2 C.3 D.6 ) 解得 λ=1

[解析] 如下图所示,阴影部分是平面区域 D,求目标函数 z=x+y 的最大值,即求直线 y=-x+z 在 y 轴上截距的最大值,当直线 y=-x+z 过点 A(2,+4)时,z 取最大值 6.

[答案] D 二、填空题 7.两条渐近线为 x+2y=0,x-2y=0,则该双曲线的离心率为________.

c [解析] 若焦点在 x 轴,e= = a c 若焦点在 y 轴 e= = a [答案] 5 或 5 2

b2 1+ 2= a

1 5 1+ = 4 2

b2 1+ 2= 1+4= 5. a

8.(2007· 合肥)设 P 是抛物线 y=x2 上的任意一点,当点 P 和直线 x+y+2=0 上的点的距离最小时, 点 P 到该抛物线的准线的距离是________. [解析] 设与直线 x+y+2=0 平行且与抛物线 y=x2 相切的直线方程为 y=-x+b. ∴-x+b=x2 ∴x2+x-b=0,Δ=1+4b=0 y=x2 ? ? 1 ∴b=- ,由? 得 1 4 x+y+ =0 ? 4 ? 1 1 P 点坐标为(- , ) 2 4 又抛物线的准线方程为 y=- 1 4

1 1 1 ∴P 到该抛物线准线间的距离为 -(- )= . 4 4 2 [答案] 1 2 椭圆交于

x2 y2 9.椭圆 + =1 的焦点分别为 F1 和 F2,过中心 O 作直线与 45 20 A、B,若△ABF2 的面积为 20,则直线 AB 的方程为________. [解析] 设 AB 所在直线方程为 x=ky x=ky ? ? 2 2 由? x 得(4k2+9)y2-180=0 y + = 1 ?45 20 ? 180 ∴y1+y2=0,y1· y2=- 2 4k +9 1 ∴S△ABF2= |OF2||y1-y2| 2 = 5 ?y1+y2?2-4y1y2=30 2
2

5 4k2+9

故由 30

5 3 =20 得 k=± 4 4k +9

4 ∴AB 的方程为 y=± x. 3 4 [答案] y=± x 3 1 1 10.已知 F( ,0),直线 l∶x=- ,点 B 是 l 上一动点,若 4 4 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M,则点 M 的轨迹是 ____________. [解析] ∵|MB|=|MF| ∴M 的轨迹是以 F 为焦点、l 为准线的抛物线 ∴M 的方程为 y2=x. [答案] 抛物线 y2=x 三、解答题 11.(2010· 福建,19)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的 距离等于 5 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 5 过 B 垂直于 y

[解] (1)将(1,-2)代入 y2=2px,得(-2)2=2p· 1,所以 p=2. 故所求的抛物线 C 的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1. (2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=-2x+t,
?y=-2x+t, ? 由? 2 得 y2+2y-2t=0. ? y = 4 x , ?

1 因为直线 l 与抛物线 C 有公共点,所以 Δ=4+8t≥0,解得 t≥- . 2 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d= 5 |t| 1 可得 = ,解得 t=± 1. 5 5 5

1 1 - ,+∞?,1∈?- ,+∞?, 因为-1?? ? 2 ? ? 2 ? 所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0. 3? 12.(2011· 惠州二模)已知椭圆中心 E 在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A(-2,0)、B(2,0)、C? ?1,2? 三点. (1)求椭圆 E 的方程; (2)若点 D 为椭圆 E 上不同于 A、B 的任意一点,F(-1,0),H(1,0),当△DFH 内切圆的面积最大时,

求内切圆圆心的坐标; (3)(理)若直线 l∶y=k(x-1)(k≠0)与椭圆 E 交于 M、N 两点,证明直线 AM 与直线 BN 的交点在直线 x =4 上. [解] (1)设椭圆方程为 mx2+my2=1(m>0,n>0),将 3 A(-2,0)、B(2,0)、C(1, )代入椭圆 E 的方程,得 2 4m=1, ? ? 1 1 ? 9 解得 m= ,n= . 4 3 ? ?m+4n=1 x2 y2 ∴椭圆 E 的方程 + =1. 4 3 (2)|FH|=2,设△DFH 中 FH 边上的高为 h, 1 S△DFH= ×2×h=h 2 设△DFH 的内切圆的半径为 R,因为△DFH 的周长为定值 6. 1 所以 R×6=3R=S△DFH, 2 当 D 在椭圆上顶点时,h 最大为 3, 故 S△DFH 的最大值为 3, 于是 R 也随之最大值为 3 , 3 3 ). 3

此时内切圆圆心的坐标为(0,

x2 y2 (3)(理)将直线 l∶y=k(x-1)代入椭圆 E 的方程 + =1 并整理. 4 3 得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0. 设直线 l 与椭圆 E 的交点 M(x1,y1),N(x2,y2), 4?k2-3? 1 由根系数的关系,得 x1+x2= 直线 AM 的方程为: 2,x1x2= 3+4k 3+4k2 y1 6y1 y= (x+2),它与直线 x=4 的交点坐标为 p(4, ), x1+2 x1+2 同理可求得直线 BN 与直线 x=4 的交点坐标为 Q(4, 2y2 ). x2-2

下面证明 P、Q 两点重合,即证明 P、Q 两点的纵坐标相等: ∵y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),

∴ = =

6y1 2y2 - x1+2 x2-2 6k?x1-1?-?x2-2?-2k?x2-1??x1+2? ?x1+2??x2-2? 2k[2x1x2-5?x1+x2?+8] ?x1+2??x2-2?



?8?k -3?- 40k +8? 2k? ? ? 3+4k2 3+4k2 ?
2

2

?x1+2??x2-2?

=0 因此结论成立. 综上可知.直线 AM 与直线 BN 的交点在直线 x=4 上.

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