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高中数学(人教A版选修2-2)课时作业3.2.2 复数代数形式的乘除运算


课时提升作业(二十三)
复数代数形式的乘除运算

一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.(2014·深圳高二检测)i 为虚数单位,则 A.-i B.-1 = C.i =( D.1 =i,所以原式=i2 013=i4×503+1=i. )

【解析】选 C.因为

2.(2014·东营高二检测)若 i 为虚数单位,图中复平面内点 Z 表示复 数 z,则表示复数 的点是( )

A.E

B.F

C.G = =

D.H = =2-i,

【解析】选 D.依题意得 z=3+i, 该复数对应的点的坐标是(2,-1). 3.(2013·山东高考)复数 z= A.25 B.

(i 为虚数单位),则|z|=( C.5 D.

)

【解题指南】从复数的运算法则及复数的模的概念角度处理.

【解析】选 C.z= 所以|z|=

=-4-3i, =5.

4.(2014·江西高考) 是 z 的共轭复数.若 z+ =2,(z- )i=2(i 为虚数单 位),则 z= ( A.1+i B.-1-i C.-1+i D.1-i )

【解析】选 D.设 z=a+bi(a,b∈R),则 =a-bi,z+ =2a=2, 故 a=1,(z- )i=-2b=2,故 b=-1,所以 z=1-i. 5.(2013·四川高考)如图,在复平面内,点 A 表示复数 z,则图中表示 z 的共轭复数的点是( )

A.A

B.B

C.C

D.D

【解题指南】解决本题的关键是明确复数 z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数 的形式是 =a-bi,然后根据图示进行选择即可. 【解析】选 B.由于点 A 表示复数 z=a+bi(a,b∈R),所以其共轭复数 是 =a-bi,在图中应该是点 B 对应的复数,故选 B. 6.下面关于复数 z= ① =2; 的结论,正确的是( ②z2=2i; )

③z 的共轭复数为 1+i; A.①② B.②③ =

④z 的虚部为-1. C.②④ =-1-i, = , D.③④

【解析】选 C.z= 所以 =

z2=(-1-i)2=2i. z 的共轭复数为-1+i. z 的虚部为-1,所以②④正确. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.计算 (7-i)=__________.

【解题指南】复数乘法运算可以把虚数单位 i 看作一个字母,按照实 数的多项式乘法运算法则进行运算. 【解析】 = = 答案: ×7+ + i. i i+ (7-i) i·7i·i

8. 如果 x-1+yi 与 i-3x 是共轭复数,则实数 x=__________ ,实数 y=__________.

【解析】由已知得

所以

答案:

-1 =b+i(a,b∈R),其中 i 为虚数单

9.(2014·银川高二检测)已知 位,则 a+b=__________. 【解析】根据已知可得 而 a+b=1. 答案:1 【变式训练】i 是虚数单位,若 是( A.-15 【解析】选 B. ) B.-3 =

=b+i ? 2-ai=b+i ?





=a+bi(a,b∈R),则乘积 ab 的值

C.3 =-1+3i=a+bi,

D.15

所以 a=-1,b=3,所以 ab=-3. 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.计算:(1)(2+i)(2-i). (2)(1+2i)2. (3) + .

【解析】(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5. (2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i. (3)原式= +

=i6+ =-1+i. 【一题多解】(3)原式= 【拓展延伸】复数的运算顺序 复数的运算顺序与实数运算顺序相同,都是先进行高级运算乘方、开 方,再进行次级运算乘、除,最后进行低级运算加、减,如 i 的幂运 算,先利用 i 的幂的周期性,将其次数降低,然后再进行四则运算. 11.(2014·天津高二检测)已知复数 z 满足 z=(-1+3i)(1-i)-4. (1)求复数 z 的共轭复数. (2)若 w=z+ai,且复数 w 对应向量的模不大于复数 z 所对应向量的模, 求实数 a 的取值范围. 【解题指南】先利用乘法法则计算出 z,再求出复数 z,w 的模,进而 计算出 a 的范围. 【解析】(1)z=-1+i+3i+3-4=-2+4i,所以复数 z 的共轭复数为-2-4i. (2)w=-2+(4+a)i , 复 数 w 对 应 向 量 为 (-2 , 4+a) , 其 模 为 = . .由复数 w 对应向量的模 + =i6+i=-1+i.

