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1.3.2函数的奇偶性(第1课时)教学设计


1.3.2

函数的奇偶性(第 1 课时)教学设计
源城区东埔中学:朱兴国

一.教材分析 1 . 教材的地位与作用 ? 内容选自人教版《高中课程标准实验教科书》A 版必修 1 第一章第三 节; ? 函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此成为函数的重要性质 之一,它的研究也为今后幂函数、 三角函数的性质等后续内容的深入起着 铺垫

的作用; ? 奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非

常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学 美的集中体现。 2 . 学情分析 ? 已经学习了函数的单调性,对于研究函数的性质的方法已经有了一

定的了解。尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形 的轴对称与中心对称,对图象的特殊对称性早已有一定的感性认识; ? 在研究函数的单调性方面,学生懂得了由形象到具体,然后再由具

体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识; ? 高一学生具备一定的观察能力,但观察的深刻性及稳定性也都还有

待于提高; ? 高一学生的学习心理具备一定的稳定性,有明确的学习动机,能自

觉配合教师完成教学内容。

二.目的分析 ? 教学目标: 1、奇函数的概念; 2、偶函数的概念; 3、函数奇偶性的判断; ? 过程与方法目标: 1、培养学生的类比,观察,归纳能力; 2、渗透数形结合的思想方法,感悟由形象到具体,再从具体到 一般的研究方法. ? 情感态度与价值观目标: 1、对数学研究的科学方法有进一步的感受; 2、体验数学研究严谨性,感受数学对称美. 重点与难点 ? 重点:函数奇偶性的概念 ? 难点:函数奇偶性的判断 三.教法、学法、教学手段 教法 ? 自学辅导法、讨论法、讲授法 学法 ? 归纳——讨论——练习 教学手段 ? 多媒体电脑

四.过程分析 (一)情境导航、引入新课 问题提出 源于生活,那么我们现在正在学习的函数图象,是否也会具有对称 的特性呢?是否也体现了图象对称的美感呢? (二)构建概念、突破难点 考察下列两个函数: (1)

f ( x) ? x2

(2)

f ( x) ?| x |

思考 1:这两个函数的图象有何共同特征? 思考 2:对于上述两个函数, f(1)与 f(-1), f(2)与 f(-2), f(x)与 f(-x) 有什么关系? 一般地,若函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,当自变量 x 任取定义域 中的一对相反数时,对应的函数值相等。即 f(-x)=f(x) 思考 3:怎样定义偶函数? 偶函数的定义: 如果对于函数 f(x)的定义域为 A。如果对任意的 x∈A,都有 f(-x)= f(x),那么称函数 y=f(x)是偶函数。

练习:偶函数的判断(口答) 1、下列说法是否正确,为什么? (1)若 f (-2) = f (2),则函数 f (x)是偶函数. (2)若 f (-2) ≠ f (2),则函数 f (x)不是偶函数. 2、下列函数是否为偶函数,为什么?


(A)

y ? x 4 ? 2 | x | ?1, x ? [?2,3]

1 y ? , x ? R且 x ? 0 x
(C)

? x ?1 x ? 0 y?? ?? x ? 1 x ? 0
(D)

(B)

(三)合作探究、类比发现 仿照讨论偶函数的过程,回答下列问题, 共同完成探究 f ( x ) ? x
f ( x) ? 1 x

(1)请你仔细观察这两个函数图象,它们又有什么共同特征? (2)请你完成下列函数值对应表, 描述它们又是如何体现这些特征的呢? (3)你能尝试利用数学语言描述函数图象的这个特征吗? (4)奇函数的定义

强化定义,深化内涵 ☆对奇函数、偶函数定义的说明: (1)如果一个函数 f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数 f(x) 具有奇 偶性. (2)判定函数奇偶性基本方法: ①定义法: 先看定义域是否关于原点对称, 再看 f(-x)与 f(x)的关系. ②图象法: 看图象是否关于原点或 y 轴对称.
? 奇函数 ? ? 偶函数 (3)根据奇偶性,函数可划分为四类: ? ?既奇又偶函数 ? ?非奇非偶函数

非奇非偶函数举例:

即是奇函数又是偶函数的函数举例:

(4)①奇、偶函数定义的逆命题也成立,即 若 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x)有成立. 若 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x)有成立. ②奇、偶函数性质: 偶函数的 ? 奇函数的 ?
?1、定义域关于原点对称 ?2、图像关于 y轴对称 ?1、定义域关于原点对称 ?2、图像关于原点对称

③偶函数的图像特征: 如果一个函数是偶函数,则它的图象关于 y 轴对称;反过来,如果 一个函数的图象关于 y 轴对称,则这个函数为偶函数. (5)偶函数的性质 1:偶函数的定义域关于原点对称. 问题: f ( x) ? x 2 , x ? [?1,2] 是偶函数吗? 解:如图所示,函数 f ( x) 不是偶函数

偶函数的性质 2:偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反. 例 y ? x 2 如图所示:

奇函数的性质 1:奇函数的定义域关于原点对称. 问题: f ( x) ? x, x ? [?1,??) 是奇函数吗? 解:如图所示,函数 f ( x) 不是奇函数

奇函数的性质 2:奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致. 例如: y ? x 3 如图所示:

(四)讲练结合,巩固新知 例 1 判断下列函数的奇偶性 (1)y=-2x2+1,x∈R; (3)y=-3x+1; (5)y=0,x∈[-1,1]; (7) f ( x) ? x 2 ? 1 1 ? x 2 ☆ 小结:用定义判断函数奇偶性的步骤: ⑴先求定义域,看是否关于原点对称; ⑵再判断 f(-x)与 f(x)的关系; (3)若 f(-x)=f(x)则 f(x)是偶函数;若 f(-x)= - f(x)则 f(x)是奇函数. (2)f(x)=-x|x|; (4)f(x)=x2,x∈{-3,-2,-1,0,1,2}; (6) f ( x) ? ( x ? 1)
1? x 1? x

例 2. 如图是奇函数 y=f(x)图象的一部分, 试画出函数在 y 轴左边的图象. 例 3. 已知 y=f(x)是 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x2 +2x-1 ,求函数的表达式. 练习:判断下列函数的奇偶性:
(1) f ( x) ? x 4 (2) f ( x) ? x 5 (3) f ( x) ? x ? 1 x (4) f ( x) ? 1 x2

(五)课时小结,知识建构 奇偶性 奇函数 偶函数

设函数 y=f(x)的定义域为 D,任意 x 属于 D , 定义 都有-x 属于 D. f(-x)=-f(x) 图像 关于原点对称 性质 判断 步骤 定义域是否关于原点对称. f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x) 关于 y 轴对称 f(-x)=f(x)

判断或证明函数奇偶性的基本步骤:一看——二找——三判断 注意:若可以作出函数图象的,直接观察图象是否关于 y 轴对称或者 关于原点对称。 (六)布置作业
2 ? ? x ? x( x ? 0) 证明函数 f ( x) ? ? 是奇函数. 2 ? ? x ? x ( x ? 0)

(七)板书设计(略写)


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