又复数 z 所对应向量为(-2,4),其模为 2

不大于复数 z 所对应向量的模得,20+8a+a2≤20,a2+8a≤0,a(a+8)≤ 0, 所以,实数 a 的取值范围是-8≤a≤0.

一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.(2014 · 武 汉 高 二 检 测 ) 已 知 复 数 z1=cos23 ° +isin23 ° 和 复 数 z2=sin53°+isin37°,则 z1·z2=( A. + C. i i B. D. ) + i - i

【解析】选 A. 由已知及复数乘法与三角公式得, z1 · z2=(cos23 ° +isin23°) (sin53°+isin37°) =(cos23°+isin23°)(cos37°+isin37°) =(cos23°cos 37°-sin 23°sin 37°) +i(cos 23°sin 37°+sin 23°cos 37°) =cos 60°+isin 60° = + i.

故选 A. 2.(2014·长春高二检测)已知 3面内对应的点应位于( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限 i=z·(-2 i),那么复数 z 在复平

【解题指南】先计算出 z,再判断 z 所在的象限. 【解析】选 A.z= = + i.

【举一反三】若结论改为求复数 z 的共轭复数的模,则结果如何? 【解析】z= 则 = 即得| |= i, = =1. = ( ) = + i.

3.(2014·安徽高考)设 i 是虚数单位,复数 i3+ A.-i B.i C.-1 D.1

【解题指南】利用复数的运算性质进行计算. 【解析】选 D.i3+ =-i+ =-i+ =1. =-i+

4.(2014·长沙高二检测)定义:复数 b+ai 是 z=a+bi(a,b∈R)的转置 复数,记为 z′=b+ai;复数 a-bi 是 z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数,记 为 =a-bi.给出下列命题: ①z′=i ; ② ′+ =0; ③z′1· z′2= A.0 B.1 C.2 ; 其中真命题的个数为( D.3 )

【解析】选 C.i =i(a-bi)=b+ai=z′,①正确; ′+ =(a-bi)′+ =-b+ai+b-ai=0,②正确; 设 z1=a1+b1i , z2=a2+b2i(a1 , a2 , b1 , b2 ∈ R).z ′
1

· z ′

2

=(a1+b1i)′·(a2+b2i)′

=(b1+a1i)·(b2+a2i) =(b1b2-a1a2)+(b1a2+a1b2)i. = = =(a1a2-b1b2)-(b1a2+a1b2)i, 所以 z′1·z′2≠ ,③错,故选 C.

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2014·石家庄高二检测)若复数 z= __________. 【解析】z= 由条件知, = = , 的实部为 3,则 z 的虚部为

=3,所以 a=-1,

所以 z=3+i,所以 z 的虚部为 1. 答案:1 6.复数 z 满足方程 i=1-i,则 z=__________. 【解析】 ·i=1-i, 所以 = =

=-i(1-i)=-1-i, 所以 z=-1+i. 答案:-1+i

三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.定义运算 =ad-bc,复数 z 满足 =i·z-i=1+i, =2-i. =1+i,求 z.

【解析】由题意知, 所以 iz=1+2i,所以 z=

8.已知 1+i 是方程 x2+bx+c=0 的一个根(b,c 为实数). (1)求 b,c 的值. (2)试说明 1-i 也是方程的根吗? 【解析】(1)因为 1+i 是方程 x2+bx+c=0 的根, 所以(1+i)2+b(1+i)+c=0, 即(b+c)+(2+b)i=0. 所以 得

(2)方程为 x2-2x+2=0. 把 1-i 代入方程左边得(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,所以 1-i 也是方程的一个根. 【变式训练】若 1+ 根,求 b,c 的值. 【解析】由于 1+ (1+ i)2+b(1+ i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个根,则 i)+c=0,整理得(b+c-1) +(2 + b)i=0,则 i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数

解得

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